Baixe cap.3 - AS FUNÇÕES CIRCULARES e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
,tw
#nxsxmffimw
mürmulmrms
senx = ÕM"
t
J
INTRODUCAO
Atéo momento,operamoscom os númêrossênx, cosx etg x notriàngulo retàngulq on-
de x rêprêsentaa mêdida de um ânguloagudo
Ìúaso que ocorrerá se x Íor a medidade um ângulomaioÍ
que
90o?
lÌira respondeíaesta
peígunta, precisamos nos libertardotriângulo
íetânguloe amp ar
as noçõesdê sen x, cos x ê tg x paraos casosem quê
x rêpresentâã medidaãe um ângulo
maiorque 90o,isto e, um ânguloobtuso
Esteé o estudoquê desenvolveíêmos nestecapítulo.
, ,Considêremos
o ciclotrigonométrico.noqualmarcamos
o pontoÌú.queéimagem, noci_
clo.do nümerorealx. conÍormeindicaa tiguía.
(
o
M'
Consj*)remos
tambémo arcoÀMao
qualcorresponde
o ângulo
centralx.
SejâOMo raiodociclo,
e M"êM'asprojeçõêsdo
ponto
lvlnosêixos
y
e x,rêspectivamente.
DeÍinimoscomo
seno
(doarco
ÂN,loudoângulox)aordenadâ
dopontoM,ê indicamosi
ESTUDO DAFUNCAO SENO
ondeOM" é a ordenada do oontoM.
Ì Observe queestadeÍinição coincide com a queconhecíamos paíaotriângulorelângulo, isto é, no triânguìoíetânguloOM'M temos: senx=g o[,4'..senx=oM' oMl Obsêrvaçãoimpodânte: Estanovadêfiniçâotem a vantagem de ser aplicâdade uma formamaiscompleta, por_ queagorapodêmos falaremsenodeângulos maiorês que90'ou360o e atédê ânguloscom medidasnegativas. b) ValoÌesimportantesde sen x Ìúarcândoos pontosM, ìmâgens dos númêrosreaisq
VamosrcsolvêralgunsexemPlos. l9 exemplo:Calcularsen
Resolução:Vamoscalculara 1?determinação positiva: 45oo 3600 +450ô=9oo+ 1 3600
Entáo: sên 450o = sen 90o = 1 Resposta: 1 29 éxemplo: Calcularsen
Ë
.
Besolução:Vamoscalculara 19detêrminação positiva: .T
Y1 ô,- lÂm^e. 19r ==+ =+ l9L = 11 *sì .' \o I senË = sen á 1^ -L !a.r- -3--- .Ã sen 60o = r+ Í 4500
Aesposta:
$
2r
Estaconclusão
podêserobtidaa partirdociclotrigonométricoondemarcamoso arcox.
"
M"
o
senx
sen{x + 2Í)
sen(x + 4r)
oM"
õti,,
T
sen
(x + 2kÍ) = OM"
ffi
comt Jz
_
Quandosomamos
2kr âo ârcox, estamosobtendosempreo mesmovalorparao seno
(OM');portanto, â funçãosenoé periódicade pêríodo
2Í, isto é:
senx = sen(x + 2kÍ)
k€Z
. AÍunçáoy:
senxé ímpar.
Vejamosalgunsexemplos.
exêmplo:
Construiío gráficoda funçáoy = 2 senx, dandoodomíniqa imageme o período.
Resolução:Tabelandoa Íunçãq
temos:
:ia:::l:li;i:
Observandoo gráficqtemos:D = IR
tm= l-2,
p=2Ì
29exêmplo:C,onstruirográficodafunçãoy= 2 + senx,dandoodomÍniqaimagemêopêríodo
Resolução:Tabelando a função,temos:
l
I
Ì3L
z
39exemplo:Construiro gráficoda Íunçãoy = sen2x,dândoo domíniqa imagem e o período
Resolução:Ìabelandoa funçãq têmos:
Observandoo gráfico,temos:D = lR
Observandoo gráfico,temos:D = ÌR
oxemplo:Construiro gráficoda funçãoy
o penooo.
Resolução:Tabelando a Íunçãq temos:
2rN
rm= I1,
3l
lm=11, 11
p=Í
sen(x +
I ) , dandoo
dominio, a imaoeme
t-\
Obsêrvandoo gíáficq temos:D = ìR
rm= [0,1]
i. ,:. :.
69èxomplo:Determinar
k paíaqueexista o aÍcoquesatistgza iguatdade senx = 2k _ 5. ResoluçâoiDevemos ter: - 1 < sônx < t substituindo. temos:
Fespostaj S = Ík(Rl < k < 3ì
€xêmplo:S6jaa íunçãorealde variável realdeÍinidapor f(4 = 3 + 2 sen x. a)Quala imagêmde f? b)A Íunçãof é par ou ímpaf Justlficar. Besolução:a) Sabemos que a imagêrn da funçãosenoé o intervalo
I_ 1,
.11,
togo: 1 < sênx < 1 + - 2 < 2senx < 2 3_2<3+2senx<3+ 1<Í(x)<s
Fonantq
lm{l) = [1,5] b)Í(x)= 3 + 2senx f(x)= 3 + 2sen(-x) = 3 - 2senx ..f(x)# (-x) n6mpar, nemímpar
1< 2!_ isa
'
De(1)2k
Del?2k-S>
2k<5+ 2k> -1 +s 2k < 6 2k>
t ,.;. Í k< k> Naretareal:
t
1n(2)
2<k<
3ô
l- EXERCICIOSDEAPRENDIZAGEM I Construa o gráfico das seguintesfurções, no ìntervalo [0, 2Í[, dando o dominiq a imagem e o periodo: a)v:3senx
c)v:
b)y=2-senx d)y: 2 Construa o gráfico da função i I0, 2Íl
IR definidapor y = 2 + seÍx + lsenx l. 3 Con(Lruao sráÍicodasfunçóes a següir.no in- tervaìo [0,2Í[, e dê o domíniq a suaimageme o período: arv=lql b)y=senlx+=!l 4 Detemin€o pedododasfunções: 5 Deúermineo dominio dâs funções: , -L 3 se"í--+ì ) ."" L
4
a)v =
< < 211 ó {PUC SP) Derermine}..de modo qüese{veri -)!l- llque send = i:-ì: , 7 Determineos valorcsdeb quetornam possív€is as igualdades:
a)sen"=
-f, senao.e
b) seno = 7b 20, sendoo < 180ï. a)y:sen8x c)Y b) y : 5sen10x d) y
= senf
= "r( -'+) 8 Calculek pâmqueexisrao ârcoque(aÌisfa.za iguâldade senx
k, k + l. 9 Dada a função f(x) = 7 sen(3x),rcsponda: a) Qual a imagem de fl b) A funçãofé par ou impar?Justifique ESTUDODAFUNCÃOCO-SENO a) Delinição C,onsideremoso ciclotrigonométíicono quâlmârca- mos o ponÌolú, que é imagem,nocìclq do númêrorêax, conformêindicaa f igura.Consideremostambémo ârcoAM ao qual correspondeo ângulocentralx. (
o
Selâõfii o raiodocicloe M" o l\4'as projeções do pontoM noseixosy e x, respectivamênte. Dêfinimos como co-seno (do arcoAM ou do ângutox) â abscissa do ponlo Àr,ê indrca.
mos:
ondeOl\4'éa abscissado pontoM.
Obsêrvê queestadeÍinição coincidecom a queconhecíamospaíao triânguloretângulo, isto é, no triânguloretângulo OM'Mtemos. ôr\i' cosx = ll = -:::lL = Ol\4'..cosx = OM oM
EXERCICIOSDEAPRENDIZAGEM
&etermine
o valor de:
a) cos450o
b) cos( 900")
c) cos I 620"
@FEIsP)
calcuteo valord€
)
=
lsen; I
ícos3i Í)
€/F_uresr
SP)QualdosnúÌnem, é o naior? Ju-
a) sen830'ou ser 1 195.
b) cos(- 535') ou cos 190"
I
/ì
gòendo x =
-.
caicute:
cosr\ + co!
Ì-
d) cos6Í
e) cos 11Í
.,.""
@alcule
A, sabendo
que
".,+
c) GíáÍico
Vamos estudaravaíiâçàodafunçáocosx.comx variando nointêrvâlo
[0.
istoé.o pon-
to l\4partedo pontoA ê se movimenta sobreo ciclo no sentidoanti-horário
O Oráficoda funçãoco-sênoé chamadoco-senóide.
O gráficocontinuaà direitade 2Í e à êsquerda
de 0 (zero).
Analisândoo gráÍicq podemosconstruiro quadío:
Observandoo gráficq concluímosque:
. o domÍnloda funçáocos x é o conjuntodos númêrosrêâis,isto é, D = lR. . a imagemda funçãocos x é o intervalo
[- 1, +1],
isto
é
1 < cos x < í.
. o pêríodo
da funçãocoseno é iguala 2Í, isto é:
cosx = cos(x + 2kÍ)
k<z
.AÍunçãoy = cosxépar.
co$
x = cos( xl
.
't
,:..--
Vêiamosalgunsexemplos.
19exemplo: C,onstruiro
gráficodaÍunçãoy= 3 cosx, dandoodomínio, a imagemeo período
Besolução:Tabelandoa funçãq lêmos:
Í
D=R
29 exemplo:ConstÍuiío OráÍicodâ Íunção,
rm= [-3,3l
P=2'(
cos
ã,
dando o domíniq a imagem e o
pêríodo
Besolução:
D=R rm=
[-1, 1l
Observaçáo:
O período
da
funçáoy= a
coskx é dadoporp =
b)Valoresimportantes
dgt9 x
Vêjamosalgunsexêmplos:
19exemplo:Deteíminar o vâlordê tg 1
g45o
r
L
J6o:
1845o=45ó r 3600
ols ls
Então:
t9 1845"
= t945" = 1
exemplo:Detêrminaí o valorde tg 25
Fazenoo:
25+=24++.f=e"+
Então:
ts25+= ts+ =rg
EXERCÍCIOS DEAPRENDIZAGEM
I Determine o .âlorde:
a) tg 900. b) ts(
d)ts(-1035ï e)ts Í
0,r+
2 Determineo valoÍ da expressão:
, -
-.(-l )-,'e,,
-.-(-
3 Acheo valor numéricoda expressão
sen
(30o
x _ 60.
tc (r t5")
para x = 600.
4 Determine m, fara que
f
se.iaraizda equa
ção:tg2x
m cosrx+ sen2x
c) GÉfico
VamosesÌudara variação
da Íunçãolg x,com
xvâ andono ìntêrvalo
[0,2Í],
istoe,o pon-
to M partedo pontoA e se movimenta
sobreo ciclo no senlidoânti_horáíio
'r
5d
|
t 7rl
i
--i-,'
tgx
I
ii
TI
nOentólde
O gráficoda funçâotangenieé chamadotangentóide.
O gráficoda funçãotangente
continuaà direitade 2Í e à esquerda
de 0 (zêro).
Analisando
o gráfico,podemosconstruiío quadro:
Observândo
o gráfìcq concluÍmos
que:
. o domínio
da funçáo
y = tgxéD
[x€lR
x t+
. a imagemda Íunção y = t9 x é o intervaloI -@, +@
[, isto é, -ó
< tg x < +-
.. o período
da função
y = tgxéP = Í
Estaconclusão
podeseaobtida,também,a panir do ciclo trigonométíicoondemarca_
mos o arcox.
tg (x + 2,r)
tg(x + kÍ) = AT comkc
AT
Ãi
ÃÍ
z
tg (x + k?r)= tgx
tg
í.^
,i
t,r'
v
o
k<z
4Í)
ESTUDODA FUNCAOCO-TANGENTE
a) Deíinlção
Considere
b ciclotrigonométricoda íigurae seiaC a intersecçáoda retaôú com
o eixodas
co"tangenles,
(
c
!
-Detinimos
comoco.tangente
1do
arcoÁü oudoângulox)a medidaalgébricadosegmên-
to BC,e indicamoscotgx = BC.
Observêos triângulos
rêtângulosOf,'Me OBC:
ÀoM'M- ÁOBC
:g-
= I
porconstruÇão
OM = lV'M,entáo
BC OB
OM-'-
õM" cosx senx
BCOBBCl
= cotg x onde sen x I 0, isto é, x. kÍ.
Podêmosêscrêvertambém
cotox=
"jt
'l
tgx
coÌgx
f
cos x
b) GÍáíico
VamosêsÌudâravariaçâoda funçãocoìangente,
com x
ê o pontoN/|
pârtedo pontoA e se movimenlasobreo ciclo
variandono intêrvalo
[0,2Í], isto
no sêntidoanti-horário.
colg,lY
coìangenìóide
7- O gráficoda funçãoco-tangentê é chamado co.tanogntóide O gráÍicoda funçãoco-tangentêcontinuaà direitadÌe2Í ê à esquêrda de O{zero). Analisando o gráÍicq podemos construiro euadro:
Observando
o gráficqconcluimosque: . o domÍnio dafunçâo y = cotgxé D = Íx (tR lx r kÍcom k ( ZÌ. . a imagêm dafunçãoy = cotgx é o intervalo I - ó, + @ [, istoé,_ r < cotgx <
ó
. O pêríodo
da funçãoy = cotgxéigualaÍ. r
cotgx
cotg(x + 2) cotg(x + 2Í) cotgE + kÍ) comk<z
EE . lsto e,
,k<z
. A funçãoy = cotgx
é ímpar,isto é: cotg x = -cotg( x) l: rtriÈ{dÉüt:: 46
ESTUDODASFUNÇOES:SEçANTE ECO-SECANTE ---' Consideíeo ciclo tíigonométrico da íigura. '| I i Í\
-i
i l I l ì I t i , I 1 D
( \
o
M'^J
s
I Trâçândo umaretatangenteàcircunferência pelopontoM,intêrceptamos o eixooasaos- cìssasno pontoS e o eixodâs ordenadasno ponto D Da Íigura.deÍinimossec x : OS e cosecx = OD- Utilizandoa semeìhançadê tíiângulos, podemos obter:
comcosx+
DeacordocomêstasÍórmulas,
comsênxl podemos estabelêcer o quadro:
Vejamosalgunsexemplos.
exemplo:Qualé o domínioda funçãoy = Resoluçào:A condiçãodê existência é: x - uat: x-* +* +k" D=[x(Rlx/Í+kir]
sec
[x
]l?
$ +$ +x". Re€posta:
29exempfo:
Calcularm, de modoquesecd = n-
2ed|-)+'2Íl
Resolução:Dêvêmos
ter sec o > 1,
logo:
m 2>1+m>
Besposfai
S=[m(Rìm>3]
39exemplol
Calcularo valorde cosec(
Resolução:
I
l-
10350=315Ó+
1035o= -3150+
Como 315o= 45o
3600,temos:
cosec(
= cosêc4so=s#t-
Resposta: \
.,t2 .,t
-T
EXERCÍCIOS
DEAPRENDIZAGEM
l
i
l,balcule o valor
de:
a) sec540'
b) sec900"
c)sec( 1410")
!2ìCalcule
o valor
de:
a) cosec
810'
b) cosec
1 800'
c) cosec
I 470'
3 DeteÌmine
o domínio das
funções:
")"=*"(-r+)
b)y=5...(,,,+)
c)y=sec(+
+)
arv=""(i-rm")
d) sec11Í
,9r
€, sec
4
^
25Í
d) cosec
13Í
e) cosec
i!
n cosec
4 Det€rmineo dominiodasseguintes
funções:
")y=**"(".+)
b)y=-".(3.-+)
c) y = cosec
(x 60')
5 CalcuÌem, de modo
que:
2m
l
-ì'
m
lz
b)coseco=rÌr+4m+1ed€
+l
.,,
+]
