Conserva¸c˜ao da Energia no Movimento Geral
N´ıkolas Kemmerich
30 de abril de 2020
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Conservação de Energia em Movimento Geral por Nicolas Kemmerich, Notas de estudo de Física
Neste documento, nicolas kemmerich discute a conservação da energia em movimento geral, explicando o produto escalar, as equações de newton e as forças conservativas. O autor também aborda a relação entre forças conservativas e energia potencial, e fornece exercícios para prática.
O que você vai aprender
- Como se calcula o trabalho realizado por uma força conservativa?
- Qual é a diferença entre energia potencial e energia cinética?
- Como se calcula a tensão de um fio em um pêndulo?
- Explique o conceito de produto escalar.
- Qual é a relação entre forças conservativas e energia potencial?
Tipologia: Notas de estudo
2021
1 / 15
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Conserva¸c˜ao da Energia no Movimento Geral
N´ıkolas Kemmerich
30 de abril de 2020
Conserva¸c˜ao da Energia no Movimento Geral
Conserva¸c˜ao da energia no caso em 2 ou 3 D.
Figura 1: For¸ca constante em bloco.
Fcosθ = ma (1)
Deslocamento:
l = l
i
v
2
f
− v
2
i
Fcosθ
m
l (2)
que corresponde ao W, visto no
movimento unid.
W =
mv
2
f
mv
2
i
= Fcosθl = F //
l (3)
onde F ‖ ´e a for¸ca na dire¸c˜ao de l.
A for¸ca F ⊥
ao deslocamento n˜ao realiza
trabalho.
Produto Escalar
a ·
b = abcosθ =
b ·
a
*nota¸c˜ao (•)
Figura 2: Geometria do produto escalar.
Logo podemos escrever o trabalho como
W =
F ·
l = lFcosθ (4)
Dado que
a = a x
i + a y
j + a z
k e
b = b x
i + b y
j + b z
k , calcule
a ·
b.
~a ·
b = (a x
i + a y
j + a z
k) · (b x
i + b y
j + b z
k) (9)
= a x b x
i ·
i + a x b y
i ·
j + a x b z
i ·
k + a y b x
j ·
i + ... (10)
Usando as propriedades (6) e (7), encontramos
~a ·
b = a x b x
- a y b y
- a z b z
Trabalho de uma For¸ca: caso geral
W
P i →P i+
F
i
l i
Figura 5: Trajet´oria da part´ıcula sob a¸c˜ao de uma for¸ca qualquer.
W
(C )
P 1 →P 2
N ∑
i=
W
P i
→P i+
N ∑
i=
F
i
l i
W
(C )
P 1 →P 2
= lim
∆l i
→ 0
N ∑
i=
W
P i
→P i+
P 2
P 1
F · d
l (14)
onde
F = F
x
i + F y
j + F z
k e d
l = dx
i + dy
j + dz
k.
For¸ca Conservativa
Part´ıcula no campo gravitacional: F x
= F
y = 0 e F z = −mg. O trabalho para levar a
prat´ıcula de um ponto z 1 at´e z 2 ´e
P 2
P 1
F · d
l =
P2=(0, 0 ,z2)
P1=(0, 0 ,z1)
(−mg )dz = −mg
z 2
z 1
dz = −mg (z 2 − z 1
Assim,
W
(C )
P 1 →P 2
P 2
P 1
F · d
l = −(U 2
− U
1
Notamos que o trabalho realizado pela for¸ca peso independe do caminho, veja a
Figura abaixo. Quando isto acontece, a for¸ca ´e dita conservativa.
Figura 6: Trabalho independe da trajet´oria para ir de P 1 → P 2 .
Combinando as equa¸c˜oes acima, temos que: ∆E = ∆T + ∆U = 0.
A fun¸c˜ao potencial ainda pode ser escrita tal como no caso unidimensional
U(P) =
P
P 0
F · d
l (22)
com uma escolha de energia potencial em zero U(P 0
ou na nota¸c˜ao de integral de caminho fechado
C =C 1+C 2
F · d
l = 0, (25)
ou seja, dado qualquer caminho fechado, independente de sua forma, o trabalho de
uma for¸ca conservativa ´e sempre zero!
For¸ca e gradiente da energia potencial
Rela¸c˜ao entre for¸ca conservativa
F e energia potencial U.
Derivada e fun¸c˜oes de duas ou mais vari´aveis. Ex.: U(x, y , z) = xy
2 z
3 .
∂x
U(x, y , z) = y
2 z
3 (26)
∂y
U(x, y , z) = x(2y )z
3 (27)
∂z
U(x, y , z) = xy
2
(3z
2
) (28)
Unidimensional
F = −
dU
dx
Geral
(F
x
, F
y
, F
z
∂U
∂x
∂U
∂y
∂U
∂z
F = −
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k
U(x, y , z)
Operador Gradiente(ou nabla)
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k
Assim,
F = −
∇U (29)
Tema: resolver os exerc´ıcios 7 e 18 da lista!
Ex.: For¸cas Centrais (campo gravitacional)
F = −
dU
dr
ˆr
A fun¸c˜ao potencial ´e definida como
U(r ) = −
r
∞
F (r )dr = −G
mM
r
Assim, a for¸ca ´e F = −
dU(r )
dr
= GMm
dr
− 1
dr
= −G
Mm
r 2
ou vetorialmente
F (r ) = −G
Mm
r
2
ˆr. (31)
Toda for¸ca central ´e conservativa.
Se uma for¸ca n˜ao ´e conservativa(dissipam energia mecˆanica), temos
P 2
P 1
F · d
l(C 1) 6 =
P 1
P 2
F · d
l(C 2) (37)
Importante: no caso em 2 e 3 D for¸cas que dependam s´o da posi¸c˜ao podem n˜ao ser
conservativas. Ex.: For¸cas de Atrito.
Exemplo
Veja a Figura abaixo. Para qual distˆancia entre A e B poder´ıamos colocar um prego F
para que a linha enrosque e a part´ıcula dˆe uma volta completa ?(problema de
otimiza¸c˜ao)
Figura 8: Pˆendulo de Galileu.
Res.:
Energia potencial gravitacional inicial U = mgz 0
. Ao chegar no ponto B sua energia
cin´etica ´e m´axima. Quando a part´ıcula come¸ca a subir sua energia potencial em
rela¸c˜ao ao ponto B ´e
U(θ) = mgz = mg (d − l) (38)
onde l = dcosθ ´e a distˆancia part´ıcula projetada na linha FB.