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1. INTRODUÇÃO
Um dos fundamentos da teoria da Dinâmica de Máquinas e Sistemas é o estudo das vibrações livres e forçadas em sistemas mecânicos. Este estudo inicia-se através de modelos simples com um grau de liberdade (1GL). Estes modelos são úteis pois, estabelecem definições básicas e podem também corresponder a muitas situações reais, especialmente quando se trata de análises dinâmicas numa faixa estreita de frequências. São aplicados também nos estudos mais avançados de vibrações mecânicas através do desacoplamento modal de modelos com vários graus de liberdade (NGL). Os parâmetros de massa, de rigidez e de amortecimento destes modelos são determinados a partir da aplicação das leis da dinâmica nos problemas de engenharia em estudo. Por isso para o estudo de vibrações mecânicas é requisito o conhecimento das leis de Newton e Euler. Para o equacionamento de modelos de sistemas mais complexos, com vários graus de liberdade, ou de modelos de sistemas com parâmetros distribuídos espacialmente, recomenda-se também o conhecimento das equações de Hamilton e de Lagrange.
1.1 - MODELOS MATEMÁTICOS
Com a aplicação das leis do movimento, pode-se mostrar que muitos sistemas mecânicos possuem um modelo matemático simples representado pela equação m x cx kx f (1.1)
onde m é a massa do modelo; c é o coeficiente de amortecimento do modelo; k é o coeficiente de rigidez do modelo; x x(t) é o deslocamento da massa m;
dt x x(t)=dx é a velocidade da massa m;
2
( ) =^2
dt x xt d x é a aceleração da massa m e f f(t) é a força externa aplicada na massa m.
Figura 1.1 - Modelo elementar de 1 grau de liberdade.
Para se obter os parâmetros do modelo dado por (1.1) há vários procedimentos derivados das teorias da Mecânica Vetorial ou da Mecânica Clássica. Além disso, é necessário o conhecimento de métodos para a discretização dos sistemas deformáveis. Neste item será tratado apenas um método que é fundamental para o conhecimento de teorias mais avançadas.
c
k m f
A um pequeno deslocamento horizontal v em A, na direção y, corresponde um deslocamento angular da barra AO. Esses deslocamentos podem ser relacionados de forma aproximada por: v l (1.2) Na direção y, estão aplicadas na barra OA a força de mola fmo, a força de amortecedor fam, a força aplicada f 1 e a força do apoio O. Para um deslocamento pequeno v a partir da posição de equilíbrio, a equação de momentos aplicados na barra OA pode ser escrita como
f 1 2 l fmo 2 l faml IO (1.3)
onde IO é o momento de inércia da barra OA e da massa m 2 em relação a O e é a aceleração angular desta barra. As forças da mola e do amortecedor são dadas por
2 k l 2 f (^) mo k 1 v 1 (1.4)
e f (^) am c 1 v c 1 l (1.5)
O momento de inércia IO e a aceleração angular são dados por
O 1 2 1 2 2 2 1 2 m 2 l^2 3 ml ml 4 m l 12 I ml (1.6)
e (1.7) Aplicando (1.4), (1.5), (1.6) e (1.7) em (1.3), obtém-se
f 1 2 l k 1 l 42 c 1 l^2 ^ m 31 l^2 m 2 l^2 (1.8)
Dividindo (1.8) por l, obtém-se
2 f^1 k 41 l c^1 l^ m 31 m^2 l^ (1.9)
Lembrando que v l , resulta
2 f^1 k 41 v c^1 v m 31 m^2 v^ (1.10)
ou seja mv cv kv f (1.11)
onde os parâmetros deste modelo, semelhante ao modelo elementar dado em (1.1), são dados por
m m 31 m 2 ; c c 1 ; k k 41 e f 2 f^1
Exemplo 2: Seja uma viga engastada, com seção transversal constante A, comprimento l, massa m e momento de segunda ordem de área igual a J, submetida a uma força p(x,t). Está apoiada num amortecedor de constante c 1 , localizado conforme mostrado na Figura 1.3. O material da viga tem módulo de elasticidade E e massa por unidade de volume igual a. Pretende-se obter um modelo com 1GL para esta viga que descreva o movimento vertical de sua extremidade.
Figura 1.3 - Modelo de 1 grau de liberdade: barra deformável.
O deslocamento na direção y desta viga é uma função da posição x e do tempo t, ou seja, v(x,t). Seja esta função dada pelo produto de duas funções de uma variável,
v( x,t) (x) q(t) (1.12)
2 l/ 3
y x
p(x,t) v(x,t)
c 1 l/ 3
l 2 0 A x^2 dx qt 2
T 1 [ ( )] [()] (1.18)
l 2 0 EJ x^2 dx qt 2 V 1 [ ( )] [ ()] onde^22 dx (x) d (1.19)
e, como v (x) q, resulta
Q q p xt x dx c 1 22 l 3 qt q l 0 (^ ,) ( ) ( / ) (^ )
Aplicando (1.18), (1.19) e (1.20) na equação de Lagrange (1.14), obtém-se m q kq Q Qp Qc 1 (1.21)
ou m q cq kq Qp (1.22)
onde l 0 m A[ (x)]^2 dx (1.23a)
c 2 ( 2 l/ 3 )c 1 (1.23b) l 0 k EJ[ (x)]^2 dx (1.23c)
e Q p xt x dx l (^) p 0 ( , ) ( ) (1.24)
Para o caso particular da (x) escolhida como exemplo, ver (1.13), os valores dos coeficientes do modelo (1.22), calculados através das (1.23), são dados por
m 0 , 2268 ρAl ; c 0 , 25 c 1 e k 3 , 044 E l 3 J
Tomando como exemplo, p (x,t) p 0 sen tcom p 0 constante, obtém-se de (1.24)
Q (^) p 0 , 3634 p 0 lsen t
1.2 – MOVIMENTOS PERIÓDICOS
Nos estudos de dinâmica, os fenômenos físicos são descritos através de grandezas físicas que estão variando no tempo. Estas variações podem ocorrer de forma determinística ou aleatória. As variações determinísticas são aquelas que têm a sua descrição matemática feita através de funções que definem os seus valores em qualquer instante de tempo. As variações aleatórias são aquelas que podem ser descritas apenas por modelos estatísticos. Em geral toda grandeza física contém algum conteúdo aleatório. Entretanto, quando este conteúdo é pequeno em relação à descrição determinística, pode ser desprezado. Esta parcela aleatória da grandeza é às vezes denominada ruído. Entre os modelos matemáticos determinísticos, destacam-se as funções periódicas. Estas funções representam muitos fenômenos físicos da natureza e da tecnologia. A posição de um pêndulo em movimento livre, dos ponteiros de um relógio, dos pistões de um motor de veículos em velocidade constante são exemplos de grandezas físicas que realizam movimentos periódicos. Estes movimentos são chamados de forma geral por oscilações. Vibração mecânica é a denominação dada às pequenas oscilações de sistemas mecânicos e estruturas flexíveis. Esta distinção entre os conceitos de oscilação e de vibração muitas vezes não é feita na literatura do assunto. Para o estudo das vibrações mecânicas é importante se conhecer algumas propriedades das funções periódicas. Uma função periódica y(t) pode ser dada por: y( t) y(t nT) n 1 , 2 , 3 , (1.25)
onde T é o período de oscilação da função y(t). Sendo o período T dado em segundos (s), a frequência f de oscilação é igual a
T f^1 (1.26)
em ciclos por segundo (c/s) ou Hertz (Hz), ou
O movimento do ponto P é retilíneo e oscilatório, denominado movimento harmônico simples cuja frequência é ω e cuja amplitude é o raio r. A velocidade deste ponto é dada por:
y dydt r cos t (1.30)
e a aceleração dada por
y ddt^22 y r^2 sen t (1.31)
Observa-se a partir de (1.29) e (1.31) que
y^ 2 y 0 (1.32) O movimento harmônico pode ser obtido numa forma matemática mais geral que a (1.29) tomando um ângulo inicial diferente de zero, o que corresponde a uma posição inicial y( 0 ) diferente de zero. Portanto, de uma forma geral o movimento harmônico simples pode ser escrito por: y rsen( 0 ) rsen( t 0 ) (1.33)
ou y acos t bsen t (1.34)
onde
r^2 a^2 b^2 (1.35) e
b 0 tan^1 a^ (1.36)
Observe-se em (1.34) que a y( 0 ) (1.37)
e
b y(^0 ) (1.38)
Figura 1.5 – Movimento harmônico simples.
Os movimentos periódicos podem ser decompostos em movimentos harmônicos simples. Para movimentos contínuos, pode-se fazer uma decomposição através da série de Fourier. Seja dada uma função periódica contínua, conforme definição feita em (1.25). Esta função pode ser escrita então como
y (t) a (^0) n 1 ancos nt n 1 bnsen nt (1.39)
onde
T n^2 n^ (1.40)
Integrando ambos os lados da equação (1.39) na variável t obtém-se facilmente o termo que corresponde ao valor médio da função y(t): T (^0) T 0 yt dt a 1 () (1.41)
0.0 0.2 0.4 (^) t 0.6 0.8 1.
0
1
2
3
4
u(t)
