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CONTROLE ROBUSTO DE ROB ˆOS M ´OVEIS EM FORMA¸C˜AO
SUJEITOS A FALHAS
Adriano A. G. Siqueira∗
siqueira@sc.usp.br
Marco H. Terra†
terra@sc.usp.br
Tatiane B. R. Francisco†
tatibrf@sel.eesc.usp.br ∗Departamento de Engenharia Mecˆanica †Departamento de Engenharia El´etrica Universidade de S˜ao Paulo - 13566-590, S˜ao Carlos, SP, Brasil
ABSTRACT
Robust and Fault Tolerant Control of Wheeled Mobile Robots In Formation This paper deals with robust and fault tolerant controls of wheeled mobile robots (WMRs) in formation. The robust approach is based on output feedback nonlinear H∞ control. The fault tolerant approach is based on output feedback H∞ control of Markovian jump linear systems to ensure stability of the formation when one of the robots is lost during the coordinated motion. The coordination is performed with the robots following a leader, and any robot of the formation can assume the leadership randomly. The mobile robots exchange in- formations according to a pre-specified communication directed graph (digraph).
KEYWORDS: Formation Control, Mobile Robots, Non- linear H∞ Control, Markovian Control.
RESUMO
Este artigo trata de controle robusto e controle tolerante a falhas de movimentos coordenados de robˆos m´oveis com rodas. O controle robusto ´e baseado em controle H∞ n˜ao linear por realimenta¸c˜ao da sa´ıda. O controle
Artigo submetido em 16/04/2009 (Id.: 00993) Revisado em 22/06/2009, 23/09/2009, 29/10/ Aceito sob recomenda¸c˜ao do Editor Associado Prof. Alexandre Bazanella
tolerante a falhas ´e baseado em controle H∞ por rea- limenta¸c˜ao da sa´ıda de sistemas lineares sujeitos a sal- tos Markovianos para garantir estabilidade da forma¸c˜ao quando um dos robˆos ´e perdido durante o movimento coordenado. A coordena¸c˜ao ´e realizada em fun¸c˜ao de um lider e qualquer robˆo da forma¸c˜ao pode assumir a lideran¸ca de maneira aleat´oria. Os robˆos m´oveis trocam informa¸c˜oes de acordo com um grafo de comunica¸c˜ao direcionado (d´ıgrafo), definido a-priori.
PALAVRAS-CHAVE: Controle de Forma¸c˜ao, Robˆos M´o- veis, Controle H∞ N˜ao Linear, Controle Markoviano.
1 INTRODU ¸C˜AO
Diversas abordagens tˆem sido apresentadas na literatura para resolver problemas de controle de m´ultiplos robˆos m´oveis, (Chaimowicz et al., 2004; Pereira et al., 2008). Em particular, vamos considerar neste artigo estrat´egias de controle para robˆos m´oveis com rodas (RMRs) que seguem um l´ıder, veja por exemplo (Desai et al., 1998) e (Tanner et al., 2004). Uma abordagem que utiliza teo- ria dos grafos foi proposta por (Fax and Murray., 2004) para o controle cooperativo de m´ultiplos sistemas line- ares. A teoria dos grafos ´e uma importante ferramenta capaz de tratar adequadamente os problemas que en- volvam comunica¸c˜ao de dados entre agentes do sistema, (Lafferriere et al., 2005; Olfati-Saber and Murray, 2002).
Apesar do grande n´umero de resultados que tem apare- cido na literatura, n˜ao foram encontrados procedimen- tos que envolvam controle robusto de robˆos m´oveis em forma¸c˜ao sujeitos a alternˆancia de l´ıder. Tamb´em n˜ao foram encontrados sistemas tolerantes a falhas basea- dos nos modelos dinˆamicos dos robˆos para esse tipo de problema. Esses dois aspectos s˜ao tratados neste artigo.
Na primeira estrat´egia de controle formulada conside- ramos um conjunto de RMRs em forma¸c˜ao onde os robˆos mantˆem constantes as suas posi¸c˜oes e orienta¸c˜oes rela- tivas durante o movimento. Cada RMR fornece a sua informa¸c˜ao de posi¸c˜ao somente a um subconjunto do grupo, estabelecido pelo projetista atrav´es de um d´ı- grafo. A partir das trajet´orias desejadas geradas pelo controlador descrito em (Williams et al., 2005), projeta- mos um controlador H∞ n˜ao linear com realimenta¸c˜ao da sa´ıda que considera as caracter´ısticas cinem´aticas e dinˆamicas dos robˆos m´oveis em forma¸c˜ao. O objetivo ´e aplicar o controle robusto para um grupo de RMRs que devem seguir uma determinada trajet´oria e se manter em forma¸c˜ao mesmo quando h´a alternˆancia de lider du- rante o movimento. Esta estrat´egia de controle ´e usada para rejeitar primeiramente determinadas incertezas pa- ram´etricas e perturba¸c˜oes externas em cada robˆo da for- ma¸c˜ao. Tamb´em vale destacar a vantagem de se utilizar abordagens robustas utilizando os modelos dinˆamicos de cada RMR quando o movimento coordenado ocorre em alta velocidade.
Na segunda estrat´egia de controle desenvolvemos um sistema tolerante a falhas para evitar instabilidade na forma¸c˜ao dos robˆos quando houver perda de um dos robˆos durante o movimento. Com base na teoria de Mar- kov desenvolvemos um modelo que representa as poss´ı- veis configura¸c˜oes de forma¸c˜ao e considera as mudan¸cas abruptas de configura¸c˜ao. O modelo ´e desenvolvido ba- seado em sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos (SLSM) (Siqueira et al., 2007). Para formular este mo- delo, as dinˆamicas dos robˆos s˜ao linearizadas em torno de pontos de opera¸c˜ao. As probabilidades de ocorrˆencia de falhas e dos robˆos estarem em determinados pontos de lineariza¸c˜ao s˜ao definidas a priori e dependem de cada aplica¸c˜ao espec´ıfica. Com o modelo proposto, o controlador H∞ por realimenta˜c˜ao de sa´ıda de SLSM desenvolvido em (de Farias et al., 2000) ´e utilizado para garantir a estabilidade da forma¸c˜ao mesmo quando o sistema est´a sujeito a falha.
Este artigo est´a organizado da seguinte maneira: na Se¸c˜ao 2 s˜ao apresentados os procedimentos necess´arios para a gera¸c˜ao das trajet´orias desejadas, na Se¸c˜ao 3 ´e apresentado o controle cinem´atico dos robˆos m´oveis, na Se¸c˜ao 4 ´e apresentado o controle robusto baseado na
dinˆamica dos robˆos m´oveis, na Se¸c˜ao 5 ´e apresentada a estrat´egia de controle tolerante a falhas baseada nos modelos lineares sujeitos a saltos Markovianos dos robˆos m´oveis com rodas e na Se¸c˜ao 6 s˜ao apresentados resulta- dos de simula¸c˜ao referentes `as duas estrat´egias de con- trole apresentadas.
2 GERA¸C˜AO DAS TRAJET ´ORIAS DE RE-
FERˆENCIA
Nesta se¸c˜ao ´e apresentado o controlador descentralizado proposto em (Williams et al., 2005) cuja finalidade ´e ge- rar as trajet´orias de referˆencia para que os RMRs se mo- vimentem em forma¸c˜ao r´ıgida. Assume-se que N robˆos m´oveis participem do movimento coordenado sendo que a trajet´oria de referˆencia de cada robˆo ´e representada no sistema de coordenadas inercial (X, Y ) pela seguinte equa¸c˜ao de estado:
x˙i = Avehxi + Bvehui, i = 1,... , N, xi ∈ R^4
sendo que xi = [xri x˙ri yri y˙ri ]T^ representa as posi¸c˜oes para o i-´esimo RMR e suas derivadas, e ui representa as entradas de controle. As matrizes Aveh e Bveh, tˆem a seguinte forma:
Aveh =
0 a 22 0 a 24 0 0 0 1 0 a 42 0 a 44
,^ Bveh^ =
sendo aij constantes relacionadas `a trajet´oria desejada para a forma¸c˜ao. A trajet´oria do l´ıder pode ser alterada variando-se os elementos da matriz Aveh. Por exemplo, se a 22 = a 24 = a 42 = a 44 = 0, temos uma reta com inclina¸c˜ao dada pelas condi¸c˜oes iniciais; se a 22 = a 44 = 0 e a 24 = −k e a 42 = k, com k > 0, temos uma elipse. Esta varia¸c˜ao pode ser realizada ao longo do tempo para se criar uma trajet´oria vari´avel do l´ıder. Os zeros nas colunas um e trˆes de Aveh s˜ao necess´arios para garantir a convergˆencia dos robˆos m´oveis para a forma¸c˜ao (veja (Laferriere et al., 2004) Proposi¸c˜ao 3.1 e (Veerman et al.,
- Proposi¸c˜ao 4.2).
O vetor x = [xT 1 xT 2... xTN ]T^ descreve a combina¸c˜ao de todas as trajet´orias dos N robˆos. Os vetores de posi¸c˜ao e velocidade s˜ao definidos, respectivamente, por
xp =[(xp)T 1... (xp)TN ]T^ e xv =[(xv )T 1... (xv )TN ]T^ ,
sendo (xp)i = [xri yri ]T^ e (xv )i = [ ˙xri y˙ri ]T^. Assim, o vetor x ´e reescrito como
x = xp ⊗
para i = 1... N, sendo que Ji indica o n´umero de vi- zinhos do i-´esimo robˆo. O vetor de sa´ıda z pode ser escrito como z = L(x − h) sendo L = LΓ ⊗ I 4 e LΓ a matriz direcionada Laplaciana do d´ıgrafo Γ (Williams et al., 2005).
Agrupando as equa¸c˜oes para todos os RMRs em um ´unico sistema no espa¸co de estado tem-se
x˙ = Ax + Bu
z = L(x − h) sendo A = IN ⊗ Aveh e B = IN ⊗ Bveh. A existˆencia de uma matriz de realimenta¸c˜ao F tal que a solu¸c˜ao de
x˙ = Ax + BF L(x − h) (2)
converge para forma¸c˜ao h pode ser vista em (Williams et al., 2005). Este ´e um problema de estabiliza¸c˜ao envol- vendo realimenta¸c˜ao da sa´ıda. Considerando as estrutu- ras de A, B e L tem-se F da forma F = IN ⊗ Fveh (que ´e uma lei de controle descentralizada aplicada a todos os robˆos m´oveis). Neste caso, pode-se reescrever a Eq. (2) como
x˙ = Ax + LΓ ⊗ BvehFveh(x − h). (3)
Note que o conjunto de robˆos m´oveis convergir´a para uma dada forma¸c˜ao h se o Laplaciano do grafo dire- cionado LΓ possuir pelo menos dois autovalores nulos, (Lafferriere et al., 2005). Para obtermos o controlador, a matriz de realimenta¸c˜ao, Fveh, pode ser representada da seguinte forma
Fveh =
[
f 1 f 2 0 0 0 0 f 1 f 2
]
Em (Williams et al., 2005) mostra-se que as condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para o sistema convergir para a forma¸c˜ao s˜ao obtidas com f 1 < 0 e f 2 < 0.
A principal finalidade do controle de forma¸c˜ao ´e encon- trar a matriz de realimenta¸c˜ao Fveh que garanta a con- vergˆencia para a forma¸c˜ao, dada a estrutura de Aveh. Os elementos da matriz Aveh s˜ao os parˆametros que definem a trajet´oria de referˆencia para o robˆo l´ıder. O controle mostrado acima gera as trajet´orias que os demais RMRs devem realizar para entrar em forma¸c˜ao com o l´ıder. Es- tas curvas s˜ao utilizadas como trajet´orias de referˆencia para os robˆos m´oveis, sendo consideradas como entradas para o controle cinem´atico descrito no pr´oxima se¸c˜ao. O controle cinem´atico fornece, a partir das trajet´orias de referˆencia e das posi¸c˜oes atuais do robˆos, as posi¸c˜oes e velocidades desejadas das rodas de cada robˆo, que por
sua vez s˜ao utilizadas para realizar o controle baseado no modelo dinˆamico dos robˆos. A Figura 2 mostra o dia- grama de blocos simplificado das estrat´egias de controle utilizadas neste trabalho.
_
distúrbios^ Robô Móvel
Controle Baseado na Cinemática
Controle de Formação
Modelo Cinemático Controle Baseado na Dinâmica
posições e velocidades das rodas posições e velocidades dos robôs
trajetórias de referência
trajetórias desejadas das rodas
torques aplicados
Figura 2: Diagrama de blocos simplificado das estrat´egias de controle.
3 CINEM´ATICA DOS ROB ˆOS M ´OVEIS
Nesta se¸c˜ao ´e apresentado o controlador cinem´atico uti- lizado para garantir que os RMRs do tipo diferencial, considerados neste trabalho, acompanhem as trajet´orias de referˆencia geradas pelo controle de forma¸c˜ao.
A geometria de cada robˆo ´e mostrada na Figura 3. Assume-se que todos os RMRs tˆem a mesma dimens˜ao e que a roda passiva n˜ao influencia o comportamento cinem´atico e dinˆamico do robˆo. Na Figura 3, (X, Y ) representa o sistema de coordenadas inercial; (X 0 , Y 0 ) o sistema de cordenadas local; a o comprimento do robˆo; d a distˆancia entre P 0 (centro do eixo das rodas atuadas) e Pc (centro de massa); b a distˆancia entre uma roda atuada e o eixo de simetria do robˆo; r o raio das rodas atuadas; α o ˆangulo (dire¸c˜ao do robˆo) entre o eixo X do referencial inercial e o eixo de simetria do robˆo no sentido hor´ario e θd e θe s˜ao os deslocamentos angulares das rodas direita e esquerda, respectivamente.
Robˆos m´oveis do tipo diferencial apresentam trˆes restri- ¸c˜oes cinem´aticas (Coelho and Nunes., 2003). Conside- rando que para este tipo de robˆo a velocidade em P (^0) i deve estar na dire¸c˜ao do eixo de simetria (eixo X (^0) i ), tem-se a primeira restri¸c˜ao com rela¸c˜ao a Pci , dada por
y˙ci cosαi − x˙ci sinαi − d α˙i = 0, i = 1,... , N
sendo (xci , yci ) as coordenadas do centro de massa Pci no sistema de coordenadas inercial e αi o ˆangulo entre o eixo de simetria de cada robˆo da forma¸c˜ao e o eixo X. As outras duas restri¸c˜oes est˜ao relacionadas com a rota¸c˜ao das rodas, em outras palavras, as rodas atuadas
Figura 3: Robˆo m´ovel do tipo unicilo.
n˜ao deslizam
x˙ci cos αi + ˙yci sin αi + b α˙i − r θ˙di = 0 x˙ci cos αi + ˙yci sin αi − b α˙i − r θ˙ei = 0.
Definindo a coordenada generalizada q (^1) i = [xci yci αi θdi θei ]T^ , as trˆes restri¸c˜oes cinem´a- ticas podem ser escritas na forma matricial como R(q (^1) i ) ˙q (^1) i = 0, sendo
R(q (^1) i ) =
− sin αi cos αi −d 0 0 − cos αi − sin αi −b r 0 − cos αi − sin αi b 0 r
A matriz R(q (^1) i ) tem posto completo e pode ser expressa como [R 1 (q (^1) i ) R 2 ] de tal forma que R 1 (q (^1) i ) seja n˜ao- singular e S(q (^1) i ) = [(R− 1 1 (q (^1) i )R 2 )T^ I 4 ]T^ esteja no es- pa¸co nulo de R(q (^1) i ), i.e., R 1 (q (^1) i )S(q (^1) i ) = 0. Ent˜ao, encontra-se
S(q (^1) i )T^ =
c(b cos αi −d sin αi) c(b cos αi +d sin αi) c(b sin αi +d cos αi) c(b sin αi −d cos αi) c −c 1 0 0 1
sendo c = 2 rb. A equa¸c˜ao cinem´atica ´e dada por
q˙ (^1) i (t) = S(q (^1) i ) ˙q (^2) i (t) (4)
ou
x˙ci = c(b cos αi − d sin αi)θdi + c(b cos αi + d sin αi)θei y ˙ci = c(b sin αi + d cos αi)θdi + c(b sin αi − d cos αi)θei α ˙i = c(θdi − θei ). (5)
sendo q (^2) i = [θdi θei ]T^ o vetor das posi¸c˜oes das rodas direita e esquerda do i-´esimo robˆo e ˙q (^2) i = [ θ˙di θ^ ˙ei ]T^ o vetor das velocidades angulares das rodas.
O controlador baseado na cinem´atica proposto por (Kanayama et al., 1990), fornece as velocidades angu- lares desejadas das rodas esquerda e direita, q˙d (^2) i , tais que os RMRs acompanhem as trajet´orias de referˆencia geradas pelo controle de forma¸c˜ao.
Considere o erro qei = [xei yei αei ]T^ , entre a postura de referˆencia qri = [xri yri αri ]T^ , obtida pela equa¸c˜ao do controle de forma¸c˜ao, (3), com
αri = tg−^1 ( ˙yri / x˙ri ), (6)
e a postura atual de cada robˆo m´ovel na forma¸c˜ao qci = [xci yci αci ]T^. As equa¸c˜oes dos erros s˜ao dadas por
xei = cosαci (xri − xci ) + sinαci (yri − yci ), yei = −sinαci (xri − xci ) + cosαci (yri − yci ), αei = αri − αci.
O controle cinem´atico fornece as velocidades lineares (vdi ) e angulares (ωdi ) desejadas dos RMRs, considerando o erro de postura e as velocidades lineares e angulares de referˆencia dadas, respectivamente, por
vri =
( ˙xri )^2 + ( ˙yri )^2 e ωri = ˙αri. (8)
sendo ˙xri e ˙yri obtidas pela equa¸c˜ao do controle de for- ma¸c˜ao, (3), e α˙ri obtida derivando-se (6) com rela¸c˜ao ao tempo.
Portanto, o controlador cinem´atico ´e dado por
vdi = vri cos(αei ) + Kxxei , ωdi = ωri + vri (Ky yei + Kαsenαei ),
sendo Kx, Ky , Kα constantes definidas pelo projetista.
O controle baseado na dinˆamica considera as velocidades angulares desejadas das rodas de cada RMR, ˙qd (^2) i. Ent˜ao, ´e necess´ario definir as seguintes rela¸c˜oes de velocidades
q˙d (^2) i =
[ ˙
θddi θ^ ˙de i
]
[
1 /r b/r 1 /r −b/r
] [
vid ωdi
]
sendo θ˙ddi and θ˙dei as velocidades angulares desejadas das rodas direita e esquerda dos RMRs, respectivamente.
4 REPRESENTA¸C˜AO QUASE-LPV DOS
RMRS
Na se¸c˜ao anterior estabelecemos a maneira como as tra- jet´orias desejadas devem ser geradas para o controle de
[
δiT (qd (^2) i )T^
]T
. A sa´ıda medida zi e a sa´ıda de controle yi s˜ao definidas em termos dos erros de posi¸c˜ao, q 2 di −q (^2) i. Ent˜ao, (16) pode ser caracterizada pelas seguintes ma- trizes
A(ρi) =
[ ¯
A( ˙q (^2) i ) 0 I 0
]
, B 1 (ρi) =
[ ¯
B
]
B 2 (ρi) =
[
I
]
, C 1 (ρi) =
[
0 −I
]
C 2 (ρi) = [0 − I] , D 11 (ρi) =
[
0 I
]
D 12 (ρi) =
[
I
]
, D 21 (ρi) = [0 I] , D 22 (ρi) = 0,
sendo A 2 ( ˙q (^2) i ) e B definidas em (13). A dinˆamica do controlador ´e definida como [ x˙ki ui
]
[
Ak(ρi, ρ˙i) Bk(ρi, ρ˙i) Ck(ρi, ρ˙i) Dk(ρi, ρ˙i)
] [
xki yi
]
Para obter o controlador, ´e preciso resolver o seguinte conjunto de desigualdades matriciais lineares (DMLs) para X(ρi) e Y (ρi) minimizando γ
» NX 0 0 I
X^ ˙ + XA + AT^ X XB 1 C 1 T BT 1 X −γI D 11 T B 1 D 11 −γI
3 (^5) ×
» NX 0 0 I
» NY 0 0 I
− Y˙ + Y AT^ + AY Y C 1 T B 1 C 1 Y −γI D 11 BT 1 DT 11 −γI
3 (^5) ×
» NY 0 0 I
» X I I Y
sendo NX e NY projetadas para qualquer base de [C 2 D 21 ] e [BT 2 DT 12 ], respectivamente. Note que em- bora as matrizes dependam de ρi, essa dependˆencia foi omitida por conveniˆencia. O controlador LPV pode ser encontrado atrav´es do seguinte procedimento
- Calcule a solu¸c˜ao Dk para
σmax(D 11 + D 12 DkD 21 ) < γ,
e o conjunto Dcl := D 11 + D 12 DkD 21.
- Calcule as solu¸c˜oes B̂k e Ĉk para as equa¸c˜oes ma- triciais lineares 2 4
0 D 21 0 DT 21 −γI DclT 0 Dcl −γI
3 5
» (^) b BTk ?
2 4
C 2 B 1 T X C 1 + D 12 Dk C 2
3 (^5) ,
2 4
0 DT 12 0 D 12 −γI Dcl 0 DclT −γI
3 5
» (^) b Ck ?
2 4
B 2 T C 1 Y (B 1 + B 2 Dk D 21 )T
3 (^5).
 k = − (A + B 2 DkC 2 )T^ + [XB 1 + B̂kD 21 (C 1
[
−γI DTcl Dcl −γI
]− 1
×
[
(B 1 + B 2 DkD 21 )T C 1 Y + D 12 Ĉk
]
- Resolva o problema de fatora¸c˜ao para N e M
I − XY = N M T^.
- Finalmente, encontre Ak, Bk e Ck dados por
Ak =N −^1 (X Y˙ + N M˙ T^ + Âk − X(A − B 2 DkC 2 )Y − B̂kC 2 Y − XB 2 Ĉk)M −T^ , Bk =N −^1 ( B̂k − XB 2 Dk), Ck =( Ĉk − DkC 2 Y )M −T^.
Algumas considera¸c˜oes devem ser tomadas para se ob- ter o controlador acima. Primeiro, a solu¸c˜ao do con- junto de desigualdades matriciais lineares (DMLs) ´e um problema de dimens˜ao infinita, uma vez que o vetor de parˆametros ρi varia continuamente. Para resolver este problema, o espa¸co de parˆametros P ´e dividido em um conjunto de pontos para cada parˆametro, formando-se uma malha de pontos. As DMLs devem ser satisfeitas em todos os pontos desta malha.
Segundo, as matrizes X(ρi) e Y (ρi) devem variar con- tinuamente com o vetor de parˆametros. A quest˜ao ´e: como expressar estas matrizes em fun¸c˜ao de ρi? Uma maneira de se resolver este problema ´e definir fun¸c˜oes bases para X(ρi) e Y (ρi) da seguinte forma
X(ρi) =
∑^ P
p=
fp(ρi)Xp
Y (ρi) =
∑^ L
l=
gl(ρi)Yl
sendo {fp(ρi)}Pp=1 e {gl(ρi)}Ll=1 fun¸c˜oes diferenci´aveis em ρi. Uma regra pr´atica para escolhermos essas fun- ¸c˜oes ´e defin´ı-las de maneira semelhante `as fun¸c˜oes que aparecem na matriz dinˆamica do sistema a ser contro- lado.
A terceira considera¸c˜ao diz respeito `as derivadas das vari´aveis X(ρi) e Y (ρi) que aparecem nas DMLs. Considera-se neste trabalho que a taxa de varia¸c˜ao dos parˆametros ´e limitada ou, como descrito anteriormente, | ρ˙ik (t)| ≤ vik. Sendo as matrizes X(ρi) e Y (ρi) descritas como combina¸c˜oes das fun¸c˜oes base, as suas derivadas nas DMLs podem ser reescritas como
X˙(ρi) =
∑^ M
k=
vik
∑^ P
p=
∂fp ∂ρik
Xp
Y^ ˙ (ρi) =
∑^ M
k=
vik
∑^ L
l=
∂gl ∂ρik Yl
O sinal ± significa que todas as combina¸c˜oes de si- nais positivos e negativos devem ser consideradas para se obter o conjunto de DMLs. Veja (Apkarian and Adams, 1998; Wu et al., 1996) para mais informa¸c˜oes sobre a s´ıntese deste tipo de controlador. Observe que com o aumento do n´umero de robˆos, o custo computaci- onal para resolver as DMLs aumenta exponencialmente. Entretanto, a implementa¸c˜ao dos controladores pode ser realizada dentro de um intervalo de amostragem aceit´a- vel e de forma descentralizada.
5 MODELO MARKOVIANO DOS ROB ˆOS
M ´OVEIS
Nesta se¸c˜ao ser´a apresentada a formula¸c˜ao do controle de forma¸c˜ao tolerante a falhas baseado nas metodolo- gias de projeto para sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos. A falha considerada aqui corresponde `a perda de um dos robˆos da forma¸c˜ao, em especial, pode- se considerar a perda do l´ıder. Ap´os a ocorrˆencia da falha, a dinˆamica do robˆo perdido n˜ao ´e considerada no projeto do controlador baseado em SLSM. Al´em disso, considera-se que o robˆo perdido n˜ao se tornar´a, ap´os a falha, um obst´aculo para os demais robˆos da forma¸c˜ao. As metodologias apresentadas neste trabalho podem ser aplicadas em ambientes com obst´aculos. Neste caso, a trajet´oria desejada do l´ıder ´e alterada para se evitar o obst´aculo. Em forma¸c˜oes com n´umero elevado de robˆos, uma estrat´egia ´e dividir a forma¸c˜ao em duas forma¸c˜oes independentes, cada uma com um l´ıder, cujas trajet´orias desejadas evitam os obst´aculos.
Os modelos dinˆamicos dos robˆos m´oveis em forma¸c˜ao s˜ao linearizados em torno de pontos definidos na faixa
de opera¸c˜ao dos robˆos m´oveis, caracterizada a partir dos limites m´aximos e m´ınimos das vari´aveis de posi¸c˜ao e velocidade. O modelo Markoviano para este sistema considera os pontos de opera¸c˜ao utilizados e a configu- ra¸c˜ao de forma¸c˜ao (se h´a ou n˜ao perda de robˆos). O estado Markoviano atual ´e definido pelo ponto de ope- ra¸c˜ao atual, pelo n´umero de robˆos na forma¸c˜ao e pela informa¸c˜ao de qual robˆo ´e o l´ıder.
Cabe salientar que esta abordagem permite considerar outros aspectos que podem ser ´uteis para determinadas aplica¸c˜oes como a alternˆancia de l´ıder, falhas de comuni- ca¸c˜ao e obst´aculos est´aticos e dinˆamicos. Tais aspectos ser˜ao considerados em trabalhos futuros.
Para obter o sistema linear referente aos pontos de ope- ra¸c˜ao, o modelo dinˆamico dos RMRs (12), com o acr´es- cimo da perturba¸c˜ao no torque, ´e representado por
M 2 q¨ (^2) i + bi = τi + δi, (18)
sendo bi = C 2 ( ˙q (^2) i ) ˙q (^2) i. A lineariza¸c˜ao de (18) em torno de um ponto de opera¸c˜ao ψ com posi¸c˜ao q 2 ψi e velocidade q˙ψ (^2) i , para cada RMR em forma¸c˜ao, ´e dada por
x¯˙i = Aψi x¯i + Eψi w¯i + Bψi u¯i, z ¯i = C 1 ψi x¯i + Dψ (^1) i u¯i, y ¯i = C 2 ψi x¯i + Dψ (^2) i w¯i
sendo Aψi =
[
M 2 − 1 kp −M 2 − (^1) ∂∂b q˙ψ (^2) i 0 I
]
Eψi = Bij =
[
M 2 −^1
]
, C 1 ψi =
[
αiI 0
]
, Dψ (^1) i =
[
βiI
]
C 2 ψi =
[
0 I
]
, Dψ (^2) i = 0, ¯xi =
θ^ ˙dd i −^ θ˙di θ^ ˙de i −^ θ˙ei θddi − θdi θdei − θei
¯ui a entrada de controle calculada de acordo com o con- trolador Markoviano apresentado a seguir e ¯wi = δi. αi e βi s˜ao pondera¸c˜oes definidas pelo projetista para os er- ros de acompanhamento de trajet´oria e para a entrada de controle, respectivamente. O torque aplicado pelos atuadores do i-´esimo robˆo ´e definido por
τi = [kp 0]¯xi + ¯ui. (19)
Considera-se neste trabalho que o n´umero de pontos de opera¸c˜ao, Ψ, ´e o mesmo para cada uma das forma¸c˜oes.
[
ATθ Xθ + Xθ Aθ + Lθ C 2 θ + C 2 Tθ LTθ + C 1 Tθ C 1 θ +
∑Ψ(N +1)
j=1 λθj^ Xj^ Xθ^ Eθ^ +^ Lθ^ D^2 θ EθT Xθ + D 2 Tθ LTθ −γ^2 I
]
Aθ Yθ + YθATθ + BθFθ + F (^) θT BTθ + λθθYθ + γ−^2 Eθ EθT YθC 1 Tθ + F (^) θT D 1 Tθ Rθ Y C (^1) θ Y θ + D (^1) θ Fθ −I 0 RTθ (Y ) 0 Sθ(Y )
[
Yθ I I Xθ
]
sendo
Rθ (Y ) =
[√
λ 1 θ Yθ,... ,
λ(θ−1)θ Yθ ,
λ(θ+1)θ Yθ ,... ,
λ(Ψ(N +1))θ Yθ
]
Sθ (Y ) = −diag(Y 1 ,... , Yθ− 1 ,... , Yθ+1,... , YΨ(N +1)).
de um intervalo de amostragem aceit´avel e de forma des- centralizada. A grande dificuldade est´a no projeto, com o aumento do n´umero de robˆos o custo computacional para resolver as DMLs aumenta exponencialmente.
6 RESULTADOS
Nesta se¸c˜ao vamos apresentar resultados de simula¸c˜ao para o controle robusto de robˆos em forma¸c˜ao com al- ternˆancia de l´ıder baseado no controlador H∞ n˜ao linear apresentado na Se¸c˜ao 4 e para o controle de forma¸c˜ao tolerante a falhas baseado no controle Markoviano apre- sentado na Se¸c˜ao 5. O diagrama de blocos das estra- t´egias de controle propostas neste artigo ´e mostrado na Figura 4.
_
Robô Móvel
Modelo Dinâmico (13)
Controle Baseado na Dinâmica
- Controle Baseado na Cinemática
Representação Quase-LPV – Realimentação da Saída (15) e (17) Markoviano – Real. da Saída (19) e (20)
Controle de Formação (3)
Modelo Cinemático (4)
Relação entre velocidades
q (^2) i
q (^2) i
d q (^2) i
q (^2) i
qe i
~^ G^ i W i q (^2) i ~
i
(10)
q^ d 2 qc^ i
qr i
_ ³
³ Cálculo do Erro de Postura
r r^ T [ v (^) i Z i ]
[ v (^) id^ T ControleLei de Cinemática
Z i^ d ] (9)^ (7) Relação entre velocidades i
q r (8)
Figura 4: Diagrama de blocos detalhado das estrat´egias de con- trole.
Inicialmente, consideram-se seis RMRs em forma¸c˜ao. A Fig. 5 mostra seis poss´ıveis d´ıgrafos, um para cada pos- siblidade de alternˆancia dos robˆos na lideran¸ca da for- ma¸c˜ao, ou seja, para cada robˆo na lideran¸ca tem-se uma
LΓ. Observe que os c´ırculos em vermelho correspondem ao robˆo l´ıder da forma¸c˜ao. Foi considerada a seguinte forma¸c˜ao para os RMRs
(hp) 1 = [6 0], (hp) 2 = [3 2], (hp) 3 = [3 − 2], (hp) 4 = [0 4], (hp) 5 = [0 0], (hp) 6 = [0 − 4].
h 6
h 1
h 2 h 5
h 3
h 4
h 6
h 5
h 3
h 2
h 1
h 4 h 4 h 2 h (^5) h 1
h 3 h 6
h 4 h 2 h (^5) h 1
h 3 h 6
h 4 h 2 h (^5) h 1
h 3 h 6
h 4 h 2 h (^5) h 1
h 3 h 6
Figura 5: D´ıgrafos para cada um dos l´ıderes da forma¸c˜ao.
Os robˆos ser˜ao denominados conforme sua posi¸c˜ao na forma¸c˜ao, ou seja, o L´ıder 1 ser´a o robˆo que est´a na po- si¸c˜ao h 1 e assim por diante. A matriz de realimenta¸c˜ao Fveh aplicada a todos os robˆos da forma¸c˜ao ´e dada por
Fveh =
[
]
Para o controlador baseado na cinem´atica, os ganhos
foram definidos como Kx = 7, Ky = 52, Kα = 27. Os valores destes ganhos foram escolhidos heuristicamente buscando obter uma resposta r´apida, por´em suave, da trajet´oria. As trajet´orias de referˆencia, xri e yri , s˜ao dadas pela Eq. (3) com condi¸c˜oes iniciais
(xc 1 (0), yc 1 (0), αc 1 (0)) = (0, 4 , 0), (xc 2 (0), yc 2 (0), αc 2 (0)) = (0, 6 , 0), (xc 3 (0), yc 3 (0), αc 3 (0)) = (0, 2 , 0), (xc 4 (0), yc 4 (0), αc 4 (0)) = (0, 14 , 0), (xc 5 (0), yc 5 (0), αc 5 (0)) = (0, 12 , 0), (xc 6 (0), yc 6 (0), αc 6 (0)) = (0, 10 , 0).
Os seguintes parˆametros nominais s˜ao considerados para todos os robˆos, eles correspondem aos parˆametros do robˆo m´ovel constru´ıdo em nosso laborat´orio (Inoue et al., 2009): mω = 0 , 075 (kg), mc = 0 , 597 (kg), a = 0, 17 (m), b = 0, 065 (m), d = 0, 01 (m), r = 0, 028 (m), Ic = 0, 0023 (kg.m^2 ), Iω = 0, 00038 (kg.m^2 ) e Im = 3, 7 × 10 −^7 (kg.m^2 ).
Para o controlador H∞ via representa¸c˜ao quase-LPV, o espa¸co de varia¸c˜ao dos parˆametros ρi, P, definido como
−π ≤ θ˜˙di ≤ π(rad/s) e − π ≤ θ˜˙ei ≤ π(rad/s),
com νi = [θ¨˜dimaxθ^ ¨˜eimax ] = 2. 5 π 2. 5 π, ´e di- vidido em L = 3 pontos para cada parˆametro. Note que os parˆametros selecionados correspondem aos er- ros de velocidade das rodas direita e esquerda de cada robˆo. As fun¸c˜oes base foram selecionadas de modo a apresentar um comportamento semelhante ao sistema a
ser controladof 1 (ρi) = g 1 (ρi) = 10^6 , g 2 = 10^11 cos θ˜˙di e
g 3 (ρi) = 10^9 sen θ˜˙ei , sendo X(θ) e Y (θ) definidas como segue
X(ρi) := X 0 f 1 (ρi) Y (ρi) := Y 0 g 1 (ρi) + Y 1 g 2 (ρi) + Y 2 g 3 (ρi).
O melhor n´ıvel de atenua¸c˜ao encontrado foi γ = 2.61. Para testar a robustez dos controladores, dist´urbios ex- ternos foram introduzidos nos torques das rodas da se- guinte forma
δdi = 1 e−(t−4)
4 sen(1. 3 πt), δei = − 1 e−(t−4)
4 sen(1. 3 πt).
A simula¸c˜ao do controlador H∞ com realimenta¸c˜ao da sa´ıda foi realizada para os seis robˆos m´oveis, que se al- ternaram na lideran¸ca da forma¸c˜ao (sendo o robˆo 1 o l´ıder inicial, o robˆo 6 o l´ıder intermedi´ario e o robˆo 4 o
l´ıder final) durante a trajet´oria, Fig. 6. A sequˆencia de lideran¸ca ´e definida aleatoriamente segundo uma matriz de probabilidade uniforme para todos os robˆos da for- ma¸c˜ao, ou seja, qualquer robˆo pode assumir a lideran¸ca com a mesma probabilidade (no exemplo considerado, esta probabilidade ´e 1/6). Note que, para fins de simu- la¸c˜ao, foram realizadas duas alternˆancias de l´ıder dentro do intervalo de tempo considerado, em espa¸cos regulares da trajet´oria, respectivamente, a um ter¸co e dois ter¸cos desta. O projetista tamb´em pode definir uma fun¸c˜ao densidade de probabilidades que descreve os instantes de tempo em que h´a maior probabilidade de ocorrer a alternˆancia de l´ıder.
(^00 10 20 30 40 50 60 )
10
20
30
40
50
60
70
80
LPV
x(t) (m)
y(t) (m)
Referência RMR
Zoom
Líder Inicial
Líder Intermediário Líder Final
Figura 6: Controle quase-LPV com realimenta¸c˜ao da sa´ıda para os RMRs em forma¸c˜ao. A regi˜ao em destaque mostra o mo- mento no qual o dist´urbio foi aplicado.
O erros de dire¸c˜ao dos robˆos durante a trajet´oria com alternˆancia de l´ıder s˜ao mostrados na Figura 7. Observe que os dist´urbios foram rejeitados adequadamente. Nas figuras 8 e 9 s˜ao mostrados os dist´urbios e torques, res- pectivamente, aplicados nas rodas atuadas.
−0.2 0 2 4 6 8
0
0.8 LPV
Tempo (s)
Erros de direção dos robôs(rad)
(^) α e
Figura 7: Erros de dire¸c˜ao dos robˆos m´oveis.
Para o controle tolerante a falhas, foi considerada como
−0.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−0.
−0.
0
1 Controlador Markoviano
Tempo (s)
Erros de direção do robô 1 (rad)
αe 1
Figura 11: Erro de dire¸c˜ao do robˆo 1 com controlador Marko- viano.
rodas, uma robusta e outra tolerante a falhas. Inicial- mente, considerou-se uma forma¸c˜ao com alternˆancia de l´ıder sujeita a dist´urbios externos. O controle robusto H∞ n˜ao linear por realimenta¸c˜ao da sa´ıda, em conjunto com os controles de forma¸c˜ao e cinem´atico, garante a estabilidade da forma¸c˜ao considerando as caracter´ısti- cas dinˆamicas dos robˆos m´oveis. A segunda estrat´egia considera que a forma¸c˜ao pode sofrer a perda de robˆos, inclusive do l´ıder. Neste caso, foi proposto um controle tolerante a falhas baseado na teoria de sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos. Novamente, o controla- dor H∞ por realimenta¸c˜ao da sa´ıda para SLSM garante a estabilidade global do sistema mesmo com a perda de robˆos da forma¸c˜ao. Os aspectos principais das duas me- todologias propostas foram considerados nos exemplos apresentados, robustez a dist´urbios externos e tolerˆan- cia a falhas. Entretanto, h´a uma infinidade de situa¸c˜oes nas quais a metodologia proposta neste artigo precisa ser aperfei¸coada para funcionar com eficiˆencia, por exemplo quando ocorrem falhas de comunica¸c˜ao ou quando apa- recem obst´aculos de maneira aleat´oria. Esses problemas ser˜ao tratados futuramente.
AGRADECIMENTOS
Este trabalho contou com o apoio FAPESP atrav´es do processo 06/02303-7.
REFERˆENCIAS
Apkarian, P. and Adams, R. (1998). Advanced gain-scheduling techniques for uncertain systems, IEEE Transactions on Control Systems Technology 6 (1): 21–32.
Brualdi, R. and Ryser, H. (1991). Combinatorial Matrix Theory, Cambridge University Press, USA.
Chaimowicz, L., Kumar, V. and Campos, M. F. M. (2004). A paradigm for dynamic coordination of multiple robots, Autonomous Robots 17 (1): 7–21. Coelho, P. and Nunes., U. (2003). Lie algebra applica- tion to mobile robot control: A tutorial, Robotica 21 : 483–493. de Farias, D. P., Geromel, J. C., do Val, J. B. R. and Costa, O. L. V. (2000). Output feedback con- trol of Markov jump linear systems in continuous- time, IEEE Transactions on Automatic Control 45 (5): 944–949.
Desai, J., Ostrowski, J. and Kumar., V. (1998). Con- trolling formations of multiple robots, Proceedings of the IEEE International Conference on Robo- tics and Automation (ICRA98), Leuven, Belgium, pp. 2864–2869. Fax, J. and Murray., R. (2004). Information flow and co- operative control of vehicle formations, IEEE Tran- sactions on Automatic Control 49 (9): 1465–1476. Inoue, R. S., Siqueira, A. A. G. and Terra, M. H. (2009). Experimental results on the nonlinear H∞ control via quasi-LPV representation and Game Theory for wheeled mobile robots, Robotica 27 (4): 547–553.
Kanayama, Y., Kimura, Y., Miyazaki, F. and Noguchi., T. (1990). A stable tracking control method for an autonomous mobile robots, in Proc. IEEE Inter- national Conference on Robotics and Automation pp. 384–389. Laferriere, G., Caughman, J. and Willians, A. (2004). Graph theoretic methods in the stability of vehicle formations, Proceeding of American Control Con- ference pp. 3724–3729. Lafferriere, G., Williams, A., Caughman, J. and Ve- erman., J. J. P. (2005). Descentralized control of vehicle formations, Systems and Control Letters 54 (9): 899–910.
Olfati-Saber, R. and Murray, R. M. (2002). Distributed sctrutural stabilization and tracking for formations of dynamic multiagents, Procedings of IEEE Con- ference on Decision and Control pp. 209–215. Pereira, G. A. S., Kumar, V. and Campos, M. F. M. (2008). Closed loop motion planning of coopera- ting mobile robots using graph connectivity, Robo- tics and Autonomous Systems 56 (4): 373–384. Siqueira, A. A. G., Terra, M. H. and Buosi, C. (2007). Fault-tolerant robot manipulators based on output- feedback H∞ controllers, Journal of Robotics and Autonomous Systems 55 (10): 785–794.
Tanner, H., Pappas, G. and Kumar., V. (2004). Leader- to-formation stability, IEEE Transactions on Ro- botics and Automation 20 (3): 443–455.
Veerman, J. J. P., Lafferriere, G., Caughman, J. S. and Williams, A. (2005). Flocks and formations, Jour- nal of Statistical Physics 121 (5-6): 901–936.
Williams, A., Lafferriere, G. and Veerman, J. (2005). Stable motions of vehicles formations, Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control and the European Control Conference pp. 12–15.
Wu, F., Yang, X. H., Packard, A. and Becker., G. (1996). Induced L 2 norm control for LPV systems with bounded parameter variation rates, Internati- onal Journal of Robust and Nonlinear Control 6 (9- 10): 983–998.
