Cópia de Sinais e Sistemas Lineares 2ª edição B. P. Lathi, Manuais, Projetos, Pesquisas de Eletrônica

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SEGUNDA EDI CAD

I

bookman

S o b r e o A u to r

B.P. Lathi é professor emérito de Engenharia Elétrica da Califórnia State University, Sacramento. É autor de Sig- nal Processing and Linear Systems (OUP, 2000) e Modern Digital and Analog Communication Systems, 3/e (OUP, 1998).

L352s Lathi, B. P. Sinais e sistemas lineares [recurso eletrônico] / B.P. Lathi; tradução Gustavo Guimarães Parma. - 2. ed. - Dados eletrônicos. - Porto Alegre : Bookman, 2008.

Editado também como livro impresso em 2007. ISBN 978-85-7780-391-

1. Engenharia elétrica - Comunicação elétrica - Sinais. I. Título.

CDU 621.

Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/

Obra originalmente publicada sob o título Linear Systems and Signals, Second Edition

ISBN 0-19-515833-

Copyright © 2004 by Oxford Univcrsity Press Tradução do original Linear Systems and Signals, 2E, publicado cm 2004 cm língua inglesa autorizada por acordo assinado com Oxford Univcrsity Press, Inc.

Capa: Gustavo Demarchi, arte sobre a capa original

Supervisão editorial: Arysinha Jacques Affonso e Denise Weber Nowaczyk

Editoração eletrônica: Laser House

Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à ARTMED® EDITORA S.A. (BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED® EDITORA S.A.) Av. Jerônimo de Omelas, 670 - Santana 90040-340 Porto Alegre RS Fone (51) 3027-7000 Fax (51) 3027-

É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora.

SÃO PAULO

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SAC 0800 703-

IMPRESSO NO BRASIL

PRINTED IN BRAZIL

P r e fá c io

Este livro, Sinais e Sistemas Lineares, apresenta uma tratamento abrangente de sinais e sistemas lineares em um nível introdutório. Assim como em meus outros livros, é enfatizada a apreciação física dos conceitos através de razões heurísticas, além do uso de metáforas, analogias e explicações criativas. Tal abordagem é muito diferente de técnicas puramente dedutivas que utilizam meramente manipulações matemáticas de símbolos. Existe uma tentativa de tratar assuntos de engenharia como um simples ramo da matemática aplicada. Essa abordagem co labora perfeitamente com a imagem pública da engenharia como sendo uma disciplina seca e tola. Ela ignora o significado físico por trás de vários resultados e priva o aluno de um entendimento intuitivo e da maravilhosa ex periência de descobrir o real significado do tópico estudado. Neste livro, utilizei a matemática não somente para provar a teoria, mas também para fornecer o suporte necessário e para promover o entendimento físico e intuiti vo. Sempre que possível, os resultados teóricos são interpretados heuristicamente e apoiados por exemplos e analogias cuidadosamente escolhidas. Esta segunda edição, a qual segue a organização da primeira, foi melhorada pela incorporação de sugestões c alterações de vários revisores. Os tópicos incluídos abrangem diagramas de Bode, utilização de filtros digitais cm um método de invariância ao impulso para o projeto de sistemas analógicos, convergência de séries infini tas, sistemas passa-faixa, atraso de grupo e fase e aplicações de Fouricr em sistemas de comunicação. Uma con tribuição significativa e considerável na área do MATLABv (marca registrada da The Math Works, Inc.) foi fornecida pelo Dr. Rogcr Green da North Dakota State Univcrsity. O Dr. Grccn discute sua contribuição ao fim deste prefácio.

O r g a n iz a ç ã o _____________________________________________________________________

O livro pode ser concebido como sendo dividido em cinco partes:

1. Introdução (Background c Capítulo 1)
2. Análise no domínio do tempo de sistemas lineares invariantes no tempo (LIT) (Capítulos 2 e 3)
3. Análise no domínio da freqüência (transformada) de sistemas LIT (Capítulos 4 e 5)
4. Análise de sinais (Capítulos 6 , 7, 8 e 9)
5. Análise por espaço de estados de sistemas LIT (Capítulo 10)

A organização do livro permite muita flexibilidade no ensino de conceitos cm tempo contínuo e tempo dis creto. A seqüência natural dos capítulos é mantida para integrar a análise cm tempo contínuo c tempo discreto. Também é possível utilizar uma abordagem seqüencial na qual toda a análise de tempo contínuo é feita inicial mente (Capítulos 1, 2, 4, 6 , 7 c 8 ), seguida pela análise em tempo discreto (Capítulos 3, 5 e 9).

S u g e s t õ e s para a U t il iz a ç ã o d e s t e L iv r o _______________________________________

O livro pode ser facilmente formatado para uma variedade de cursos, em uma faixa de 30 a 50 horas/aula. A maior parte do material nos primeiros oito capítulos pode ser rapidamente apresentada cm, aproximadamente, 45 horas. O livro também pode ser utilizado cm um curso de 30 horas/aula apresentando apenas material analógico (Capítulos 1, 2,4, 6 , 7 e, possivelmente, tópicos selecionados do Capítulo 8 ). Alternativamente, pode- se também selecionar os Capítulos 1 a 5 para um curso puramente dedicado à análise de sistemas ou técnicas de transformada. Para tratar de sistemas cm tempo contínuo e discreto usando uma abordagem integrada (ou para lela), a seqüência apropriada de Capítulos é 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 c 8. Para uma abordagem seqüencial, na qual a análise cm tempo contínuo é seguida pela análise cm tempo discreto, a seqüência apropriada de capítulos é 1 , 2 , 4, 6 , 7, 8 , 3, 5 e, possivelmente, 9 (dependendo da disponibilidade de tempo).

P r e f á c io v i i

um livro como este é uma atividade que consome um tempo enorme, o que resulta em muito sofrimento para os membros da família, dentre os quais a esposa é quem mais sofre. Portanto, o que eu posso dizer, ex ceto agradecer a minha esposa, Rajani, pelos enormes mas invisíveis sacrifícios. B. P. Lathi

MATLAB____________________________________________________________

O MATLAB 6 uma linguagem sofisticada que serve como uma poderosa ferramenta para um melhor en tendimento de uma miríade de tópicos, incluindo a teoria de controle, projeto de filtros c, obviamente, sis temas lineares c sinais. A estrutura de programação flexível do MATLAB promove um rápido desenvolvi mento c análise. A capacidade impressionante de visualização possibilita uma apreciação única do compor tamento do sistema e caracterização do sinal. Explorando conceitos com o MATLAB, vocc ficará substan cialmente mais confortável e melhorará sua compreensão de tópicos do curso. Como cm qualquer linguagem, o aprendizado do MATLAB é incrementai e requer prática. Este livro possi bilita dois níveis de exposição ao MATLAB. Inicialmente, pequenos exemplos de computador são entremeados ao longo do texto para reforçar os conceitos c executar vários cálculos. Esses exemplos utilizam funções padrões do MATLAB, alem de funções dos toolboxes de controle dc sistemas, processamento de sinais e matemática simbólica. O MATLAB possui diversos outros toolboxes disponíveis, mas esses três geralmente são disponibi lizados em vários departamentos dc engenharia. Um segundo e mais profundo nível dc exposição ao MATLAB 6 proporcionado na conclusão dc cada capí tulo, com uma seção separada para o MATLAB. Em conjunto, essas onze seções fornecem uma introdução au- tocontida ao ambiente do MATLAB, permitindo que mesmo usuários novatos rapidamente ganhem proficiên cia c competência. Essas seções fomcccm instruções detalhadas dc como utilizar o MATLAB para resolver problemas dc sistemas lineares c sinais. Exceto pelo último capítulo, foi tomado um cuidado especial para que funções dc toolboxes não fossem utilizadas nas seções do MATLAB, ao contrário, 6 mostrado ao leitor como fazer para desenvolver seus próprios códigos. Dessa forma, os leitores sem acesso aos toolboxes não ficam cm desvantagem. Todo código dc computador está disponível online (www.mathworks.com/support/books). O código para os exemplos dc computador cm um dado capítulo, digamos, Capítulo xx, 6 chamado dc CExx.m. O programa yy da seção xx do MATLAB ó chamado dc MsxxPyy.m. Alem disso, o código completo para cada seção indivi dual do MATLAB é chamado dc Msxx.m. Roger Green

1 0 S u m á r io

CAPÍTULO

B

B a c k g r o u n d

O

s tópicos discutidos ncstc capítulo não são totalmente novos. Você provavelmente já deve ter estudado gran de parte deles cm cursos anteriores ou deve conhecer o assunto de treinamentos anteriores. Apesar disso, este material básico merece uma revisão, devido a sua importância na área dc sinais c sistemas. Investir algum tempo nesta revisão renderá grandes dividendos posteriormente. Além disso, este material é útil não apenas a es te curso, mas também a vários outros que se seguirão. Este material também será útil posteriormente, como um material dc referência na sua carreira profissional.

B .l N ú m e r o s C o m p l e x o s

Números complexos são uma extensão dc números ordinários c são uma parte integral do moderno sistema numé rico. Os números complexos, particularmente os números imaginários, algumas vezes pareccm misteriosos c ir reais. Esse sentimento de irrealidade é mais função de sua não familiaridade c novidade do que dc sua suposta não existência! Matemáticos erraram cm chamar estes números dc “imaginários”, pois esse termo claramente prejudi ca sua percepção. Sc esses números fossem chamados por qualquer outro nome, eles teriam sido dcsmistificados a muito tempo, tal como os números irracionais ou os números negativos foram. Entretanto, esse esforço é desneces sário. Na matemática, associamos a símbolos c operações qualquer significado que quisermos, desde que a consis tência interna seja mantida. A história da matemática é cheia dc entidades com as quais não temos familiaridade c que nos aborrece, até que a utilização os torna aceitáveis. Esse fato ficará mais claro com a seguinte nota histórica.

B.l-1 Nota Histórica

Para as pessoas dc tempos remotos, o sistema numérico cra constituído apenas dos números naturais (intei ros positivos), necessários para expressar o número dc crianças, dc animais c dc flechas. Estas pessoas não ti nham necessidade dc frações. Quem já ouviu algo como duas c meia crianças ou três c um quarto de vaca? Entretanto, com o advento da agricultura, as pessoas necessitaram medir quantidades continuamente crescen tes, tais como o tamanho dc um campo c o peso dc uma certa quantidade dc manteiga. O sistema numérico, por tanto, foi ampliado para incluir as frações. Os antigos Egípcios c Babilônios sabiam como trabalhar com frações, mas Pitágoras descobriu que alguns números (tais como a diagonal dc um quadrado unitário) não podiam scr ex pressados como um número inteiro ou fração. Pitágoras, um místico dos números, que associava aos números a es sência c o princípio dc todas as coisas do universo, ficou tão desconcertado com sua descoberta que cie jurou aos seus seguidores segredo c impôs uma pena dc morte para aquele que divulgasse o segredo.1Esses números, entre tanto, foram incluídos no sistema numérico na época dc Descartes, sendo conhecidos como números irracionais. Até recentemente, os números negativos não eram parte do sistema numérico. O conceito dc números nega tivos devia parcccr um absurdo para os homens. Entretanto, Hindus medievais tinham um claro conhecimento do significado dc números positivos e negativos.' Eles também foram os primeiros a reconhecer a existência dc quantidades absolutamente negativas.4 Os trabalhos dc Bhaskar (1114-1185) cm aritmética ( Lilavaiti ) c álgebra (Bijaganit) não apenas utilizavam o sistema decimal, mas também forneciam as regras para trabalhar com quan tidades negativas. Bhaskar rcconhcccu que os números positivos possuíam raízes quadradas. Muito tempo de pois, na Europa, os homens que desenvolveram o sistema bancário surgido cm Elorença c Veneza durante a par te final do Renascimento (século quinze) possuem o crédito de apresentar uma forma rudimentar dc números

C a p í t u l o B B a c k g r o u n d 19

Gerolamo Cardano Karl Friedrich Gauss

Podc-sc facilmcntc verificar que 2 realmente é solução de x 4 - 6x — 20 = 0. Mas, quando Cardano tentou resolver a equação x* — 15x — 4 = 0 por sua fórmula, sua solução foi

x = v/ 2 + v/ - 1 2 1 + i / l - n / - 121

O que Cardano fez com esta equação no ano dc 1545? Naqueles dias, os números negativos ainda eram sus peitos e a raiz quadrada dc um número negativo era um absurdo. Atualmente sabemos que

(2 ± j ) 3 = 2 ± j 11 = 2 ± n/— 121

Portanto, a fórmula dc Cardano resulta em

x = (2 + j ) + (2 — j ) = 4

Podemos facilmcntc verificar que x — 4 é realmente uma solução dc x — 15jc — 4 = 0. Cardano tentou ex plicar sem muito entusiasmo a presença dc , / — 121 e finalmente descartou toda a tentativa como sendo “tão obs cura quanto sem sentido”. Em uma geração posterior, entretanto, Raphacl Bombclli (1526-1573), após exami nar os resultados dc Cardano, propôs aceitar os números imaginários como um veículo necessário que poderia transportar os matemáticos da equação cúbica real para sua solução real. Em outras palavras, apesar dc comcçar c terminar com números reais, vemos a necessidade de nos movermos para o mundo não familiar de imaginá rios para completar nossa jornada. Para os matemáticos da época, esta proposta parecia inacreditavelmente es tranha. Apesar disso, eles não podiam descartar a idéia dos números imaginários tão facilmente, pois seu con ceito resultava na solução real da equação. Foram necessários mais de dois séculos para que a importância total dos números complexos se tornasse evidente nos trabalhos dc Eulcr, Gauss c Cauchy. Mesmo assim, Bombclli mcrccc o crédito por reconhecer que tais números possuíam um importante papel na álgebra. Em 1799, o matemático alemão Karl Friedrich Gauss, no auge dos seus 22 anos, provou um teorema funda mental da álgebra, no qual toda equação algébrica dc uma incógnita possui uma raiz na forma dc um número complexo. Ele mostrou que toda equação de n-ésima ordem possui exatamente n solução (raízes), não mais c não menos. Gauss também foi um dos primeiros a fornecer uma cocrcntc análise dc números complexos e a in terpretá-los como pontos no plano complexo. Foi ele quem apresentou o termo “números complexos” c formou a base para o uso geral c sistemático. O sistema numérico, mais uma vez foi ampliado ou generalizado para in cluir os números imaginários. Os números ordinários (ou reais) sc tomaram um caso cspccial dos números ge neralizados (ou complexos). A utilidade dos números complexos pode scr facilmcntc compreendida através da analogia com dois países X c Y vizinhos, como apresentado na Fig. B .l. Sc quisermos viajar da cidade a para a cidade b (as duas no país

2 0 S in a is e S is t e m a s L in e a r e s

Figura B .l A utilização dc números complexos pode reduzir o trabalho.

X), o caminho mais curto é através do país Y, apesar da jornada comcçar c terminar no país X. Podemos, sc qui sermos, fazer uma rota alternativa que fique exclusivamente em X, mas esta rota alternativa será maior. Na ma temática temos situações similares com números reais (país X) c números complexos (país Y). Todos os proble mas do mundo real podem comcçar com números reais, c todos os resultados finais também podem ser núme ros reais. Mas a obtenção dos resultados será consideravelmente simplificada sc utilizarmos números comple xos como um intermediário. Também é possível resolver qualquer problema do mundo real por um método al ternativo, usando apenas números reais, mas tais procedimentos irão aumentar dcsncccssariamcntc o trabalho.

B .l-2 Á lgebra de Núm eros Com plexos

O número complexo ( a , b) ou a + jb pode ser representado graficamente por um ponto cujas coordenadas car- tcsianas são (a, b ) cm um plano complexo (Fig. B.2). Vamos chamar esse número complexo dc z, tal que

z = a + j b (B-1) Os números a c b (a abscissa e a ordenada) dc z são a parte real c a parte imaginária, respectivamente, dc z. Eles também podem ser expressos por Re z = a Im z = b Note que neste plano todos os números reais pcrmanccem no eixo horizontal c todos os números imaginários pcrmancccm no eixo vertical. Os números complexos também pode ser expressos cm termos dc coordenadas polares. Sc (r, 0) são as coor denadas polares dc um ponto z = a + jb (veja Fig. B.2), então

a = r cos 0 b = r sen 6

Figura B.2 Representação de um número no plano complexo.