Coletânea de Provas P4 - 2015, Provas de Cálculo

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RESOLUÇÃO DE

PROVAS

PASSADAS DE

CÁLCULO I

Prof. Luiz Roberto Marim

Prof. Airton Eiras

Quarto Bimestre

Exercícios resolvidos e comentados

ÍNDICE

• 29. ÁREA ENTRE CURVAS
• 30. VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ..............................................................................
• 31. INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ...............................................................
• 32. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA ...............................................
• 33. INTEGRAIS DE FUNÇÕES RACIONAIS ............................................................................
• 34. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS.....................................................................................................

29. ÁREA ENTRE CURVAS

A área A de uma região limitada pelas curvas f  x e g  x, e pelas retas x a e x b,

onde as funções f e g são contínuas e f  x  g  x, para todo x   a , bé:

b

a

A  ^ f x g x .d x  

A região hachurada na figura a seguir ilustra uma região entre as funções

f  x  .x  x 

e g  x .x  .x 

A área dessa região pode ser determinada calculando-se a seguinte integral:

A .x x .x .x .d x



 ^ ^ ^ 



3 2 2

1

        

















x

y

(c) Calcule a área representada no item (a).

RESOLUÇÃO

A área representada no item (a) pode ser obtida através da integral:

 ^ 

1 2 2

0

A  2.  y  3 y  2 d y  

1 2

0

A  2.   2 y  2 d y

Resolvendo, chegamos a:

3 1

0

y A y

A

A   

A  u A

(MAUÁ – 2007) Determine a área da região delimitada pelas curvas:

 ^ 

3 ln x y x

x

y  e , x  1 e x  e.

RESOLUÇÃO

A seguir podemos ver o gráfico da região dada.

          

















x

y

Para determinarmos a área dessa região, devemos calcular a seguinte integral:

3

1

 ln   (^)     

e x x A e d x x

3

1 1

ln  

e e x x A e d x d x x

A primeira integral é imediata. No entanto, a segunda deve ser feita com uma substituição:

u  ln x d u  d x x

Agora a segunda integral fica:

3 1 3

1 0

ln 

e x d x u d u x

3 41

(^1 )

ln

4

^ 

e x (^) u d x x

3

1

ln (^1)

4

e x d x x

Finalmente chegamos ao valor da área pedida:

1

x^ e A e

e A e e u A

(MAUÁ – 2007) Seja f  x   0 para a  x  b. Seja R a região limitada pela curva

y  f  x ^ , o eixo^ x e as retas^ x^  a e^ x  b. Nesse caso, o centróide (ou centro geométrico)

de R é o ponto  x , y , onde  

b

a

x x f x d x A



e  

b

a

y f x d x A

  

e A é a área da

região R.

(a) Determinar a área A da região hachurada abaixo:





x

y

(MAUÁ – 2007) Arquimedes mostrou que a área de um arco de parábola é igual a 2/3 do

produto da base b pela altura h.

Use a integral apropriada para calcular a área A se o arco de parábola é limitado por

2 y  9  x

e pelo eixo x.

RESOLUÇÃO

A parábola dada corta o eixo x nos pontos x = - 3 e x = 3. Assim, para calcularmos a área do arco

de parábola pedido, devemos resolver a integral a seguir:

(^3 )

3



A x d x

3 3

3

x A x

3 3 3 3 9 .3 9. 3 3 3

 ^ 

 ^ ^ ^ 

A A  5 4  1 8 3 6 u A..

Utilizando o calculo de Arquimedes, temos que a base é igual a 6 (distância entre as raízes) e a

altura é igual a 9 (quando x = 0, y = 9). Assim podemos verificar o cálculo da área:

A  

b

h

(MAUÁ – 2008) Queremos determinar a área compreendida entre as curvas:

2

y   x  2 x ,

2

y  x  4 e x  2. Para tanto:

(a) determine todas as intersecções e indique-as no gráfico abaixo.

RESOLUÇÃO

Para encontrarmos as intersecções, devemos igualar as equações:

2 2  x  2 x  x  4

2 x  x  2  0

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos:

x   2 x  1

Determinando os valores de y , chegamos aos pontos:

P 1   2 , 0 P 2   1,  3 

(b) escreva a integral que fornece a área e calcule esta área.

RESOLUÇÃO

A área total pode ser obtida somando-se duas áreas. A primeira entre os pontos x = - 2 e x = 1 e

a segunda entre os pontos x = 1 e x = 2. Assim, podemos escrever a seguinte integral:

           





















x

y

Determinando os valores de y :

y 1     1  2 y 1  3 P 1   1, 3

y 2   2  2 y 2  0 P 2  2 , 0

Entre

2

y  4  x e x  3 :

2

y  4  3 y   5 P 3   3,  5 

Entre

2

y  4  x e x   2 :

2

y  4   2 y  0 P 4   2 , 0

Entre y   x  2 e x  3 :

y   3  2 y   1 P 5   3,  1 

Entre y   x  2 e x   2 :

y     2  2 y  4 P 6   2 , 4 

(b) escreva a integral que fornece a área.

RESOLUÇÃO

Para determinarmos a área total devemos escrever três integrais. A primeira entre os pontos de

abscissas x = - 2 e x = - 1, a segunda entre x = - 1 e x = 2 e a terceira entre x = 2 e x = 3. Assim,

ficamos com:

1 2 3 2 2 2

2 1 2



 

 ^     ^  ^     ^  ^     

 (^)    (^)     A x x d x x x d x x x d x

1 2 3 2 2 2

2 1 2



 

       

A x x d x x x d x x x d x

Podemos escrever essa soma de três integrais da seguinte forma:

3 2

2





A x x d x

(MAUÁ – 2008) Encontre o valor de k de forma que as áreas sombreadas da figura abaixo

sejam iguais.

RESOLUÇÃO

Inicialmente vamos identificar os valores das abscissas dos pontos de intersecção. Chamando

de x  a , a abscissa do primeiro ponto de interseção, temos que x   a é a abscissa do

segundo ponto de intersecção (veja figura a seguir que mostra essa simetria).

Para que as áreas sombreadas sejam iguais, devemos escrever que as integrais que

representam as áreas sejam iguais. Vamos inicialmente escrever a área 1, ou seja, a área mais a

esquerda:

1 ^ ^  0

a

A k s e n x d x 1     0

   c o s    c o s  1

a A k x x k a a

A 1 (^)  k a  c o s (^)  a  (^12)    



 (^)  

a

a

A s e n x k d x



2 c o s^ 

  (^)      

a

a

A x k x



A 2 (^)   c o s (^)   a (^)   k (^)   a (^)   (^)   c o s (^)  a (^)  k a. 

A 2   c os    a   2. k a.  k. c os a 

A 2  2. k a.  k. 2. c o s a 

  



x

y

  



x

y

(c) Determine o valor de m que faça a área ser igual a 36 u. A.

RESOLUÇÃO

Basta substituir o valor da área por 36 e determinar o valor de m.

3 3 6 6

m 3 3 m  6 m  6

(MAUÁ – 2009) Dada a figura:

(a) Escreva, sem calcular , a área de cada uma das regiões hachuradas assinaladas, utilizando

integral definida.

RESOLUÇÃO

As três áreas pedidas podem ser escritas como as três integrais a seguir:

1 ^ ^ ^ 

0

a

A  (^)  f x  g x  d x

2 ^ ^ ^ 

b

a

A  (^)  g x  f x (^)  d x  

3 ^ ^ ^ 

c

b

A   f x  g x  d x

A 1

A 2

A 3

(b) Você pode escrever a área total usando uma única integral? Justifique sua resposta.

RESOLUÇÃO

Nós podemos escrever a área total como a soma das três integrais do item (a). A integral

resultante será:

0



c

A f x g x d x

Note que devemos fazer uso do módulo, pois a segunda integral daria um valor negativo.

(MAUÁ – 2010) Calcule a área hachurada na figura abaixo, em função das constantes a

e b :

RESOLUÇÃO

Para o cálculo da área total devemos escrever duas integrais:

2 2

0

. c o s . c o s

a b

a

A x x d x x x d x

O sinal de menos aparece pois a segunda integral retornará um valor negativo, visto que a área

correspondente está abaixo do eixo x. As duas integrais são resolvidas da mesma forma que a

integral indefinida a seguir:

2 I  (^)  x. c o s x d x

 



x

y

0 a b