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SOCIEDADE UNIVERSITÁRIA REDENTOR
FACULDADE REDENTOR
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Aluno(a): Turma: 6º Período Engenharia Mecânica Professor:
Valtency Ferreira Guimarães
Data:
Nota:
Disciplina:
P2 - Dinâmica II
- Quando a velocidade do veículo na figura era de 9,0 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veículo derrapou 6,0 m antes de parar. Determine o módulo da força de atrito em cada roda enquanto o veículo derrapava. As respostas devem ser dadas em função do peso P do veículo.
Usando as equações do movimento uniformemente acelerado, escrevemos:
2 2
2 2
a a m s
v v a s
São representadas as forças externas que agem no veículo: o peso P , as reações normais e as forças de atrito nas rodas.
Escrevendo as equações correspondentes e levando-se em conta que FA = μ NA e FB = μ NB , tem- se:
N P
N P P
N N P
N P
P N P
M mad P N ma
A
A
A B
B
B
B B
9 , 81 (^6 ,^75 )
P^ P
F ma F F ma
F F N N P
F N N P
x A B
A B A B
y A B
Então: F A . N A 0 , 243 P ; FB . NB 0 , 444 P
- No sistema da figura abaixo, os blocos A e B possuem massas 7,0 Kg e 5,0 Kg, respectivamente. A roldana é um disco homogêneo de raio r e massa 1,0 Kg e gira devido ao atrito com a corda. Considerando-se que o atrito entre o plano inclinado e o bloco A é desprezível, que não há deslizamento entre a corda e a roldana determine a aceleração do bloco A. Deixe claro se este bloco sobe ou desce a rampa.
Utilizando o somatório das forças em componentes paralelas e perpendiculares à superfície, e utilizando a lei de Newton, temos:
F ma m g T m a
F ma T m gsen m a y B B B
x A A A
...
Escrevemos a equação do momento angular da roldana: M I . ( TB TA ). r I .
Sabendo que a = r .α, e trabalhando o sistema de expressões: a = 1,177 m/s^2 ( sobe a rampa!)
- Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa m e o mesmo raio R , são liberados do repouso num plano inclinado. Sabendo que os momentos de inércia I dos corpos
Energia cinética:
Trabalho:
Princípio do Trabalho e Energia: Substituindo para cada corpo dado os Momentos de Inércia:
- A barra esbelta AO de 10 Kg é liberada a partir do repouso na posição vertical e comprime a mola de rigidez k = 2.10^3 N/m quando passa pela posição horizontal. Determine a regulagem apropriada para a mola definindo a distância h , que resultará em uma velocidade para a barra ω = 3 rad/s quando ela cruzar a posição horizontal. Expresse sua resposta em cm.
Este é um sistema conservativo e, portanto, a energia total (mecânica) é conservada.
V V kx h hJ
T I J
V V mgh J
T
e
g
2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
1
1
21 .. 21.^2.^10.^10
21 .. 21. 3110 .(^0 ,^6 ).^35 ,^4
trabalhando com a conservação de energia: 0 29 , 43 5 , 4 103 h^2 → h 0 , 155 m 15 , 5 cm
- A barra uniforme de 20 Kg mostrada na figura é pivotada em O , e oscila livremente no plano vertical. Se a barra é liberada a partir do repouso na posição horizontal, calcule o valor inicial da força exercida pelo mancal sobre a barra no instante imediatamente após ela ser liberada.
Considerando as forças que agem sobre a barra, representadas abaixo, podemos escrever as equações do momento em relação a O :
MO IO
( mg ). r =^2
1 ml → 20.9,81.0,8 = 1/3.20.(1,6)^2 α → α = 9,2 rad/s^2
Utilizando a expressão da força, calculamos R :
Ft^ m. a^ t m. r .^ →^ 20.9,81 –^ R^ = 20.0,8.9,2 →^ R^ = 49 N
- O homem puxa a corda com uma força de 100 N, na direção mostrada na figura. Se a bobina tem peso de 250 N e raio de giração kG = 0,8 m em relação ao seu eixo em A , determine a velocidade angular da bobina 2 s após ter partido do repouso. Despreze o atrito e o peso da corda removida.
- A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita. Determine as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem usando o método do centro instantâneo de rotação.
Resolução:
v r . 01 , 15 ,^2 8 rad / s
rD ( 0 , 150 ). 2 0 , 212 m
- A barra-pistão do cilindro hidráulico está se movendo a velocidade constante de 80 mm/s
na direção indicada. Para o instante em que a barra AB atinge a posição vertical com θ = 45º,
calcular a aceleração de B.
Resolução:
aB = aA + aB/A ; aA = 0; aB = 0 + aB/A aB = ( aB/A ) t + ( aB/A ) n ; ( aB/A ) t = 0 aB = ( aB/A ) n = r ω^2 ω = vA / rpist ; rpist = 150. sen 45º = 127,63 mm → ω = 80/127,63 = 0,627 rad/s aB = 150.(0,627)^2 → aB = 58,97 mm/s^2
- Um fio ideal que passa por uma roldana de raio R tem uma de suas extremidades presa a um bloco de massa m 1 , que pode se mover sobre uma superfície horizontal lisa, e outra presa a um bloco de massa m 2 que se move para baixo, como mostrado na figura. Represente a aceleração dos blocos sabendo que o momento de inércia da roldana vale I = ½ MR^2.
Resolução:
m m M
a m g
2.^2.
- Um corpo rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v. A seguir ele rola para cima em uma rampa até a
altura máxima h. Se h^34 v^ g
2
. Com base nos valores de momento de inércia fornecidos, diga qual pode ser o corpo.
Resolução:
Sistema conservativo
21 mv^^2 ^12 I^ ^2 ^0 ^0 mgh^ ;^ v = ωR:
g mg v R mv I v 4
2 m R (^) m I → 2
mR^2 I O corpo pode ser um cilindro de massa m e raio R.
- A polia dupla consiste em duas rodas ligadas de forma a girarem juntas. A polia tem massa de 30 Kg e raio de giração k 0 = 250 mm. Se os homens A e B se penduram nas cordas ao mesmo tempo, determine suas velocidades 4 s após a partida do repouso. Os
Questão 2. (1,5 PONTOS) O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e aceleração angular α = 12,5 rad/s^2 no instante considerado. Se o disco rola sem deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da aceleração de B para esse instante. Se o disco rola sem deslizar sobre a superfície, pode-se encontrar o módulo da aceleração do ponto O através da relação entre acelerações escalar e angular e escrever o vetor:
a i m s
a m s
a r
O
O
O
Aplicando-se diretamente a expressão vetorial de aceleração relativa para se determinar a aceleração do ponto B :
16 , 25 ˆ 2 , 5 ˆ( / )
5 ˆ 12 , 5 ˆ 0 , 2 ˆ ( 7 , 5 ) .( 0 , 2 ˆ)
.
2
2
/^2 /
/
a i j m s
a i k i i
a a r r
a a a
B
B
B A BO BO
B A BO
Encontrando seu módulo:
2
2 2
a m s
a
B
B
Questão 3. (2,0 PONTOS) O veículo de passeio mostrado na figura tem 1650 Kg, e seu centro de massa é posicionado no ponto G. As massas das rodas são pequenas, se comparadas com a massa total do veículo. Considere o coeficiente de atrito estático entre a pista e as rodas motoras traseiras igual a 0,8. a) (0,5 PONTO) Represente o diagrama de corpo livre para o veículo. b) (1,0 PONTO) Calcule as forças normais NA e NB entre a pista e os pares de rodas dianteiras e traseiras na condição de aceleração máxima. c) (0,5 PONTO) Calcule a força de atrito entre o piso e as rodas dianteira e traseira.
Representando todas as forças que agem no veículo:
Utilizando as expressões dos somatórios dos momentos das forças em relação a um ponto C na mesma linha de ação da normal NA e do centro G, tem-se: ( Obs. Poderia ter-se adotado outro ponto qualquer; este ponto foi escolhido para que os torques exercidos pelas por essas duas forças NA e G fossem nulos).
N N kN
N N
N f W
M
B
B B
B at
C
Utilizando as expressões dos somatórios das forças na direção de y escreve- se:
N N kN
N
N N mg
F N N W
A
A
A B
y A B
Força de atrito: fA = 0 N ; fB = 0,8.9340 = 7472 N = 7,472 kN Questão 4. (1,0 PONTO) Um disco de 80 Kg é suportado pelo pino em A. Se ele é solto a partir do repouso na posição mostrada na figura, determine a aceleração angular α adquirida pelo disco. O momento de inércia do disco
em relação ao ponto A vale^2
I^3 mR
A .
Questão 5. (1,0 PONTO) Um corpo rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v. A seguir ele rola para cima em uma rampa até a altura máxima h. Determine o momento de inércia do corpo se a altura atingida por ele vale
g
h v
^7 .
Resolução: Este é um sistema conservativo e, portanto, a energia total (mecânica) é conservada. A estratégia para resolver
P Fv M
FÓRMULAS GERAIS:
v r
F ^ m^ aG
Fx ^ m ^ aG x
Fy ^ m ^ aG y
MG IG
M^ P mad
Ft^ m ^ aG ^ t m^ . rG
2 2
T mvG IG
U F sF .cos . ds
Fn^ ^ m ^ aG n m^ ^2 rG
Questão 7. (1,5 PONTOS) Uma cápsula espacial tem massa de 1200 Kg e momento de inércia IG = 900 Kg.m^2 em relação a um eixo que passa por G e é perpendicular à página. Se ela se desloca para frente com velocidade vG = 800 m/s e executa uma volta graças à ação de dois jatos, que fornecem um empuxo constante de 400 N, durante 0,3 s, determine a velocidade angular da cápsula depois de interrompida a ação dos jatos.
SOCIEDADE UNIVERSITÁRIA REDENTOR
FACULDADE REDENTOR
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Aluno(a): Turma: 6º Período Engenharia Mecânica Professor:
Valtency Ferreira Guimarães
Data:
Nota:
Disciplina:
P 2 - Dinâmica II
Questão 1 - Um carro esporte tem massa de 1,5 t e centro de massa em G. Determine o tempo mínimo que ele leva para atingir uma velocidade de 80 Km/h, partindo do repouso, se a tração é traseira e as rodas dianteiras rolam livremente. O coeficiente de atrito estático entre as rodas e o pavimento é μe = 0,2. Despreze a massa das rodas.
Questão 2 - Um disco de 80 Kg é suportado pelo pino em A. Se ele é solto a partir do repouso na posição mostrada na figura, determine a aceleração angular α adquirida pelo disco. O momento de inércia do
disco em relação ao ponto A vale^2
I^3 mR
A .
Questão 5 - Um cilindro maciço de 10,4 cm de raio e massa 11,8 Kg parte do repouso e rola sem deslizar uma distância de 6,12 m para baixo do telhado de uma casa, que é inclinado de 27º. Qual a velocidade angular do cilindro em torno de seu eixo, quando ele deixa o telhado?
Questão 6 - A barra esbelta AO de 10 Kg é liberada a partir do repouso na posição vertical e comprime a mola de rigidez k = 2.10^3 N/m quando passa pela posição horizontal. Determine a regulagem apropriada para a mola definindo a distância h , que resultará em uma velocidade para a barra ω = 3 rad/s quando ela cruzar a posição horizontal. Expresse sua resposta em cm.
Este é um sistema conservativo e, portanto, a energia total (mecânica) é conservada.
V V kx h hJ
T I J
V V mgh J
T
e
g
2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
1
1
21 .. 21.^2.^10.^10
21 .. 21. 3110 .(^0 ,^6 ).^35 ,^4
trabalhando com a conservação de energia: 0 29 , 43 5 , 4 103 h^2 → h 0 , 155 m 15 , 5 cm
Questão 7 - Uma pessoa que passa através de uma porta giratória exerce uma força horizontal de 90 N sobre um dos quatro painéis da porta e mantém um ângulo de 15º constante em relação à linha perpendicular ao painel. Se cada painel for modelado por uma placa retangular uniforme de 60 Kg com 1,2 m de comprimento, quando visto de cima, determine a velocidade angular final da porta se a pessoa exercer a força durante 5 segundos. A porta está, inicialmente, em repouso e o atrito pode ser desprezado.
Questão 8 - Uma cápsula espacial tem massa de 1200 Kg e momento de inércia IG = 900 Kg.m^2 em relação a um eixo que passa por G e é perpendicular à página. Se ela se desloca para a frente com velocidade vG = 800 m/s e executa uma volta graças à ação de dois jatos, que fornecem um empuxo constante de 400 N, durante 0,3 s, determine a velocidade angular da cápsula depois de interrompida a ação dos jatos.
ω = ω 0 +α.Δt ω = 0 + 0,604. ω = 3,02 rad/s
(B) Se somente a afirmativa 1 está correta! (D) Se somente a afirmativa 2 está correta!
i ) (0,5 Ponto) 1 - Se um sistema de forças é aplicado a um corpo rígido com forma e tamanho definidos poderá provocar momentos que irão resultar numa aceleração angular do corpo. 2 - O momento de inércia de um corpo extenso em relação ao eixo de rotação é calculado por:
ii ) (0,5 Ponto) Um carro de 2000 Kg tem centro de massa em G. Sabendo que as rodas traseiras, de “tração”, estão deslizando, e as dianteiras estão livres. Despreze as massas das rodas, sendo o coeficiente de atrito cinético entre as rodas e o pavimento é μc = 0,25. 1 - As forças de reação normal exercida sobre as rodas dianteiras ( NA ) serão maiores que as exercidas sobre as rodas traseiras ( NB ). 2 - A aceleração do centro de massa do carro será menor que 1,65 m/s^2. TABELA DE RESPOSTAS ITEM i ii RESPOSTA A D Questão 3. O cilindro maciço homogêneo de momento de inércia igual a I = ½mr^2 mostrado na figura é liberado a partir do repouso sobre a rampa. Se θ = 30º, determine: a) (1,0 Ponto) A aceleração do centro de massa G.
b) (1,0 Ponto) A força de atrito F exercida pela rampa sobre o cilindro. Representação das forças que agem sobre o cilindro:
F N N N
F ma F sen a y
x 0 3 , 6 .( 9 , 81 .cos 30 º) 0 30 , 6
2
1
2
F ma T
F ma T
M G IG F F
F 5 , 89 N ; a 3 , 27 m / s^2
Questão 4. (1,5 Ponto) A barra esbelta AO de 10 Kg é liberada a partir do repouso na posição vertical e comprime a mola de rigidez k = 2.10^3 N/m quando passa pela posição horizontal. Determine a regulagem apropriada para a mola definindo a distância h , que resultará em uma velocidade para a barra ω = 3 rad/s quando ela cruzar a posição horizontal. Expresse sua resposta em cm. Este é um sistema conservativo e, portanto, a energia total (mecânica) é conservada.
V V kx h hJ
T I J
V V mgh J
T
e
g
2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
1
1
21 .. 21.^2.^10.^10
21 .. 21. 3110 .(^0 ,^6 ).^35 ,^4
trabalhando com a conservação de energia: 0 29 , 43 5 , 4 103 h^2 → h 0 , 155 m 15 , 5 cm
Questão 5. (1,5 Ponto) Uma bola de raio igual a 11 cm e massa M = 7,2 Kg rola sem deslizamento sobre uma superfície horizontal a 2 m/s. Depois ela sobe por até uma altura h antes de alcançar o repouso e voltar rodando para trás. Com base na conservação de energia mecânica para os corpos rígidos, determine a altura h. Considere I bola = (2/5) MR^2.
Questão 6. (1,0 Ponto) Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa m e o mesmo raio R , são liberados do repouso num plano inclinado. Sabendo que os momentos de inércia I dos corpos valem respectivamente (2/5) mR^2 , (1/2) mR^2 e mR^2 , utilizando o teorema do trabalho- energia represente a velocidade de cada corpo após terem rolado uma distância h da altura inicial. Energia cinética:
Trabalho: Princípio do Trabalho e Energia:
