CIRCUITO RLC COM ONDA QUADRADA, Trabalhos de Circuitos Elétricos

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RELATÓRIO III: CIRCUITO RLC COM ONDA QUADRADA

Campo Grande/MS

Setembro de 2021

SUMÁRIO

• OBJETIVOS.............................................................................................................................
• I-INTRODUÇÃO TEÓRICA...................................................................................................
• II-MATERIAIS E MÉTODOS...............................................................................................
  • II.1 – Constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC............................................................
  • II.2 – Transição do regime subcrítico para o crítico.........................................................................................
  • II.3 – Transição do regime subcrítico para o supercrítico................................................................................
• III-RESULTADOS E DISCUSSÕES.....................................................................................
  • III.1- Constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC.............................................................
  • III.2- Transição do regime subcrítico para crítico............................................................................................
  • III.3- Transição do regime subcrítico para supercrítico...................................................................................
• IV-CONCLUSÃO..................................................................................................................
• V-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................

I-INTRODUÇÃO TEÓRICA

As ondas mecânicas são

uma perturbação que se

propaga em um meio

elástico, ou seja, a

propagação da onda em

um meio material acontece

por meio da

propagação da energia da

onda por meio das

vibrações das partículas

constituintes

do meio. Na propagação

das ondas mecânicas

ocorre o transporte de dois

tipos de

energia: energia cinética e

potencial.

Uma onda mecânica é

chamada de longitudinal,

quando as vibrações das

ondas são paralelas à

direção de propagação. Por

ser uma onda longitudinal,

seu som

se propaga por meio de

pequenas variações do

meio material. Uma onda é

transversal

somente quando produz

vibrações que são

perpendiculares à direção

de propagação.

Em um solido as

perturbações podem fazer,

som varia, se propagando

mais

rápido ou mais lento. De

modo geral, a velocidade

do som se propaga de

forma mais

eficaz em sólidos do que

em líquidos, e se propaga

de maneira mais eficaz em

líquidos

do que em gases. A

temperatura em que o

meio se encontra também

interfere na

velocidade do som.

Quando se solta uma barra

verticalmente, pode-se ver

que essa barra “pula”

ao atingir o solo, ou seja,

quando ela é solta e se

choca contra o piso, ocorre

um pulso

de compressão em sua

parte inferior. Como o

pulso se propaga pela

barra acaba

atingindo sua parte

superior, e assim é

refletido, retornando à sua

parte inferior.

Quando esse pulso atinge a

parte inferior da barra,

acaba que restaurando a

forma

do meio. Na propagação

das ondas mecânicas

ocorre o transporte de dois

tipos de

energia: energia cinética e

potencial.

Uma onda mecânica é

chamada de longitudinal,

quando as vibrações das

ondas são paralelas à

direção de propagação. Por

ser uma onda longitudinal,

seu som

se propaga por meio de

pequenas variações do

meio material. Uma onda é

transversal

somente quando produz

vibrações que são

perpendiculares à direção

de propagação.

Em um solido as

perturbações podem fazer,

não somente as ondas

longitudinais e

transversais, mas também

as ondas de torção.

São as propriedades de

inércia e de elasticidade do

meio material que vão

definir a velocidade em

que a onda mecânica vai

se propagar. Essa

elasticidade do

do que em gases. A

temperatura em que o

meio se encontra também

interfere na

velocidade do som.

Quando se solta uma barra

verticalmente, pode-se ver

que essa barra “pula”

ao atingir o solo, ou seja,

quando ela é solta e se

choca contra o piso, ocorre

um pulso

de compressão em sua

parte inferior. Como o

pulso se propaga pela

barra acaba

atingindo sua parte

superior, e assim é

refletido, retornando à sua

parte inferior.

Quando esse pulso atinge a

parte inferior da barra,

acaba que restaurando a

forma

original dela, por isso, ela

exerce uma força sobre o

piso. Então o piso acaba

exercendo uma força sobre

a barra, fazendo assim a

barra saltar para cima

Estudando o comportamento da voltagem em circuitos RC e RL, quando alimentados

com uma fonte de onda quadrada, pôde-se observar que o capacitor e o indutor têm

comportamentos opostos quando um transiente positivo de tensão é aplicado. A voltagem no

capacitor (inicialmente descarregado) inicialmente é zero e vai aumentando à medida que o

tempo passa, enquanto que a voltagem no indutor começa com o valor máximo e vai caindo

à medida que o tempo passa. A taxa com que a voltagem (ou a corrente) varia em cada

circuito depende da constante de tempo do circuito. O estudo a seguir refere-se ao que se

passa quando colocamos um resistor, um capacitor e um indutor em série em um circuito

como o mostrado na Figura 1 abaixo.

d q

h ( t )

dt

= r q

h

( t )

e:

d

2

q

h ( t )

d t

2

= r

2

q

h

( t )

Assim, para que a equação diferencial descrita na Equação 5 seja satisfeita devemos

ter:

r

2

• 2 αr + ω

o

2

Onde:

α =

R

2 L

e

ω

o

√

LC

Resolvendo a Equação 9 encontramos parar os seguintes valores:

r

1

=− α −

√

α

2

− ω

o

2

r

2

=+ α − √

α

2

− ω

o

2

Temos, com isso, três regimes diferentes de soluções:

a) Regime supercrítico: neste caso > 0

e a solução corresponde à soma de duas

exponenciais que decaem com o tempo.

b) Regime crítico : neste caso = 0

e a solução corresponde à soma de uma exponencial que

decai com o tempo (t) e uma função linear em t.

c) Regime subcrítico: neste caso < 0

, as raízes r1 e r2 são complexas, a solução

corresponde a oscilações amortecidas. Para o caso subcrítico podemos escrever a solução

geral da Equação 2 como:

q ( t )= CV

B

• e

− αt

(

c

1

e

j ω

'

t

• c

2

e

− j ω

'

t

)

com j = √

e:

ω ' = √

ω

o

2

− α

2

Apenas no regime subcrítico oscilações são observadas no sistema. Na Equação 14 o

termo CV B

corresponde ao valor da carga para um tempo muito grande e, portanto, podemos

associá-lo à carga máxima que o capacitor pode acumular. As constantes c1 e c2 são

determinadas a partir das condições iniciais do problema (t=0), por exemplo, q (t=0)= 0 e i(t

=0) = 0. Para t ⟶ ∞ , podemos escrever q = CVB. Tomando a parte real da Equação 14 e

substituindo as condições iniciais, a solução da equação diferencial pode ser escrita como:

q ( t )= CV

B

[ 1 − e

− αt

cos ( ω

'

t ) ].

Como a voltagem V C

no capacitor é proporcional à carga, podemos escrever:

V

C

t

= V

B

[ 1 − e

− αt

cos

( ω

'

t

) ].

A Equação 16 nos mostra que a carga no capacitor é composta de duas partes. Uma

parte oscilante, que é chamada de transiente (ou transitório), cuja frequência f’ = ω’/2 é

aproximadamente a frequência de ressonância do circuito, que é modulada por uma função

exponencial decrescente, que tende a zero. A outra parte é fixa, que é a carga que o capacitor

terá após cessado o efeito do transiente. Novamente, para observarmos as oscilações no

regime subcrítico devemos usar um gerador de sinais, que ao invés de gerar uma voltagem

no circuito variando de 0V a V B

, como assumimos em toda a discussão do problema, gera

uma onda quadrada com amplitude variando de –V 0

a V

0

. O efeito dessa mudança altera a

condição inicial do problema. A nova condição inicial para a carga do capacitor quando o

circuito é chaveado para a posição “B” passa a ser q(t =0) = - CV 0

e não “zero”, como

assumimos na discussão anterior. Isto faz com que a solução descrita pelas Equações 16 e 17

seja modificada para:

q

t

= CV

0

[ 1 − 2 e

− αt

cos

( ω

'

t

) ] ,

e

V

C

( t ) = V

0

[ 1 − e

− αt

cos ( ω

'

t ) ].

Assim a parcela da carga total que oscila no tempo, nos pontos de máximo ou

mínimo da função “cosseno”, é dada em módulo por:

q

oscilante

( t )= q

0

e

− α t

n

onde q o

=2CV

0

e os instantes de tempo t n

são aqueles que fazem cos( ω’t n

)= 1, ou seja:

t

n

= n

T

'

, n =

com:

T

'

2 π

ω

'

T’ é o período das oscilações da voltagem no capacitor. Assim, para os instantes de tempo

tn, podemos escrever:

𝐂

𝛂𝐭 𝐧

com ΔV = 2Vo.

b) Selecionou-se um gerador de tensão pulsada e executou o simulador para um tempo de

3ms, suficiente para um semiperíodo com cerca de 10 picos de amplitude de oscilação

de tensão no capacitor, maiores que 5V.

c) Com a função osciloscópio clicou-se no ramo do gerador até o terra, sendo apresentado

pelo simulador a tensão no gerador.

d) Posteriormente mediu-se com o osciloscópio sobre o ramo do capacitor até o terra,

sendo apresentado as curvas de carga e descarga do capacitor.

e) Foram exportados os dados e, a partir deles, construído um gráfico em escala linear da

tensão no capacitor, V C,

em função do tempo, t, e comparado se o comportamento obtido

corresponde ao previsto pela Equação 19.

f) A partir do gráfico II.1.e, construiu-se um gráfico em escala linear dos módulos das

amplitudes máximas em função dos respectivos t n

, e verificado se o comportamento está

de acordo com a Equação 23. Foi determinado o valor da constante  da Equação 23, e

comparado com o valor da constante de amortecimento, , obtido pela Equação 10 com

valores de R, L e C dados a partir das características dos componentes.

g) A partir do gráfico obtido no item II.1.e, determinou-se o período de oscilação, T, da

curva de tensão do capacitor em função do tempo. E a partir deste valor determinou-se a

frequência angular,  =2/T(rad/s), comparando com o valor previsto pela Equação 15.

h) Determinou-se o valor da oscilação natural do circuito  o

pela Equação 11, utilizando

os valores de R, L e C para o regime subcrítico.

i) Comparou-se os valores das frequências de oscilação obtidos nos itens II.1.g e II.1.h;

II.2 – Transição do regime subcrítico para o crítico

a) Utilizando o mesmo circuito da Figura 2, migrando o circuito de um regime subcrítico

para o regime critico de amortecimento, foram reajustados os valores de resistência para

as seguintes condições, α = ω

o

/4, α = ω

o

/2 e α = ω

o

.

b) A partir dos dados exportados do simulador LTSpice, das reconfigurações, construiu-se

um gráfico das respectivas curvas, e discutidos os comportamentos no item III.2 deste.

II.3 – Transição do regime subcrítico para o supercrítico

a) Utilizando o mesmo circuito da Figura 2, migrando o circuito de um regime subcrítico

para o regime supercrítico de amortecimento, sendo reajustado o valor de resistência

para a seguinte condição, α = 2ω o

.

b) A partir dos dados exportados do simulador LTSpice, construiu-se um gráfico da

respectiva curva, e discutido o comportamento da tensão no capacitor no item III.3 deste

relatório para os regimes crítico (α=ω o

) e supercrítico (α =2ω o