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Guias e Dicas
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Derivadas direcionais,, Notas de estudo de Engenharia Química

Cálculo diferencial

Tipologia: Notas de estudo

2011
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Compartilhado em 23/03/2011

agnes-mafra
agnes-mafra 🇧🇷

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bg1
Prof. Manoel de Campos Almeida
DERIVADAS DIRECIONAIS
Se f(x,y,z) é definida em uma região tridimensional 3
R
D
e, se existe em D a
derivada parcial
x
f
, para cada ponto P(x,y,z)
D, tem-se que
( )
(
)
(
)
x
yx,fyx,xf
limz,y,xf
x
f
0x
000x
==
.
Se, nesse limite, é considerada a restrição da função sobre a reta r1, que passa pelo
ponto P e é paralela ao eixo X, obtém-se a derivada parcial
x
f
, que é a derivada da função
f na direção do eixo X. Pode-se efetuar considerações análogas para as derivadas parciais
z
f
y
f
, , desde que existentes em D.
Podemos calcular a taxa de variação de uma função segundo uma direção qualquer,
ou seja, a derivada desta função segundo esta direção, mediante a derivada direcional.
Seja f(x,y,z) uma função definida em uma região tridimensional 3
R
D
. Seja
P0(x0,y0,z0)3
R
D
e consideremos uma vizinhança tri-dimensional D)P(V 0
3.
Consideremos agora uma direção dada pela reta orientada r que passa por P0. Se
associarmos um sistema de abcissas à reta r, com origem em P0 , onde s é a abcissa de um
ponto genérico P(x,y,z), descrevente de r, tal que 3
R
D
P
, e sejam
O
X
Y
Z
P0
P
M
N
3
R
D
r
3
V
r
O
r2
r2
r3
X
Y
Z
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DERIVADAS DIRECIONAIS

Se f(x,y,z) é definida em uma região tridimensional

3 D ⊂ R e, se existe em D a

derivada parcial x

f

, para cada ponto P(x,y,z)∈ D, tem-se que

∆x

f x ∆x,y fx, y f x,y,z lim x

f

∆x 0 x 0 0 0

Se, nesse limite, é considerada a restrição da função sobre a reta r 1 , que passa pelo

ponto P e é paralela ao eixo X, obtém-se a derivada parcial

x

f

, que é a derivada da função

f na direção do eixo X. Pode-se efetuar considerações análogas para as derivadas parciais

z

f

y

f

, , desde que existentes em D.

Podemos calcular a taxa de variação de uma função segundo uma direção qualquer,

ou seja, a derivada desta função segundo esta direção, mediante a derivada direcional.

Seja f(x,y,z) uma função definida em uma região tridimensional

3 D ⊂ R. Seja

P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )

3 ∈ D ⊂ R e consideremos uma vizinhança tri-dimensional V (P 0 ) D

3 ⊂.

Consideremos agora uma direção dada pela reta orientada r que passa por P 0. Se

associarmos um sistema de abcissas à reta r, com origem em P 0 , onde s é a abcissa de um

ponto genérico P(x,y,z), descrevente de r, tal que

3 P ∈ D⊂ R , e sejam

O

X

Y

Z

P 0

P

M

N

DR^3

r

3 V

r

O

r 2

r 2

r 3

X

Y

Z

x = g 1 (s)

y = g 2 (s)

z = g 3 (s)

as equações paramétricas da reta r em função do parâmetro s. Observe-se que a s=

corresponde o ponto P 0 inicial. Consideremos a restrição de f sobre o conjunto

3 (x, y,z) = g 1 (s),g 2 (s),g 3 (s) ⊂V

e essa restrição tem valores denotados por f(g 1 (s),g 2 (s),g 3 (s)).

O seguinte limite:

s

f(P)-f(P ) lim s

(g(s),g (s),g (s))-f(x ,y ,z ) lim

0 s 0

1 2 3 0 0 0 s → 0 →

f

se existe e é finito, é denominado, por definição, de derivada direcional da função f,

segundo a direção da reta r e no ponto P 0 .. Esta derivada fornece a taxa de variação da

função f segundo a direção da reta r. e se representa por

s

f(P)-f(P) lim s

f (^0)

s 0 0

^ =

P

Expressão Escalar da Derivada Direcional

Se P(x,y,z) é um ponto genérico, descrevente de r, e se a direção de r é dada pelas

equações paramétricas x = g 1 (s); y = g 2 (s); z = g 3 (s), então a função f pode ser

considerada como a função composta f(x,y,z)=f( g 1 (s),g 2 (s),g 3 (s)), e a derivada s

f

é a

derivada desta função composta em relação à sua variável independente s, ou seja,

s

z

z

f

s

y

y

f

s

x

x

f

s

f ,

que é a expressão escalar da derivada direcional. Se quisermos seu valor em um dado

ponto, basta substituirmos os valores da derivadas parciais nesse ponto na fórmula.

Expressão Vetorial da Derivada Direcional

Como x = g 1 (s); y = g 2 (s); z = g 3 (s), a expressão escalar da derivada direcional

pode ser interpretada como o produto escalar de dois vetores:

i j k i j k s ds

dg

ds

dg

ds

dg . z

f

y

f

x

g f

z

f

s

g

y

f

s

g

x

f

s

f (^123123)

P 0

r

P

s

derivada de r (s)em relação a s dessa expressão obtemos: (a sb) b ds

d

ds

dr ( s) = + = (2),

lembrando que a é um vetor constante, não variando com s

1

. Igualando (1) = (2), temos:

b ds

dg

ds

dg

ds

dg (^1 ) i + j + k = ,

e a expressão da derivada direcional pode ser escrita:

( gradf) .b

ds

dg

ds

dg

ds

dg . z

f

y

f

x

f

s

f (^1 ) = 

i j k i j k ,

que é a expressão vetorial da derivada direcional.

Valor Máximo da Derivada Direcional em Um Ponto

A derivada direcional de uma função f(x,y,z), em um dado ponto P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ), se

existente, é dada por

( gradf) .b

s

f

P 0

^ =

Como b é o versor da direção r, vamos agora considerar o problema de identificar

a direção segundo a qual a derivada direcional em um ponto apresente o seu valor máximo.

Sabe-se que

(grad f) .b ( gradf) b cos ϕ

s

f

0 0

P P

 =^ =

onde φ é o ângulo entre a direção da reta r e a direção do gradiente da função f, conforme

ilustrado na figura seguinte.

Como b = 1 , e − 1 ≤cos ϕ ≤ 1 , o valor máximo de

P 0 s

f  

é obtido quandocos ϕ=1,

ou seja, φ=0.

1 Derivada de uma função vetorial de uma variável escalar: seja a função vetorial

r( s)= g 1 (s)i+ g 2 (s)j+g 3 (s)k de argumento escalar s. Sua derivada em relação ao

argumento s pode ser definida como uma nova função vetorial, também de argumento s,

i j k ds

dg

ds

dg

ds

dg

s

r(s s)-r( s) lim ds

dr ( s) 1 2 3

s 0

∆ →

. No caso, como a é um vetor constante,

as derivadas ds

dg 1 , ds

dg 2 , ds

dg 3 são nulas, pois são derivadas de constantes em relação a s.

Isso implica em que a derivada direcional da função f, no ponto P 0 assume o seu

valor máximo quando considerada na direção do vetor gradiente de f neste ponto:

P 0 grad f.

Propriedades geométricas do vetor gradiente

Se f é diferenciável no ponto (a,b) e grad f(a,b) ≠ 0 , tem-se que:

  • A direção de grad f(a,b) é:

-perpendicular à curva de nível de f que passa por (a,b);

-paralelo à direção em que f cresce.

  • O módulo do gradiente grad f é:

-a taxa de variação máxima de f no ponto (a,b);

-grande quando as curvas de nível estão próximas uma das outras e pequena

quando estão afastadas.

Exercícios

1.) Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=xz+y

2 , na direção do vetor

a = 2 i − 4 j + 4 k.

Ela é dada por: ( gradf) .b

s

f = 

, onde i jk

z

f

y

f

x

f grad f e a

a b =.

r

φ

b 1

G 0

P 0

b 2

O Y

X

e o seu valor no ponto P 0 é:

( grad f) e ( ) ( ) ( 1 , 1 , 1 )

000 P 0 ( 0 , 0 , 0 )=^ + + = + + =

++ = i^ j k i j k.

Passaremos agora ao cálculo do versor da direção:

a

a b 2 2 2

i j k i j k

e a derivada direcional daria:

gradf .b ( 1 , 1 , 1 ). s

f

P 0

= + −^ =

4.) Calcule a derivada direcional de uma função f(x,y,z) segundo a direção de uma reta

orientada r, dada pelos seus ângulos diretores α ; β; γ.

Os ângulos diretores α ; β; γ de uma direção são os ângulos que essa reta orientada

forma com os eixos OX, OY e OZ respectivamente.

O vetor (ou reta orientada) r pode ser escrito em função de seus vetores

componentes r = rx i +ry j +rz k =(r x,ry,rz). Tem-se que:

r r cos

r rcos

r rcos

z

y

x

j

i

k

X

Y

Z

r

logo r = ( rx,ry,rz) =(rcosα, rcosβ,rcosγ)=r(cosα,cosβ,cos γ), de onde se conclui que

(cos ,cos ,cos ) r

r b= = α β γ. Observe-se que b cos cos cos 1

2 2 2

= ε + β+ γ = , pois é um

versor, donde se pode obter: cos cos cos 1

2 2 2 α + β+ γ= , que é a lei dos co-senos diretores

de uma direção.

A derivada direcional é calculada por: ( gradf) .b

s

f = 

. O gradiente de f vale:

i jk

z

f

y

f

x

f

grad f e o versor da direção b= (cosα,cosβ,cos γ), obtendo-se

cos z

f cos y

f cos x

f

.(cos ,cos ,cos ) z

f

y

f

x

f gradf .b s

f

i j k

ou seja, α β cos γ z

f cos y

f cos x

f

s

f  

é a fórmula pedida.

Como b= (cosα,cosβ,cos γ) é um versor, b = 1 , ou seja

cos cos cos 1 cos cos cos 1

2 2 2 2 2 2

± α + β+ γ = ∴ α+ β+ γ= , sendo esta última expressão

conhecida como lei dos co-senos diretores.

5.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=xy+yz+zx, no ponto P 0 (2,0,-1), sendo

Sendo α β cos γ

z

f cos y

f cos x

f

s

f  

, calculamos primeiro as derivadas

parciais y x

z

f x z; y

f y z; x

f = + ∂

; seus valores em P 0 (2,0,-1) são:

z

f 2 1 1 ; y

f 0 1 1 ; x

f

0 0 0

 = +^ =

P P P

; substituindo-se agora os valores

dos co-senos

2

;cos 2

cos α = 0 ;cosβ= γ= , vem: ( ) 3

s

f

0

 = − + + =^ +

P

6.) A temperatura em

0 C em um ponto qualquer do plano é dada por x y 1

T(x, y) 2 2

a) Que forma têm as curvas de nível de T?

b) Em que lugar do plano a temperatura é maior?

c) Qual a magnitude do crescimento máximo no ponto (3,2)?

d) Ache a direção do máximo decréscimo na temperatura no ponto (3,2).

Calculamos a derivada direcional mediante ( gradf) .b

s

f

0 0

 = P

p

, e o gradiente por meio

de

(x yj)

x y 1

x y 1

  1. 2 y

x y 1

  1. 2 x

y

f

x

f grad f 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= i j i j i e o seu

valor em (3,2) seria : ( )

grad f 0 2 P i j i + j

=. Sabe-se que a

direção do gradiente é a que dá a maior taxa de crescimento da função, portanto

i j

i j

i j

(gradf)

(gradf) b 2 2 P

P

0

0 =− −

e a variação máxima nesse ponto seria dada por:

gradf .b s

f 0 0

P = + =

i j i j

p

d) A direção de decrescimento máximo em (3,2) é a contrária à de crescimento máximo em

(3,2), portanto é a direção inversa à do gradiente nesse ponto:

(x yj)

x y 1

grad f 2 2 2

− = i

e) A direção em (3,2) onde sua temperatura nem cresce nem decresce corresponde à direção

que anula a derivada direcional nesse ponto, pois nessa direção a variação da função é nula.

100 y

49

150 x ( 3 2 ) .(x yj) 49

= i j i , de onde se pode obter x 2

y = - , que

corresponde ao vetor (^) 

^ =

x x 1,- 2

x,-. O versor dessa direção seria dado por

b. A derivada direcional é nula quando a direção b é

perpendicular à direção do gradiente. Para conferir, o produto escalar deve ser nulo:

i j. Deve-se observar que o versor

b também é perpendicular à direção do gradiente, e também nessa direção

variação da função é nula.

Exercícios

1.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=

2 yz 3 x e − 3 xz , no ponto P 0 (2,0,-1),

sendo 6

2.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)= xy+yz+zx, no ponto P 0 (1,1,1), sendo

R. 2 + 2

3.) Calcule a derivada direcional da função

2 2 f(x, y,z)= 3x y+xy , no ponto P 0 (-1,3), sendo

4.) Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=

2 3 2 3 x y+ 5yz , no ponto P 0 (1,-1,2), na

direção de a = 3 i − 2 j + 3 k.

5.) Determine a derivada direcional da função f(x,y,z)=

2 xz - y , na direção da reta que

passa pelos pontos P(-1,2,3) e Q(1,0,4), orientada de Q a P.

6,) Determine a derivada direcional da função f(x,y,z)=

2 2 2 x + y +z , na direção do vetor

a = 2 ij + 3 k.

7.) Determine a derivada direcional da função

2 f(x.y, z)= xy− z na direção do vetor

r = 4 i− 4 j+ 2 k.

R. 

8.) O potencial elétrico V, em volts, no ponto P(x,y,z), é dado por 2 2 2 x y z

V

onde x,y e z são dados em centímetros. Qual a taxa de variação de V no instante em que

passamos por P 0 (−1,2,3) na direção de P(1,0,4)?

R. 1,72 V/cm

9.) A temperatura em uma chapa plana é dada por

2 2 T(x.y) = x +xy+y , sendo T dado em

0 C e x,y e z em centímetros.

a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (1,2).

b) Determine, a partir de ponto (1,2), a direção em que a temperatura cresce o mais

rapidamente possível, e qual a sua taxa de crescimento.

c) Determine, a partir de ponto (1,2), a direção em que a temperatura decresce o mais

rapidamente possível, e qual a sua taxa de decrescimento.

d) Determine, a partir do ponto (1,2), em que direção devemos seguir a fim de que a

temperatura permaneça constante.

e) Calcule o valor da derivada direcional em (1,2) segundo a direção dada pelos ângulos

0 0