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Revisão sobre a teoria da camada limite desenvolvida pelo escoamento de um fluido newtoniano incompressível paralelamente a uma placa sana
Tipologia: Notas de estudo
1 / 8
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Seja o escoamento isotérmico de um fluido newtoniano incompressível paralelamente a
uma placa plana, posicionada horizontalmente, de comprimento L e largura W. Utilizando-se
as equações da continuidade e do movimento é possível obter informações sobre esse
escoamento, que é o ponto de partida para o estudo da camada limite hidrodinâmica
desenvolvida sobre a placa.
Define-se como camada limite hidrodinâmica o lugar geométrico do espaço no qual
ocorrem modificações no vetor velocidade do fluido. Na Figura 1 é apresentada uma vista
esquemática do escoamento, na qual δ(x) é a espessura da camada limite, x e y são,
respectivamente, as coordenadas horizontal e vertical. Deve-se observar que fora da camada
limite o escoamento é uniforme, pois fluido escoa como se fosse um fluido invíscito
(viscosidade nula).
y
x
δ(x)
v∞
Figura 1 – Vista esquemática do escoamento de um fluido newtoniano paralelamente à placa
plana.
Para a resolução do problema é necessária a adoção de hipóteses simplificadoras. Sejam
as seguintes hipóteses
Percebe-se que se a placa tiver profundidade muito grande vz = 0, o que leva a:
A equação da continuidade deve ser utilizada para fornecer informações úteis a respeito
do perfil de velocidades.
t
+∇ρ = ∂
∂ρ v.
2 z
z
2
2
z
2
2
z
2 z z
z y
z x
z g z
v
y
v
x
v
z
z
v v y
v v x
v v t
v ⎥+ρ ⎦
+μ ∂
ρ
Aplicando as hipóteses consideradas e definindo a pressão piezométrica como sendo
ξ = P + ρgy , obtêm-se os seguintes resultados:
+μ ∂
∂ξ ⎥=− ⎦
ρ 2 x
2
2
x
2 x y
x x y
v
x
v
y x
v v x
v v , (2)
+μ ∂
∂ξ ⎥=− ⎦
ρ (^2)
y
2
2
y
2 y y
y x y
v
x
v
y y
v v x
v v , (3)
z
∂ξ
. (4)
Considerando agora as seguintes simplificações:
∂ξ .
x
2
x
v
∂
μ é desprezível face à convectiva x
v v
x x ∂
ρ ;
y
2
y
v
μ é desprezível face à convectiva y
v v
y y ∂
ρ ;
obtém-se nas equações (2) e (3)
2
x
2 x y
x x y
v
x
y
v v x
v v ∂
+ν ∂
∂ξ
ρ
2
y
2 y y
y x x
v
y
v v x
v v ∂
=ν ∂
em que ν = μ / ρ é a difusividade de quantidade de movimento ou viscosidade cinemática.
Como, por simplificação, ξ só varia com x, pode-se calcular tal dependência funcional
fora da camada limite (y variável) e o resultado será válido para o interior da camada limite.
Fora da camada limite os efeitos viscosos são desprezíveis (escoamento invíscito) e pode-se
utilizar a equação de Bernoulli para fluidos ideais:
gdx v dv 0
dP
e tem-se
dx
dv v dx
d (^) ∞ =−ρ ∞
ξ
. (7)
Como o ângulo de incidência do fluido à placa é nulo, v∞ é uma constante e tem-se 0 dx
ξ .
Assim, o seguinte sistema de equações diferenciais parciais descreve a camada limite
hidrodinâmica formada sobre uma placa plana:
2
x
2 x y
x x y
v
y
v v x
v v ∂
=ν ∂
2
y
2 y y
y x x
v
y
v v x
v v ∂
=ν ∂
y
v
x
∂
Admitindo finalmente que a Eq. (9) envolve valores muito menores que os da Eq. (8),
pode-se desprezá-la na solução do problema. Nessas condições o sistema a ser resolvido será
2
x
2 x y
x x y
v
y
v v x
v v ∂
=ν ∂
y
v
x
∂
Para que o problema seja matematicamente bem posto são necessárias duas condições
de contorno de vx em relação à y e uma de vx em relação à x ou vy em relação a y. Isso é
possível graças à Equação (12), que permite eliminar a condição de contorno em vy com
relação à y. Assim, podem ser relacionadas as seguintes condições de contorno:
v (^) x ( x,y= 0 ) = 0 ,
a placa (v∞) ,
v (^) x ( x,y→ ∞) =v∞
igual a v∞
v (^) x ( x= 0 ,y) =v∞ ou v (^) y ( x,y= 0 ) = 0
( ) ( ) 0 0 d
df v (^) x x,y 0 0 = η
( ) ( ) 2 d
df v (^) x x,y v ∞ = η
v (^) y ( x,y= 0 ) = 0 ⇔ f( ) 0 = 0.
A solução do problema da camada limite sobre placa plana, Equação (18) é resolvida
utilizando série de potências em torno do ponto η = 0, isto é, considerando a seguinte equação
para f:
( ) (^) ∑
∞
=
η = η i 0
i f ai , i=0,1,2,...
O resultado é obtido utilizando-se o Teorema de Frobenius e é dado na Tabela 1 e Figura 2.
As conclusões mais significativas do trabalho de Blasius são as seguintes:
i. Espessura da camada limete, δ(x), obtida da Tabela 1 para η = 2,5 (quando vx / v∞ = 0,99)
( ) ∞
ν δ = v
x x 5 (19)
ii. Gradiente de velocidade na superfície da placa
x
v 0 , 332 v d
df
x
v
4
v
y
v
0
2
2
y 0
x
ν
ν η
∞ η=
∞ ∞
=
iii. Tensão cisalhante na placa
x
v 0 , 332 v y
v
y 0
x
ν
= μ ∂
τ =μ ∞ ∞
=
iv. Coeficiente local de atrito do fluido sobre a placa
2
ox x
2
ox x y 0 v
Co 2
v Co A
∞
∞
= ρ
τ ∴ =
ρ =τ =
ν
v∞ x , Re Re
Co (^) x x
x (22)
v. Coeficiente médio de atrito do fluido sobre a placa
ν
∞ ∫
Lv , Re Re
Codx L
Co
L
0 x^
vx/v∞
Teoria de Blasius
Tabela 1 - Solução de Blasius para a camada limite sobre placa plana
Figura 2 – Distribuição de velocidades em uma camada limite laminar desenvolvida sobre
uma placa plana
x
v 2
y ν
η = ∞
η ν
=
y v∞
2 x
df
dη
v
v
x
d f
d
η
0,0 0,0000 0,0000 1, 0,2 0,2655 0,1328 1, 0,4 0,5294 0,2647 1, 0,6 0,7876 0,3938 1, 0,8 1,0336 0,5168 1, 1,0 1,2596 0,6298 1, 1,2 1,4580 0,7290 0, 1,4 1,6230 0,8115 0, 1,6 1,7522 0,8761 0, 1,8 1,8466 0,9233 0, 2,0 1,9110 0,9555 0, 2,2 1,9518 0,9759 0, 2,4 1,9756 0,9878 0, 2,6 1,9885 0,9943 0, 2,8 1,9950 0,9962 0, 3,0 1,9980 0,9990 0, 3,2 1,9992 0,9996 0, 3,4 1,9998 0,9999 0, 3,6 1,9999 1,0000 0, 3,8 2,0000 1,0000 0, 4,0 2,0000 1,0000 0, 5,0 2,0000 1,0000 0,
