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ILMAR FERREIRA SANTOS MODELAGEM, SIMULAÇÃO, VISUALIZAÇÃO, VERIFICAÇÃO mm Ji MARRON | Y E, Das MAKRON Books Dinâmica de Sistemas Mecânicos Modelagem — Simulação — Visualização — Verificação MAKRON Books EMPRESA CIDADÃ Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Modelagem — Simulação — Visualização — Verificação Copyright O 2001 MAKRON Books Ltda. Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela MAKRON Books Ltda. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guardada pelo sistema “retrieval” ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, seja este eletrônico, mecânico, de fotocópia, de gravação, ou outros, sem prévia autorização. por escrito, da Editora. EDITOR: MILTON MIRA DE ASSUMPÇÃO FILHO Gerente de Produção Silas Camargo Produtora Editorial Salete Del Guerra Capa Marcelo da Silva Françozo Editoração e Fotolitos em Alta Resolução: RiMa Artes e Textos Dados de Catalogação na Publicação Santos, Ilmar Ferreira Dinâmica de Sistemas Mecânicos Modelagem — Simulação - Visualização — Verificação São Paulo: MAKRON Books, 2001. ISBN: 85.346.1110-6 MAKRON Books £L e Sumário Prefácio ...............rermeerereseseoesenenescesasusass ernniencsnicontig wsscesasação nesvnnn an Rescemnnsaa PII OAES Sist aeee vm Introdução .............ceerrsereresesto eereneos sonata assar cosas aos ns eco es nero asas aos as ses ata casaco coro ceen cs es ce er ees sr sanar aanana IX Capítulo 1 - Cinemática e Cinética de Partículas no Plano e no ESPAÇO ssresearecessesnenreg aa 1 1.1 Introdução 1.2 Cinemática de Partículas 1.3 Sistema de Referência Inercial 1.4 Sistema de Referência Móvel . 1.5 Fixando Conceitos Através de Exemplos 1.5.1 Derivando a Matriz de Transformação de Coordenadas . 1.5.2 Derivando Vetores em Termos de Direção ......... 1.5.3 Derivando Vetores no Sistema Inercial e no Sistema Móvel 1.5.4 Duas Formas de Calcular a Aceleração Absoluta 1.5.5 Entendendo o Significado Físico da Aceleração de Coriolis 1.5.6 Entendendo Cada Termo da Equação da Aceleração 1.5.7 | Derivando Vetores de Velocidade Angular 1.6 Diferenças Fundamentais entre os Movimentos no Plano e no Espaço 1.7 Cinética de Partículas... 1.8 Exemplos Conceituais Resolvido 1.8.1 Partícula Deslizando em um Cano Rotativo sem Atrito .. 1.8.2 Movimento Espacial com Duas Rotações Consecutivas . 1.8.3 Movimento Espacial com Três Rotações Consecutivas 1.9 Cinemática e Cinética de Sistemas de Partículas 1.9.1 Pêndulo Duplo 1.10 Programas de Manipulação Simbólica 1.10.1 Obtendo as Equações de Movimento do Pêndulo Duplo com o Auxílio do Software Mathematica 1.11 Exercícios Propostos MAKRON Books Prefácio livro apresenta um curso moderno de Dinâmica com uma visão holística e multidis- inar, estruturado em exemplos teórico-experimentais, que mostram, por si mesmo, o signi- do físico de equações de movimento, estabilidade de sistemas mecânicos, trajetórias es e não-lineares de corpos e sistemas de referência e muitos outros conceitos básicos & Dinâmica. O livro é acompanhado de um CD-ROM (veja Sobre o CD-ROM na Introdução). Este contém animações gráficas dos movimentos realizados por diferentes protótipos laboratoriais sistemas mecânicos. Essas animações são criadas a partir das equações de movimen- vantadas em exemplos presentes no livro. Além das animações gráficas, os filmes ilus- do os movimentos reais desses protótipos são apresentados no CD-ROM, os quais au- n tanto os alunos na visualização de conceitos da disciplina, como os professores na entação de exemplos teórico-experimentais durante as aulas. Além disso, as filma- dos movimentos dos protótipos enriquecem as aulas e trazem para dentro da sala de a sensação laboratorial da Dinâmica experimental. Todos os exercícios (resolvidos e propostos) são elaborados com o intuito de desen- ra visão holística e multidisciplinar do aluno, ou seja, a Dinâmica é apresentada in- da com o Cálculo, a Geometria Analítica, o Cálculo Numérico e os Métodos putacionais. Esta visão multidisciplinar é uma tendência atual em todos os cursos os de engenharia. Todos os tópicos teóricos são ilustrados na forma de exemplos e exercícios resolvi- As animações gráficas presentes no CD-ROM contribuem de forma significativa para larecimento da grande maioria das dúvidas c dificuldades encontradas pelos alunos, orna possível visualizar os movimentos dos sistemas móveis, partículas e corpos, sem essidade de grandes explicações verbais. As etapas para a obtenção de equações de movimento e reações dinâmicas são abordadas >= forma abrangente e metódica, deixando uma estrutura (procedimento) clara para solu- a grande maioria dos problemas dinâmicos de forma similar, sejam os problemas de Sistemas Mecânicos aluno adquire uma visão global, resumida e “animada” das etapas para a re- vários problemas de Dinâmica de Partícula e Corpo Rígido. Utilizando o livro, em a oportunidade de se aprofundar em cada uma dessas etapas. O conjunto de ao do conjunto de etapas e a criação da visão holística e multidisciplinar dos blemas dinâmicos pelo aluno q de Sistemas Mecânicos ftos e as informações mais importantes para a resolução de problemas mais complexos re- lacionados com: o dimensionamento dinâmico de estruturas; o levantamento de equações de movimento pelo Método Newton-Euler ou Newton- Euler-Jourdain; a simulação do comportamento dinâmico de sistemas mecânicos por meio da re- solução numérica das equações diferenciais; verificação c visualização de movimentos de alguns sistemas clássicos, como pên- dulo duplo, giroscópio, pião, mocda, pêndulo invertido etc.; * exemplos de aplicações da Cinemática e da Dinâmica em problemas industriais mais complexos, resolvidos didaticamente, abrangendo o dimensionamento di- nâmico de estruturas, a otimização de projeto de sistemas dinâmicos (mecanis- mos), a estabilidade de movimentos etc.; exemplos de aplicação da Cinemática e da Dinâmica nas subéreas de: Dinâmica de Manipuladores (Robôs) * Dinâmica de Rotores 1 Dinâmica de Satélites Dinâmica de Veículos “Dinâmica de Mecanismos Biomecânica Na Figura 1.1 são apresentadas as várias ramificações da Dinâmica. Nos últimos ca- pítulos, após a consolidação dos conceitos básicos da Dinâmica, exemplos de aplicação industrial da Dinâmica em algumas das subáreas mencionadas serão estudados e detalhados. DINÂMICA DE SISTEMAS MECÂNICOS mica Dinâmica Dinâmica Dinâmica Dinâmica de de de de Biomecânica Rotores | Robôs Satélites Veículos ca de Sistemas Mecânicos. Introdução Xi Outro objetivo do curso de Dinâmica é fortalecer as interligações com as disciplinas de Cálculo I, Il e III, Geometria Analítica, Cálculo Numérico e Processamento de Dados, todas abordadas no ciclo básico. Deste fortalecimento resulta uma análise mais abrangente de sistemas dinâmicos compostos por vários corpos. A visão holística e multidisciplinar é uma tendência atual de todos os cursos modernos. Procura-se, ao longo deste livro, ilustrar de forma clara as interligações multidisciplinares, deixando sempre em foco a Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Gostaria, também, de deixar registrado meu agradecimento a todos os meus orien- tados de iniciação científica que, de forma direta ou indireta, auxiliaram-me na edição deste texto, dentre eles: Fernando Javier Marsal, Ivan Marques Rodarte, Alexandre Puls Ferretti, Gustavo Campos Padovese, Rodrigo Nicoletti, Fábio Ilildebrand Russo, Alexandre Scalabrin, Daniel Carmona de Campos, Vinicius Stradiotti Zanetto, Fabiano Roncoletia e Alessandro G. S. Magrin. Agradeço, ainda, aos meus orientados de iniciação científica Eduardo Schmidek e Rodrigo Fernandes de Carvalho, pelo auxílio na produção das animações gráficas dos movimentos realizados pelos sistemas mecânicos modelados neste texto. Um especial agradecimento é dirigido ao meu orientado Rodrigo Fernandes de Car- valho (Thunder) por sua dedicação e criatividade na elaboração do CD-ROM. Ao Fundo de Apoio ao Ensino c à Pesquisa da Universidade Estadual de Campinas (FAEP), à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e à AUTODESK do Brasil dirijo meus agradecimentos. Sobre o CD-ROM O CD-ROM foi elaborado para ser utilizado como uma ferramenta auxiliar no entendimen- to dos tópicos abordados neste livro-texto. Ele apresenta tanto resultados teóricos provenientes da modelagem matemática dos sistemas mecânicos contidos no livro, quanto filmagem de protótipos experimentais. Com isto, objetiva-se despertar o interesse do leitor pela Dinâmi- ca e pela descrição dos movimentos através de equações matemáticas. Além disto, auxiliá- lo na melhor compreensão e entendimento dos fenômenos físicos envolvidos. As animações e os filmes, ilustrando experimentos elaborados com protótipos de la- boratório, auxiliam o professor de Dinâmica a trazer para dentro da sala de aula Um laboratório virtual, com demonstrações práticas e ilustrativas. O CD-ROM está subdividido em 7 subdiretórios (pastas). Em cada subdiretório (pasta) o leitor encontra um arquivo leia-me.doe, o qual servirá de guia para o leitor na utilização mais adequada do CD-ROM. Recomenda-se ao leitor que utilize o CD-ROM juntamente com o livro-texto para um melhor aproveitamento. Se você encontrar alguma dificuldade com o CD-ROM, escreva para clientes êmakron.com.br. Dinâmica de Sistemas Mecânicos Cap. 1Tos =9% (1.1) Zo ou Toa = Xd+y,j+2,k O sistema de referência no qual o vetor de posição é representado é definido pelos cursores ou vetores unitários i, j. k e a origem O. As grandezas escalares x, y, e £, indicam a amplitude deste vetor nas respectivas direções. Figura 1.1 Vetor de posição de uma partícula À representado no sistema de referência inercial I(X-Y 7). Vetor de velocidade. O vetor de velocidade absoluta é definido como a derivada do vetor de posição. É muito importante ressaltar aqui que a derivada do vetor de posi- ção deve ser realizada quando o vetor de posição está representado no sistema de re- ferência inercial, quando se deseja obter informações absolutas. O fato de derivar um vetor de posição, quando este está representado em um sistema móvel (girante), leva incondicionalmente à perda de informações. Este fato será ilustrado mais à frente, no Exemplo 2. Assim, o vetor de velocidade absoluta fica definido como: di] tati) | dt E d zo E 1a =—"(toa)=3—(05) p= dt dt z (1.2) a Z Cap. T Cinemática e cinética de particulas no plano eno espaço 3 i+3,)+2,k Vetor de aceleração. O vetor de aceleração absoluta é definido como a derivada se- gunda do vetor de posição. É muito importante ressaltar aqui, mais uma vez, que a derivada segunda du vetor posição deve ser também realizada no sistema de referên- cia inercial, quando se deseja obter informações sobre a aceleração absoluta. q.3) =X+YJj+2Z,k (A 1.4 Sistema de Referência Móvel Em muitos casos práticos, a descrição de determinadas órbitas e movimentos de partículas fica muito mais simples se um ou mais sistemas de referência móveis são definidos. Um exemplo disto é o pêndulo duplo, o qual será abordado no Exemplo 11 deste capítulo. O objetivo da utilização de sistemas móveis de referência na cinemática é facilitar a representação de determinados movimen- tos complexos, subdividindo-os em vários movimentos mais simples que se somam para compor o movimento absoluto. Aqui distinguem-se dois tipos de sistemas de referência móvel: (a) com translação pura e (b) com rotação pura. Todos os outros movimentos poderão sempre ser descritos como uma composição desses dois tipos de movimentos: a rotação e a translação. Portanto, é fundamental estabelecer sempre uma relação entre os vários sistemas de referência (inercial e móveis) para viabilizar a passagem de um sistema móvel para o inercial, ou vice-versa, sem dificuldades. Introduz-se aqui o conceito de matriz de transformação de coordenadas, a qual é responsável por transformar a representação de um vetor descri- to em um dado sistema (por exemplo, o móvel) em um outro sistema (por exemplo, o inercial). a) Sistema Móvel Transladando O sistema inercial 1(X — Y — Z) é representado pelos cursores i, j, k e a origem O. O sistema móvel Bl (X,— Y,- Z,) é representado pelos cursores i,, j,, ke a origem A. Antes de mais nada, é necessário que se estabeleça uma relação entre os cursores do sistema inercial e do sistema móvel de referência. Esta relação será sempre dada pela matriz de transformação de coordenadas. O fato de um sistema móvel somente transladar implica necessariamente que os cursores do sistema inercial e os cursores do sistema móvel permaneçam sempre parale- los. ou seja, Lik=i, dk Cap. 1 Cinemática e cinética de particulas no plano e no espaço 5 d 1YB- a vrTos) =="(rtos +" mv) dt d d d 1Yp= Feto) + EAD) “1EaB + a £4B) Ea =0 181 VA HDV ra= iva tiV ra Analogamente, fazendo-se uso da definição de aceleração absoluta, que é a deriva- segunda do vetor posição em relação ao tempo, quando este vetor for descrito no sis- = (oa 41 ata) Toa pila) dt? 1âp=184 + mn 184 t/A ro b) Sistema Móvel Girando O sistema inercial 1(X — Y — Z) é representada pelos cursores i, j, k e origem O. O sistema vel B1 (X, —Y, — Z) é representada pelos cursores i , j,, k,e origem A. Antes de mais a, é necessário que se estabeleça uma relação entre os cursores do sistema inercial e os sistema móvel de referência. Esta relação será sempre dada pela matriz de transformação de coordenadas. O fato de um sistema móvel girar implica que os cursores do sistema inercial = os cursores do sistema móvel deixem de ser paralelos e passem a guardar uma relação que depende do ângulo €(1) entre vs cursores da base inercial e da base móvel. O primeiro passo ta análise deve ser estabelecer a relação entre estes cursores para que se possa passar a representação de vetores de um sistema para outro sem maiores problemas. Figura 1.3 Sistema inercial 7 e sistema móvel de referência B1, representados pelos cursores i. j, k e à.) K,: sistema móvel girando com uma velocidade angular a(1) em torno do eixo Z do sistema inercial. Vetor r,, representado no sistema inercial Je vetorr,, representado no sistema móvel Bl. se Sistemas Mecânicos Cap. 1 Suponha que o sistema móvel gire em torno do eixo Z no sentido positivo de acordo a da mão direita. Pode-se, então, escrever os vetores de velocidade e acelera- angulares através das equações: (0) 0 (D) .=4 0 10 |. a(1) 0(t) Projetando-se os cursores da base móvel sobre a base inercial, chega-se à seguinte ção entre eles: [ou ij =cos0i+sin9j+0k j, =-sin9i+ cos0j+ 0k k,=0i+0j+1k Figura 1.4 Projeção dos vetores unitários do sistema móvel sobre o sistema inercial. Reescrevendo as três equações de forma matricial chega-se a: i cos0 sing Ol[i | j t=|-sinO cos6 0) 5 k| 10 o ak Desta forma, qualquer vetor descrito no sistema 7 ou B1 pode ser reescrito em outro istema B1 ou 1 simplesmente quando os mesmos são multiplicados pela matriz de trans- formação de coordenadas T, ou T,!. Ressalta-se aqui que as matrizes de transformação de coordenadas guardam propriedades importantes; por exemplo, seu determinante é sempre unitário e sua inversa é igual a sua transposta: ns=To = E] | s=To cms “ r Tr T; = T, > s=Tcms Para rotações positivas nos eixos indicados Y e X têm-se as seguintes matrizes de trans- rmação de coordenadas T,;: 8 Dinâmica de Sistemas Mecânicos Cap. 1 em relação ao Sol. Além disso, o sistema de referência móvel tem uma velocidade angu- lar absoluta ,) composta por várias rotações consecutivas,! as quais serão explicadas em maiores detalhes no próximo capítulo, Deseja-se, então, descrever o movimento de um carro, partícula B em relação ao Sol, posição absoluta do carro ,r,,. quando este se movimenta pela superfície da Terra. O movimento do carro pode ser decomposto em movimentos mais simples, ou seja, o movimento do centro da Terra em relação ao Sol e o movimento do carro em relação ao centro da Terra. A distância entre o centro do Sol e o centro da Terra é conhecida, r,,. Igualmente conhecida é a variação dessa distância em função do tempo. A representação desse vetor é feita, então, no sistema inercial 7. Os movimentos do carro na superfície da Terra, ou melhor, o vetor posição , r,,, é descrito em relação a um ob- servador colocado no centro da Terra. Portanto, a base vetorial escolhida para a representação desse vetor é a Bl, uma base girante com origem em A. Desta forma, ao trabalhar com os dois sistemas 7 e B1, é necessário poder passar de um para o outro. Isto é feito, então, através de matrizes de transformação de coordenadas. Descritos os vetores em uma base comum, viabiliza-se, assim, a soma dos mesmos para obter os vetores dc posição, velocidades e aceleração na base (ou sistema de coordenadas) desejados. Vetor de posição. O vetor de posição é dado então por - T — iTos= toa +T " mEaB= Ton +rEas alas Vetor de velocidade. O vetor de velocidade absoluta é obtido derivando-se o vetor de posição em relação ao tempo quando este é representado no sistema inercial: d d , nB=—(rros)= —[ ros + To - bitan)= dt dt d d rd WB= —(rroa)+—( 4 )- pitas + To —(pir4B) dt dt dt T T IWVRE IVAtIOX (rá miran)+ Tá * BIVRel Ai a ad x atypr / ” e A constatação de que (1, )- Bit4pS O x(Tó - silia) será feita no Exemplo 1 deste capítulo. Assim, chega-se à expressão para a velocidade absoluta da partícula B, ,v,, descrita no sistema inercial: 1. A rotação da Terra é descrita pela precessão, nutação e spin. O spin pode ser comprovado pela existên- cia dos dias e das noites. A precessão pode ser percebida pelas estações do ano: primavera, verão, outono e inverno. A nutação, relacionada com os movimentos de inclinação do eixo de rotação da Terra, pode ser detectada pelo fenômeno das glaciações. Pelo fato de esse movimento oscilatório ser muito lento e ter um período de milênios, o ser humano não é capaz de sentir seus efeitos. Cup. 1 Cinemática e cinética de partículas no planoenoespaço 9 [VB VAIO X Tap tiV qo (1.4) ou — u Tdi Bo IVA ti X (1; : ara) + To -&(aEsn) os TE Ea 1Y a é à velocidade linear absoluta do ponto A (ponto onde o sistema móvel está posicionado) representada no sistema inercial Z (0X £,5é O produto vetorial da velocidade angular absoluta do sistema de referência móvel pelo vetor de posição + Ty» Sendo ambos descritos no sistema incrcial. O vetor | Ep tem origem no ponto A e vai até o ponto de interesse B. Ressalta-se aqui que , F,, é escrito geralmente no sistema móvel de referência B1 para facilitar a representação do movimento. Quando este vetor é multiplicado pela matriz de transformação de coordenadas Ty; , tem-se sua representação no sistema inercial. Wa É à velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto 4. Esta velocidade é obtida quando se deriva o vetor posição sy em relação ao tempo, quando este está represcntado no sistema móvel de referência, cuja velocidade angular absoluta é (O. Derivando-se este vetor, tem-se sua representação no sistema móvel Bl. Faz-se, en- tão, necessário, multiplicá-lo pela matriz de transformação de coordenadas TJ; para obier a representação desse vetor no sistema inercial. Em seguida, efetua-se a soma de todos os termos da equação, todos representados no mesmo sistema de referência. ATENÇÃO Chama-se a atenção do lcitor para um ponto muito importante: muitos alunos confun dem o fato de se representar o vetor de velocidade absoluta no sistema móvel com o vetor de velocidade relativa. Ressalta-se aqui que um vetor de velocidade absoluta será sempre um vetor de velocidade absoluta. Como um vetor genérico pode ser representado tanto em um sistema móvel guanto em um inercial, representando o vetor de velocidade absoluta no sistema móvel, ele continuará sendo um vetor de velocidade absoluta, só que representado no sistema móvel. Um vetor de velocidade relativa também pode ser representado tanto em um sistema móvel quanto em um sistema inercial, e o fato de q vetor de velocidade relativa ser representado no sistema inercial não 0 torna um vetor de velocidade absoluta. Vetor de aceleração. O vctor de aceleração é obtido derivando-se duas vezes o vetor de posição em relação ao tempo: ad? 2 ras = a (mos) = (tos + é * Bila) did d er x É dl jãp=—|— +—( E )- +T; -— rãs SÍ Llitos) gal É) alas + dg ag (rita) d o” ata ATE E (mts9)| 
