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Determinantes (teoria e exemplos) GuEscocard, Notas de aula de Matemática

Faculdade de Ciências Humanas e Sociais (FUCAMP)Matemática

Aula de Determinantes

Tipologia: Notas de aula

2013

Compartilhado em 03/07/2013

gustavo-de-oliveira-esocard-6
gustavo-de-oliveira-esocard-6 🇧🇷

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bg1
guescocard@hotmail.com
Determinantes (Teoria)
Definição: Determinante é uma função que
associa a cada matriz quadrada um número
escalar.
Determinante de Matriz 2x2
O determinante da matriz quadrada de
ordem 2 é dado pela diferença entre os produtos
das diagonais (principal e secundária). Veja:
A = a1b1
a2b2
Diagonal Diagonal
Secundária Principal
det A = DP – DS
det A = (a1.b2) – (b1.a2)
Obs.: A determinante da matriz A pode ser
escrita como det A ou |A|.
Exemplos:
1 – Calcule o determinante de cada matriz:
a) A = 3 12 det A = DP – DS
2 9 det A = (3 . 9) – (12 . 2)
det A = 27 – 24
det A = 3
b) B = 1 ½ det B = DP - DS
1/3 ¼ det B = (1 . ¼) – (1/3 . ½)
det B = ¼ – 1/6
det B = 3/12 – 2/12
det B = 1/12
2 – Calcule o determinante da matriz A = (aij)2x2
definida por aij = i2 + 2j
A = a11 a12
a21 a22
A = (12+2.1) (12+2.2)
(22+2.1) (22+2.2)
A = 3 5 det A = DP - DS
6 8 det A = (3 . 8) – (5 . 6)
det A = 24 – 30
det A = -6
Determinante de Matriz 3x3 (Regra de Sarrus)
Para encontrar o determinante de uma
matriz quadrada de ordem 3 é preciso realizar
algumas manipulações de modo a facilitar o
cálculo. Veja:
1
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa

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Determinantes (Teoria)

Definição : Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número escalar. Determinante de Matriz 2x O determinante da matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre os produtos das diagonais (principal e secundária). Veja: A = a 1 b 1 a 2 b 2 Diagonal Diagonal Secundária Principal det A = DP – DS det A = (a 1 .b 2 ) – (b 1 .a 2 ) Obs.: A determinante da matriz A pode ser escrita como det A ou |A|. Exemplos: 1 – Calcule o determinante de cada matriz: a) A = 3 12 det A = DP – DS 2 9 det A = (3. 9) – (12. 2) det A = 27 – 24 det A = 3 b) B = 1 ½ det B = DP - DS 1/3 ¼ det B = (1. ¼) – (1/3. ½) det B = ¼ – 1/ det B = 3/12 – 2/ det B = 1/ 2 – Calcule o determinante da matriz A = (aij)2x definida por aij = i^2 + 2j A = a 11 a 12 a 21 a 22 A = (1^2 +2.1) (1^2 +2.2) (2^2 +2.1) (2^2 +2.2) A = 3 5 det A = DP - DS 6 8 det A = (3. 8) – (5. 6) det A = 24 – 30 det A = - Determinante de Matriz 3x3 (Regra de Sarrus) Para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 é preciso realizar algumas manipulações de modo a facilitar o cálculo. Veja:

a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 A = b 1 b 2 b 3 b 1 b 2 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 Diagonal Diagonal Secundária Principal det A = DP – DS det A = (a 1 .b 2 .c 3 )+(a 2 .b 3 .c 1 )+(a 3 .b 1 .c 2 ) – (a 3 .b 2 .c 1 )+ (a 1 .b 3 .c 2 )+(a 2 .b 1 .c 3 ) Exemplos: 1 – Calcular o determinante D da matriz 3 4 3 3 4 1 5 6 1 5 2 1 2 2 1 Diagonal Diagonal Secundária Principal det = DP – DS det = (3. 5. 2) + (4. 6. 2) + (3. 1. 1) – (3. 5.

  1. – (3. 6 .1) – (4. 1. 2) = 30 + 48 + 3 – 30 – 18 – 8 det = 25 Determinante de Matriz n x n Quando temos que encontrar o determinante de uma matriz de ordem superior a 3, temos que seguir um algoritmo mais trabalhoso. Veja: a 11 a 12 a 13 a 14 … a1n a 21 a 22 a 23 a 24 … a2n A = a 31 a 32 a 33 a 34 … a3n …............................................................. an1 an2 an3 an4 … ann det A = a 11 .C 11 + a 12 .C 12 + a 13 .C 13 + a 14 .C 14 + … a1n.C1n Ou seja, soma-se o produto entre todos os elementos com seus respectivos cofatores da fileira. Relembrando conceitos: O cofator de um elemento aij pertencente à matriz A é (-1)i+j^. det A*. O teorema de Laplace Esse teorema diz que é possível encontrar a determinante de uma matriz quadrada qualquer somando os produtos dos elementos pelos seus respectivos cofatores de uma única fileira. Seja ela uma linha ou coluna. Para tornar o cálculo mais simples, basta escolher a fileira com o maior número de ''zeros''. {aij.Cij = 0 ↔ aij = 0 ou Cij = 0}

Exemplo: 2 7 0 A = -8 2 0 5 3 0 det A = 0 4 6 - B = 0 0 0 3 2 - det B = 0 b)Duas filas paralelas proporcionais ou iguais a e f a b g h b A = c i j c d k l d *Fileiras iguais a b c d e f g h A = i j k l 3a 3b 3c 3d *Fileiras proporcionais (L 3 = 3.L 1 ) Exemplo: 2 -7 5 A = 3 9 0 2 -7 5 det A = 0 6 7 12 B = 2 -1 4 -3 4 - det B = 0 c) Uma fileira é combinação linear das demais paralelas a b c A = d e f 3a+d 3b+e 3c+f Observamos uma espécie de ''lei'' que determina os elementos que integrarão uma das filas, e essa ''lei'' envolve as demais filas paralelas. Neste caso, temos que 3.L 1 +L 2 = L 3

Exemplo: 3 4 - A = 5 8 - 1 0 5 L3 = 2.L 1 – L 2 det A = 0 2 – Multiplicando-se ou dividindo-se uma das filas da matriz por um valor real ''k'', a determinante também será multiplicada ou dividida por esse valor. a b c A = d e f g h i det A = x a b c B = 2d 2e 2f g h i det B = 2x Exemplo: A = 3 6 det A = (3.(-5)) – (2.6) 2 -5 det A = -15 - 12 det A = - B = 6 12 det B = (6.(-5)) – (12.2) 2 -5 det B = -30 – 24 det B = - 3 – O determinante de uma matriz triangular será o produto dos elementos da diagonal principal. a d e A = 0 b f 0 0 c det A = a.b.c Exemplo: A = -10 2 3 0 4 2 0 0 1 det A = (-10). 4. 1 det A = -

det A-1^ = 1/det A det A -1^ = 1/ 7 – Somar uma fila a uma paralela multiplicada por uma constante não altera o determinante. (Teorema de Jacobi) a b c A = d e f g h i det A = x a b 2a + c B = d e 2d + f g h 2g +i C 3 + C 1 .2 = C 3 det A = det B = x Aplicação: Manipular matrizes de modo a deixá-las com o maior número de zeros, o que facilitará o cálculo do determinante. Exemplo: 1 – Calcule o determinante da matriz A usando o teorema de Jacobi:

A = 0 2 3 2

-L 3 + L 4

A = 0 2 3 2

-L 1 + L 3

A = 0 2 3 2

1.A 11 + 0.A 21 + 0.A 31 + 0.A 41

1.(-1)1+1^. 2 3 2

8 – Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por uma número real k , o seu determinante fica multiplicado por kn. Quando multiplicamos a matriz M por k , todos os elementos de M são multiplicados por k. Assim, ao multiplicarmos uma linha (ou coluna), o determinante de M fica multiplicado por k ; ao multiplicarmos duas linhas, ele fica multiplicado por k.k ou k^2 ; ao multiplicarmos as n linhas, o determinante fica multiplicado por kn. Exemplo: A = 3 4 det A = (3.5) – (4.2) 2 5 det A = 15 – 8 det A = 7 5A = 15 20 det (5A) = (15.25) – (20.10) 10 25 det (5A) = 375 – 200 det (5A) = 175 det (5A) = 5^2. 7 9 – O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de seua transposta, isto é, det M = det (Mt) A = a b det A = ad - bc c d At^ = a c det At^ = ad - bc b d Exemplo: A = 2 -1 det A = (2.6) - ((-1).(-5)) -5 6 det A = 12 – 5 = 7 At^ = 2 -5 det At^ = (2.6) - ((-1).(-5)) -1 6 det At^ = 12 – 5 = 7 10 – Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nava matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior. a d g A = b e h c f i det A = aei + cdh + bfg – ceg – bdi – afh d a g At^ = e b h f c i det At^ = bdi + afh + ceg – bfg – aei – cdh det A = - det B

(-1)2+3^. -3-(3.(-8)) -3-((-1)).(-8))

Observações: Matriz dos cofatores (A') Denomina-se ''matriz dos cofatores'' a matriz que se obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo cofator Aij Matriz adjunta (A) Denomina-se ''matriz adjunta'' a matriz transposta da matriz dos cofatores. A = (A')t