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Cálculo diferencial
Tipologia: Notas de estudo
1 / 12
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Se f(x,y,z) é definida em uma região tridimensional
3 D ⊂ R e, se existe em D a
derivada parcial x
f
, para cada ponto P(x,y,z)∈ D, tem-se que
∆x
f x ∆x,y fx, y f x,y,z lim x
f
∆x 0 x 0 0 0
→
Se, nesse limite, é considerada a restrição da função sobre a reta r 1 , que passa pelo
ponto P e é paralela ao eixo X, obtém-se a derivada parcial
x
f
, que é a derivada da função
f na direção do eixo X. Pode-se efetuar considerações análogas para as derivadas parciais
z
f
y
f
, , desde que existentes em D.
Podemos calcular a taxa de variação de uma função segundo uma direção qualquer,
ou seja, a derivada desta função segundo esta direção, mediante a derivada direcional.
Seja f(x,y,z) uma função definida em uma região tridimensional
3 D ⊂ R. Seja
P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )
3 ∈ D ⊂ R e consideremos uma vizinhança tri-dimensional V (P 0 ) D
3 ⊂.
Consideremos agora uma direção dada pela reta orientada r que passa por P 0. Se
associarmos um sistema de abcissas à reta r, com origem em P 0 , onde s é a abcissa de um
ponto genérico P(x,y,z), descrevente de r, tal que
3 P ∈ D⊂ R , e sejam
O
X
Y
Z
P 0
P
M
N
D ⊂ R^3
r
3 V
r
O
r 2
r 2
r 3
X
Y
Z
x = g 1 (s)
y = g 2 (s)
z = g 3 (s)
as equações paramétricas da reta r em função do parâmetro s. Observe-se que a s=
corresponde o ponto P 0 inicial. Consideremos a restrição de f sobre o conjunto
3 (x, y,z) = g 1 (s),g 2 (s),g 3 (s) ⊂V
e essa restrição tem valores denotados por f(g 1 (s),g 2 (s),g 3 (s)).
O seguinte limite:
s
f(P)-f(P ) lim s
(g(s),g (s),g (s))-f(x ,y ,z ) lim
0 s 0
1 2 3 0 0 0 s → 0 →
f
se existe e é finito, é denominado, por definição, de derivada direcional da função f,
segundo a direção da reta r e no ponto P 0 .. Esta derivada fornece a taxa de variação da
função f segundo a direção da reta r. e se representa por
s
f(P)-f(P) lim s
f (^0)
s 0 0
→
P
Expressão Escalar da Derivada Direcional
Se P(x,y,z) é um ponto genérico, descrevente de r, e se a direção de r é dada pelas
equações paramétricas x = g 1 (s); y = g 2 (s); z = g 3 (s), então a função f pode ser
considerada como a função composta f(x,y,z)=f( g 1 (s),g 2 (s),g 3 (s)), e a derivada s
f
é a
derivada desta função composta em relação à sua variável independente s, ou seja,
s
z
z
f
s
y
y
f
s
x
x
f
s
f ,
que é a expressão escalar da derivada direcional. Se quisermos seu valor em um dado
ponto, basta substituirmos os valores da derivadas parciais nesse ponto na fórmula.
Expressão Vetorial da Derivada Direcional
Como x = g 1 (s); y = g 2 (s); z = g 3 (s), a expressão escalar da derivada direcional
pode ser interpretada como o produto escalar de dois vetores:
i j k i j k s ds
dg
ds
dg
ds
dg . z
f
y
f
x
g f
z
f
s
g
y
f
s
g
x
f
s
f (^123123)
P 0
r
P
s
derivada de r (s)em relação a s dessa expressão obtemos: (a sb) b ds
d
ds
dr ( s) = + = (2),
lembrando que a é um vetor constante, não variando com s
1
. Igualando (1) = (2), temos:
b ds
dg
ds
dg
ds
dg (^1 ) i + j + k = ,
e a expressão da derivada direcional pode ser escrita:
ds
dg
ds
dg
ds
dg . z
f
y
f
x
f
s
f (^1 ) =
i j k i j k ,
que é a expressão vetorial da derivada direcional.
Valor Máximo da Derivada Direcional em Um Ponto
A derivada direcional de uma função f(x,y,z), em um dado ponto P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ), se
existente, é dada por
s
f
P 0
Como b é o versor da direção r, vamos agora considerar o problema de identificar
a direção segundo a qual a derivada direcional em um ponto apresente o seu valor máximo.
Sabe-se que
s
f
0 0
P P
onde φ é o ângulo entre a direção da reta r e a direção do gradiente da função f, conforme
ilustrado na figura seguinte.
P 0 s
f
ou seja, φ=0.
1 Derivada de uma função vetorial de uma variável escalar: seja a função vetorial
r( s)= g 1 (s)i+ g 2 (s)j+g 3 (s)k de argumento escalar s. Sua derivada em relação ao
argumento s pode ser definida como uma nova função vetorial, também de argumento s,
i j k ds
dg
ds
dg
ds
dg
s
r(s s)-r( s) lim ds
dr ( s) 1 2 3
s 0
∆ →
. No caso, como a é um vetor constante,
as derivadas ds
dg 1 , ds
dg 2 , ds
dg 3 são nulas, pois são derivadas de constantes em relação a s.
Isso implica em que a derivada direcional da função f, no ponto P 0 assume o seu
valor máximo quando considerada na direção do vetor gradiente de f neste ponto:
P 0 grad f.
Propriedades geométricas do vetor gradiente
Se f é diferenciável no ponto (a,b) e grad f(a,b) ≠ 0 , tem-se que:
-perpendicular à curva de nível de f que passa por (a,b);
-paralelo à direção em que f cresce.
-a taxa de variação máxima de f no ponto (a,b);
-grande quando as curvas de nível estão próximas uma das outras e pequena
quando estão afastadas.
Exercícios
1.) Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=xz+y
2 , na direção do vetor
a = 2 i − 4 j + 4 k.
s
f =
, onde i j k
z
f
y
f
x
f grad f e a
a b =.
r
φ
b 1
G 0
P 0
b 2
O Y
X
e o seu valor no ponto P 0 é:
000 P 0 ( 0 , 0 , 0 )=^ + + = + + =
++ = i^ j k i j k.
Passaremos agora ao cálculo do versor da direção:
a
a b 2 2 2
i j k i j k
e a derivada direcional daria:
gradf .b ( 1 , 1 , 1 ). s
f
P 0
4.) Calcule a derivada direcional de uma função f(x,y,z) segundo a direção de uma reta
forma com os eixos OX, OY e OZ respectivamente.
O vetor (ou reta orientada) r pode ser escrito em função de seus vetores
r r cos
r rcos
r rcos
z
y
x
j
i
k
X
Y
Z
r
logo r = ( rx,ry,rz) =(rcosα, rcosβ,rcosγ)=r(cosα,cosβ,cos γ), de onde se conclui que
(cos ,cos ,cos ) r
r b= = α β γ. Observe-se que b cos cos cos 1
2 2 2
versor, donde se pode obter: cos cos cos 1
2 2 2 α + β+ γ= , que é a lei dos co-senos diretores
de uma direção.
s
f =
. O gradiente de f vale:
i j k
z
f
y
f
x
f
cos z
f cos y
f cos x
f
.(cos ,cos ,cos ) z
f
y
f
x
f gradf .b s
f
i j k
ou seja, α β cos γ z
f cos y
f cos x
f
s
f
é a fórmula pedida.
cos cos cos 1 cos cos cos 1
2 2 2 2 2 2
conhecida como lei dos co-senos diretores.
5.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=xy+yz+zx, no ponto P 0 (2,0,-1), sendo
Sendo α β cos γ
z
f cos y
f cos x
f
s
f
, calculamos primeiro as derivadas
parciais y x
z
f x z; y
f y z; x
f = + ∂
; seus valores em P 0 (2,0,-1) são:
z
f 2 1 1 ; y
f 0 1 1 ; x
f
0 0 0
P P P
; substituindo-se agora os valores
dos co-senos
2
;cos 2
s
f
0
P
6.) A temperatura em
0 C em um ponto qualquer do plano é dada por x y 1
T(x, y) 2 2
a) Que forma têm as curvas de nível de T?
b) Em que lugar do plano a temperatura é maior?
c) Qual a magnitude do crescimento máximo no ponto (3,2)?
d) Ache a direção do máximo decréscimo na temperatura no ponto (3,2).
s
f
0 0
p
, e o gradiente por meio
de
x y 1
x y 1
x y 1
y
f
x
f grad f 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= i j i j i e o seu
grad f 0 2 P i j i + j
=. Sabe-se que a
direção do gradiente é a que dá a maior taxa de crescimento da função, portanto
i j
i j
i j
(gradf)
(gradf) b 2 2 P
P
0
0 =− −
e a variação máxima nesse ponto seria dada por:
gradf .b s
f 0 0
i j i j
p
d) A direção de decrescimento máximo em (3,2) é a contrária à de crescimento máximo em
(3,2), portanto é a direção inversa à do gradiente nesse ponto:
x y 1
grad f 2 2 2
− = i
e) A direção em (3,2) onde sua temperatura nem cresce nem decresce corresponde à direção
que anula a derivada direcional nesse ponto, pois nessa direção a variação da função é nula.
100 y
49
150 x ( 3 2 ) .(x yj) 49
= i j i , de onde se pode obter x 2
y = - , que
corresponde ao vetor (^)
x x 1,- 2
x,-. O versor dessa direção seria dado por
b. A derivada direcional é nula quando a direção b é
perpendicular à direção do gradiente. Para conferir, o produto escalar deve ser nulo:
i j. Deve-se observar que o versor
b também é perpendicular à direção do gradiente, e também nessa direção
variação da função é nula.
Exercícios
1.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=
2 yz 3 x e − 3 xz , no ponto P 0 (2,0,-1),
sendo 6
2.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)= xy+yz+zx, no ponto P 0 (1,1,1), sendo
3.) Calcule a derivada direcional da função
2 2 f(x, y,z)= 3x y+xy , no ponto P 0 (-1,3), sendo
4.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=
2 3 2 3 x y+ 5yz , no ponto P 0 (1,-1,2), na
direção de a = 3 i − 2 j + 3 k.
5.) Determine a derivada direcional da função f(x,y,z)=
2 xz - y , na direção da reta que
passa pelos pontos P(-1,2,3) e Q(1,0,4), orientada de Q a P.
6,) Determine a derivada direcional da função f(x,y,z)=
2 2 2 x + y +z , na direção do vetor
a = 2 i − j + 3 k.
7.) Determine a derivada direcional da função
2 f(x.y, z)= xy− z na direção do vetor
r = 4 i− 4 j+ 2 k.
8.) O potencial elétrico V, em volts, no ponto P(x,y,z), é dado por 2 2 2 x y z
onde x,y e z são dados em centímetros. Qual a taxa de variação de V no instante em que
passamos por P 0 (−1,2,3) na direção de P(1,0,4)?
R. 1,72 V/cm
9.) A temperatura em uma chapa plana é dada por
2 2 T(x.y) = x +xy+y , sendo T dado em
0 C e x,y e z em centímetros.
a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (1,2).
b) Determine, a partir de ponto (1,2), a direção em que a temperatura cresce o mais
rapidamente possível, e qual a sua taxa de crescimento.
c) Determine, a partir de ponto (1,2), a direção em que a temperatura decresce o mais
rapidamente possível, e qual a sua taxa de decrescimento.
d) Determine, a partir do ponto (1,2), em que direção devemos seguir a fim de que a
temperatura permaneça constante.
e) Calcule o valor da derivada direcional em (1,2) segundo a direção dada pelos ângulos
0 0