Baixe Demonstração do teorema de Pitágoras e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Texto 2
O Teorema de Pitágoras : uma ligação entre uma propriedade angular e uma
propriedade métrica
Vincenzo Bongiovanni PUC-SP
1) Introdução
Atribui-se a Pitágoras a primeira demonstração de uma relação matemática que estabelece uma ponte entre uma propriedade métrica e uma propriedade angular. Esta relação é chamada hoje de Teorema de Pitágoras. Os babilônios muito antes de Pitágoras conheciam essa relação. O desenho abaixo é uma adaptação de uma tabuinha de argila nomeada YBC 7289 da época paleo-babilônica de 1800-1600 a.C.
Nessa tabuinha, por comodidade, representou-se a unidade pelo símbolo I e a dezena pelo símbolo F 0E 1 Esses símbolos que substituíam uma cunha vertical e uma cunha horizontal eram usados para representar qualquer número racional. O sistema de numeração utilizados por eles era o sexagesimal. Na tabuinha acima vemos três números. O primeiro F 0E 1F 0E 1F 0E 1 representa o número 30. O segundo I F 0E 1F 0E 1 IIII F 0E 1F 0E 1F 0E 1F 0E 1F 0E 1 I F 0E 1 que pode ser escrito usando a notação de Neugebauer por 1;24,51,10 representava no nosso sistema de numeração o número 1+24/60+51/60²+10/60³=1,4142129 (que é uma bela aproximação da raiz quadrada de dois) e o terceiro F 0E 1F 0E 1F 0E 1F 0E 1 II^ F 0E 1F 0E 1 IIIII^ F 0E 1F 0E 1F 0E 1 IIIII^ escrito na notação 42;25,35 representava o número 42+25/60+35/60²=42,426388. Interpreta-se a tabuinha como a ilustração do cálculo da diagonal de um quadrado, obtida multiplicando-se a medida do lado por , resultado tão preciso que só poderia ser obtido pelo uso do teorema de Pitágoras. Ao longo do século esse teorema recebeu inúmeras denominações. Entre elas: a cadeira da noiva (pelos hindus) pois lembra a cadeira em que as noivas orientais eram transportadas nas costas de um escravo para o casamento, “Asinus pons” ou a ponte dos asnos (na Idade Média) pela alta dose de esforço mental que o aluno deveria fazer para entender todos os passos da prova, o teorema do quadrado da hipotenusa e finalmente o teorema de Pitágoras.
A cadeira da noiva Figura extraída do livro História da Matemática de Carl B.Boyer, primeira edição, pg 80
O livro “ The pythagorean Proposition” de Elisha Scott Loomis apresenta 370 demonstrações diferentes do teorema de Pitágoras. Entre elas temos 109 provas algébricas baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos e 255 provas geométricas baseadas em comparações de áreas. Algumas recebem até nomes : a mais bela prova , a prova mais curta , a demonstração do presidente, a demonstração de Leonardo da vinci , etc...(ver RPM 2 página 14)
2. Quem foi Pitágoras de Samos?
No livro Pré-socráticos da coleção Os Pensadores encontramos o seguinte texto: « É muito pouco o que conhecemos sobre a vida de Pitágoras (cerca de 580/78 - 497/6 a.C) Esta figura, cedo foi envolvida pelo legendário, de modo que é difícil separar nela o histórico do fantástico. Nasceu em Samos, rival comercial de Mileto.
PUC - CAPES - PROEM
Pró-Ciência - 0 0 0 0 1999
Pelo ano de 540 deixou sua pátria, estabelecendo-se na Magna Grécia (sul da Itália). Em Crotona fundou uma espécie de associação de caráter mais religioso que filosófico, cujas doutrinas eram mantidas em segredo. Seus adeptos logo criaram novos centros; Tarento, Metaponto, Síbaris, Régio e Siracusa. Participantes ativos da política, provocaram a revolta dos crotonenses. Pitágoras então abandona Crotona, refugiando- se em Metaponto, onde morreu em 497 ou 496. Pitágoras não deixou nenhum documento escrito. Seus ensinamentos transmitidos oralmente eram rigorosamente guardados em segredo pelos primeiros discípulos que também nada escreveram. Daí a grande dificuldade em reconstituir o pensamento do pitagorismo primitivo e ainda mais o do próprio Pitágoras, distinguindo-o do de seus discípulos. No entanto, o pitagorismo exerceu profunda influência na filosofia grega, quer pela reação polêmica que provocou (Xenófanes, Heráclito, Parmênides, Zenão), quer pelos elementos positivos que passaram aos pensadores posteriores. Ao pitagorismo posterior - com escritos - pertencem Filolau e Arquitas » Pitágoras concebe a extensão como descontínua constituída por unidades invisíveis e separadas por um “intervalo”. Segundo a cosmologia pitagórica, esse “intervalo” seria resultante da respiração do universo, que, vivo, inalaria o ar infinito em que estaria imerso. As unidades comporiam os números. Os números não seriam meros símbolos a exprimir o valor das grandezas: para os pitagóricos, eles são reais, são a própria “alma das coisas”. Segundo Aristóteles, os pitagóricos consideravam os números como os elementos constitutivos da matéria.
3. Fontes do nosso conhecimento sobre Pitágoras.
Proclus (420-485 D.C.) no seu livro Comentário sobre o primeiro livro dos Elementos de Euclides , após citar a contribuição de Tales à matemática diz em seguida: “ Pitágoras, que veio depois dele, transformou essa ciência numa forma liberal de instrução, examinando seus princípios desde o início e investigando os teoremas de modo imaterial e intelectual. Descobriu a teoria das proporcionais e a construção das figuras cósmicas ”. Philolaus de Cróton, um pitagórico contemporâneo de Sócrates, é considerado um discípulo direto de Pitágoras e um dos principais pensadores do movimento pitagórico. Escreveu a primeira exposição do pitagorismo e aparentemente foi desse livro que Platão tirou o seu conhecimento de ordem pitagórico. As obras de Platão e de escritores dessa época tais como Empédocles, Heráclito, Ion, Xenófanes, Heródoto, Isócrates citam Pitágoras. As obras de Aristóteles e dos escritos de Heráclites, Calímaco, Hérmipo, Dicearco, Timeu e Aristóxeno se referem também a Pitágoras. Os pitagóricos eram fascinados pela aritmética. Nicômano de Gerasa , um neopitagórico que viveu no ano 100 aproximadamente nos forneceu a melhor e mais completa descrição dos números figurados no livro Introductio arithmeticae. Existem também três biografias de Pitágoras escritas por Diógenes Laércio, Jâmblico e Porfírio.
4. Algumas descobertas atribuídas aos pitagóricos.
São atribuídas aos pitagóricos (discípulos de Pitágoras) as seguintes descobertas: A fundamentação científica da música. O teorema da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo_._
2
lados são chamados de catetos. A palavra cateto é também de origem grega significando perpendicular, coisa reta
7. Algumas demonstrações do teorema de Pitágoras
-Uma prova do teorema de Pitágoras que utiliza “a teoria da semelhança” A prova abaixo é uma das mais utilizadas nos livros didáticos da oitava série do Ensino Fundamental e é conseqüência do teorema de Tales. Considere um triângulo ABC, retângulo em A. Seja AH a altura do triângulo relativa ao lado BC. Os triângulos ABC e HBA são semelhantes. Resulta que BC/AB=AB/BH. Donde AB²=BC.BH (1). Os triângulos ABC e HAC são também semelhantes. Logo BC/AC=AC/ HC. Donde AC²=BC.HC (2). De (1) e (2) resulta que AB²+BC²=BC.BH+BC.HC=BC(BH+HC)=BC.BC=BC² Pode-se visualizar as etapas da demonstração do teorema pelo desenho abaixo
-Uma prova do teorema de Pitágoras que não utiliza a “teoria da semelhança” É uma prova que poderia ser feita na sétima série do Ensino Fundamental pois que não depende da teoria da semelhança mas somente da noção de área. Considere um triângulo AMQ retângulo em A. Sejam a, b e c respectivamente as medidas dos lados QM, AM e AQ. Existe um ponto B na semi-reta AM tal que AB = b + c e existe um ponto D na semi-reta AQ tal que AD = c + b. Portanto MB = c e DQ = b. Considere o quadrado ABCD e um ponto N pertencente ao lado BC de modo que BN = b e NC = c. Considere também um ponto P pertencendo ao lado CD de modo que CP = b e PD = c .Os triângulos AQM, BMN, CNP e DPQ são congruentes (caso LAL). Logo MN=NP=PQ=QM
Sendo F 06 1 a medida do ângulo AMQ , a medida do ângulo NMB será 90F 0B 0 - F 06 1. Portanto o ângulo QMN será reto. De maneira análoga estabelece-se que os ângulos MNP, NPQ e PQM são retos. O quadrilátero MNPQ será portanto um quadrado. A área do quadrado MNPQ será simultaneamente (b+c)² e a²+ 4. bc/2 (um quadrado e quatro triângulos retângulos). Da igualdade (b+c)²=a²+4.bc/2 resulta que a²=b²+c². Observe que a demonstração acima se apóia no fato de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180F 0B 0. Desse fato decorre que^ a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360F 0B 0.^ E desse fato decorre que se um quadrilátero possui três ângulos retos então o quarto ângulo será também reto. Donde se conclui também que existem retângulos e quadrados. Portanto a prova convincente do teorema de Pitágoras apresentada acima apresenta hipóteses “escondidas”, tendo como ponto crucial o fato de que a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é 180F 0B 0. Esta proposição apresentada no livro I de Euclides (proposição 32) depende do quinto postulado de Euclides.
8. O recíproco do Teorema de Pitágoras.
Se em um triângulo ABC, o quadrado da medida do lado BC é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então o ângulo oposto ao lado BC é reto. Prova Sejam a, b e c respectivamente as medidas dos lados BC, AB e AC do triângulo ABC. 4
Considere duas semi-retas perpendiculares que se interceptam no ponto M. Existe um ponto N numa das semi-retas e um ponto P na outra semi-reta tal que MN = b e MP = c. Pelo teorema de Pitágoras NP² = b² + c². Mas no triângulo ABC temos por hipótese a² = b² + c². Logo NP² = a², donde NP = a Concluímos que o triângulo ABC é congruente ao triângulo MNP (caso LLL). Do fato do ângulo NMP ser reto conclui-se que o ângulo BAC também é reto.
9. Uma generalização de Euclides para o Teorema de Pitágoras.
A proposição 31 do livro VI dos Elementos de Euclides apresenta uma generalização do teorema de Pitágoras que o estende ao caso de figuras semelhantes de qualquer espécie : “ Em triângulos retângulos, a área de uma figura qualquer construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras semelhantes à primeira, construídas sobre os catetos .” Nos desenhos representados abaixo temos: “A área do triângulo equilátero construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos equiláteros construídos sobre os catetos.” “A área de um retângulo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos retângulos semelhantes ao primeiro construídos sobre os catetos.” “A área do hexágono regular construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos hexágonos regulares construídos sobre os catetos.”...
Uma generalização feita pelo matemático árabe Thabit ibn-Qurra
( século IX).
Considere um triângulo qualquer ABC. Construa sobre os seus lados três quadrados.
Sejam M e N os pontos de BC, de modo que os ângulos BMA e CNA sejam iguais ao ângulo BAC. Sejam P e Q as projeções de M e N sobre DE. Sob essas condições verifica-se que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os lados AB e AC é igual à soma das áreas dos retângulos BMQE e NCDP
AB²+AC²= (BM+NC).BC
Bibliografia LINTZ, R. História da matemática.Blumenau: Ed. FURB, DUVILLIÉ B., Sur les traces de l´Homo mathematics, Ellipses, 1999 ABDOUNUR,O.J.Matemática e Música: pensamento analógico na contrução de significados.São Paulo:Escrituras Editora,
- POLCINO, F.C. A geometria na Antiguidade Clássica. São Paulo: FTD,
-MOISE E., Geometria elemental desde um punto de vista avanzado, Editora Addison-Wesley, 1976 -BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1996. -EUCLIDES, Les Éléments, volumes 1 e 3, PUF,1994 Tradução Bernard Vitrac -PROCLUS de Lycie, les Commentaires sur le premier livre des Éléments d´Euclides, IREM de Lille, 1948. -NOBRE, S. Introdução à História da História da Matemática. Revista Brasileira de História da Matemática,vol 2 N° 3 5
