1 ESPAÇO COM PRODUTO INTERNO COSTA, J. W. P.
1 Espaço com produto interno
Denição 1
Um produto interno num espaço vetorial
E
é um funcional
bilinear, simétrico e positivo em
E
. Mais precisamente, um produto interno
é uma função
f:E×E−→ R,
que associa cada par de vetores
u, v ∈E
um
número real
hu, vi,
chamado o produto interno de
u
por
v,
de modo que sejam
válidas as seguintes propriedades, para quaisquer
u, u0, v, v0∈E
e
α∈R;
1.
Bilinearidade:
• hu+u0, vi=hu, vi+hu0, v i;
• hαu, vi=αhu, vi;
• hu, v +v0i=hu, vi+hu, v0i;
• hu, αvi=αhu, vi;
2.
Simetria:
hu, vi=hv, ui;
3.
Positividade:
hu, ui>0
se
u6= 0.hu, ui= 0
se
u= 0.
Sabendo que o conjunto das funções reais é um espaço vetorial, tomaremos
o conjunto das funções contínuas denida num intervalo real e mostraremos
que o produto interno dessa classe de funções pode ser denido usando inte-
gral denida neste mesmo intervalo. De maneira mais formal:
Sejam
[a, b]⊂R
e
E=Co([a, b])
o espaço vetorial cujos elementos são
as funções contínuas
g, f : [a, b]−→ R.
Um produto interno em
E
pode ser
denido pondo
hf, g i:= Zb
a
f(x)g(x)dx.
(1)
Para vericarmos se a igualdade (1) congura realmente um produto in-
terno com tais condições, precisamos ter conhecimento das propriedades de
integral que podem ser vistas na referência [
?
], pois é a partir desses con-
hecimentos que podemos vericar se tal igual satisfaz a denição de produto
interno.
Inicialmente, tomemos
f, h, g ∈E
, isto é, três funções contínuas no in-
tervalo real
[a, b]
e
α
um escalar real. Vejamos que pela igualdade (1) e pela
propriedade distributiva, teremos
hf+h, gi=Zb
a
(f(x) + h(x))g(x)dx =Zb
a
[f(x)g(x) + h(x)g(x)]dx.
(2)
1
