callen resumo com exercicios, Exercícios de Física

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Resumo do Callen com os exercícios resolvidos

LSF Olavo

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• 1 O Problema e os postulados Introduction ix
  • 1.1 Segunda Aula: 19/03/2008
    • 1.1.1 Definição Quantitativa de Calor:
    • 1.1.2 Medida da energia:
    • 1.1.3 O problema básico da termodinâmica:
    • 1.1.4 A entropia e os postulados de maximização:
  • 1.2 Exercícios do Capítulo:
• 2 As Condições do Equilíbrio
  • 2.1 Terceira Aula: 24/03/2008
    • 2.1.1 Parâmetros Intensivos:
    • 2.1.2 Equações de Estado:
    • 2.1.3 Parâmetros Entrópicos Intensivos:
    • 2.1.4 Equilíbrio Térmico e Conceito Intuitivo de Temperatura:
    • 2.1.5 Unidades de temperatura:
  • 2.2 Quarta aula: 26/03/2008
    • 2.2.1 Equilíbrio Mecânico:
    • 2.2.2 Equilíbrio com relação ao fluxo de matéria:
  • 2.3 Exercícios do Capítulo:
• 3 Relações Formais e Sistemas Exemplares
  • 3.1 Quinta Aula: (02/04/2008)
    • 3.1.1 A equação de Euler:
    • 3.1.2 A relação de Gibbs-Duhem:
    • 3.1.3 Sumário da Estrutura Formal:
    • 3.1.4 O Gás Simples Ideal:
  • 3.2 Sexta Aula: (07/04/2008)
    • 3.2.1 O fluido ideal de Van der Waals:
    • 3.2.2 Radiação Eletromagnética:
    • 3.2.3 A barra de borracha:
    • 3.2.4 Sistemas Magnéticos:
    • 3.2.5 Segundas derivadas e propriedades materiais:
  • 3.3 Exercícios do Capítulo: iv CONTENTS
• 4 Processos Reversíveis e o Teor. do Trab. Máx.
  • 4.1 Sétima Aula (16/04/2008):
    • 4.1.1 Processos possíveis e processos impossíveis:
    • 4.1.2 Processos quase-estáticos e reversíveis:
    • 4.1.3 Tempos de relaxação e irreversibilidade:
    • 4.1.4 Fluxo de calor: sistemas acoplados e reversão de processos:
  • 4.2 Oitava Aula: (23/04/2008):
    • 4.2.1 O teorema do trabalho máximo:
    • 4.2.2 Coeficientes de máquina, refrigerador e bombeador de calor:
    • 4.2.3 O ciclo de Carnot:
  • 4.3 Exercícios do capítulo:
• 5 Formulações alternativas
  • 5.1 Nona Aula (30/04/2008):
    • 5.1.1 O Princípio de mínima energia:
    • 5.1.2 Transformações de Legendre:
  • 5.2 Décima Aula (05/05/2008):
    • 5.2.1 Os Potenciais Termodinâmicos:
  • 5.3 Exercícios do Capítulo:
• 6 Princípios Extremos Transformados:
  • 6.1 Décima Primeira Aula (07/05/2008):
    • 6.1.1 Os princípios de minimização para os potenciais:
    • 6.1.2 O Potencial de Helmholtz:
    • 6.1.3 A Entalpia:
    • 6.1.4 O Potencial de Gibbs:
• 7 As Relações de Maxwell:
  • 7.1 Décima Terceira Aula (09/06/2008):
    • 7.1.1 As Relações de Maxwell:
    • 7.1.2 Diagrama Termodinâmico:
  • 7.2 Exercícios do capítulo:
• 8 Estabilidade de Sistemas Termodinâmicos:
  • 8.1 Décima Quarta Aula (18/06/2008):
    • 8.1.1 Estabilidade intrínseca de sistemas termodinâmicos:
    • 8.1.2 Condições de estabilidade para potenciais termodinâmicos:
    • 8.1.3 Conseqüências físicas da estabilidade:
    • 8.1.4 O princípio de Le Chatelier:
    • 8.1.5 O princípio de Le Chatelier-Braun:
• 9 Transições de Fase de Primeira Ordem: CONTENTS v
  • 9.1 Décima Quinta Aula (23/06/2008):
    • 9.1.1 Sistemas de uma componente:
    • 9.1.2 A descontinuidade na entropia:
    • 9.1.3 A declividade das curvas de coexistência:
  • 9.2 Décima Sexta Aula (25/06/2008):
    • 9.2.1 Isotermas instáveis e transições de primeira ordem:

Preface

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viii PREFACE

x INTRODUCTION

Chapter 1

O Problema e os postulados

1.1 Segunda Aula: 19/03/

1.1.1 Definição Quantitativa de Calor:

Desejamos agora introduzir uma definição quantitativa de calor, assim como estabelecer suas unidades. Para tanto, intuitivamente, podemos dizer que o calor (produzido ou absorvido) por um sistema termodinamicamente simples é, sem que varie o número de moles, todo tipo de energia que não pode ser escrita em termos do trabalho mecânico realizado pelo sistema ou sobre o sistema. Assim, temos

ñQ = dU − ñWM. (1.1)

Vale ressaltar, entretanto, dois pontos:

• Esta expressão vale para diferenciais não-exatas para o calor e para o trabalho (Q e WM ). Entretanto, a energia é uma diferencial exata. Isto implica que os valores de variação de Q e WM são dependentes do processo particular que se está considerando, enquanto que o valor de variação da energia interna U é independente das particularidades do processo.
• Note que esta expressão deve valer apenas para situações em que não haja variação do número de moles. Para os casos em que haja uma tal variação, deveremos incluir um outro termo na equação.

O trabalho mecânico pode ser escrito, como de costume, na forma τ = fdx, onde f é a força e x é o deslocamento. Entretanto, como já afirmamos, força e deslocamento não são variáveis termodinâmicas. Podemos passar para as variáveis termodinâmicas escrevendo

τ = −

f A

(Adx) ,

1.1. SEGUNDA AULA: 19/03/2008 3

2. Com a introdução do sistema mecânico que irá transformar energia mecânica em calor segundo a expressão

dP dt

ω V τ,

onde τ é o torque, temos que

dP =

ωτdt =

dθ dt

dt τ V

τ dθ

V

dU V

de modo que dU =

V dP.

Agora, sabemos que dU ≥ 0 , visto que τ e dθ têm o mesmo sinal. Assim, como V é sempre positivo, temos que dP ≥ 0 , indicando que o processo só pode se dar na direção de aumento da pressão. Para a situação particular em que o processo é realizado entre os pontos A e C (volume constante!), temos que (por integração direta)

UA − UC =

VA (PA − PC ) = 145. 3 J

e, da mesma forma,

UD − UB =

VB (PD − PB ) = 1162. 5 J

3. Fica claro, portanto, que podemos conectar dois pontos quaisquer no plano P V mostrado no livro bastando escolher uma curva isocórica (mesmo vol- ume) e outra curva pelo adiabat (Q = 0). Tais curvas vão se encontrar em algum ponto e prover um caminho termodinâmico para os dois es- tados (inicial e final). Por exemplo, para irmos do ponto A ao ponto D podemos usar, pelo processo adiabático, UB − UA = − 112. 5 J e, pelo processo isocórico, UD − UB = 1162. 5 J, como calculado previamente. As- sim, temos UD − UA = 1050J, etc.
4. No processo A → D devemos ter produção de calor (não é uma curva adiabat). Mas temos o valor de UD − UA, dado acima, bem como temos o valor do trabalho WAD (= WADB , visto que a parte DB não contribui devido ao volume constante). Assim,

UD − UA = WAD + QAD

e, portanto, QAD = 1750J, como no livro.

1.1.2 Medida da energia:

O problema anterior nos capacita dizer que podemos sempre controlar e medir a energia interna de um sistema termodinâmico.

4 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS

De fato, podemos controlar na medida em que sabemos existirem paredes que são impermeáveis à troca de calor (paredes adiabáticas), assim como aquelas que não são impermeáveis (paredes diatérmicas). Também sabemos existirem pareces que não permitem troca de calor nem trabalho (chamadas paredes re- stritivas à energia). Assim, controlando o uso destas paredes, podemos sempre controlar o fluxo de energia que entra ou sai de um sistema termodinâmico. Um sistema termodinâmico que, além de paredes restritivas com relação à energia, também é composto por paredes restritivas à troca de número de moles é dito termodinamicamente fechado. Entretanto, queremos também saber medir a energia. Ora, o exemplo feito na seção anterior indica como isso pode ser feito: basta que atrelemos nosso sistema a um sistema mecânico particular cuja energia sejamos capazes de medir. Assim, a variação de energia do sistema termodinâmico implicará na variação de energia do sistema mecânico, que mediremos. É interessante ressaltar, como visto no exemplo anterior em que alterações só poderiam ser feitas na ’direção’ dP ≥ 0 , que em geral as alterações termodinâmicas feitas por elementos externos só podem se dar em um sentido (mostrando o caráter irreversível de muitos fenômenos termodinâmicos).

1.1.3 O problema básico da termodinâmica:

Em termodinâmica, estamos interessados em saber qual o estado de equilíbrio que eventualmente resulta da retirada de certos vínculos internos a um sistema composto fechado. Clarificando: considere que temos dois sistemas termodinâmicos ’em con- tato’ (mas não necessariamente trocando energia, calor, trabalho, etc... isso irá depender dos vínculos – paredes – que compõem o sistema). Tais sistemas estão em equlíbrio na situação inicial. Entretanto, se retirarmos certos vínculos (eliminarmos uma parede, tornarmos uma parede permissiva à troca de calor, etc.) o sistema irá procurar uma outra configuração na qual estará novamente em equilíbrio. Esse novo estado (situação) é que queremos conhecer.

1.1.4 A entropia e os postulados de maximização:

Axiom 2 Do que foi dito anteriormente, podemos supor a existência de uma função, que chamaremos de entropia e que depende apenas das variáveis ter- modinâmicas extensivas do problema (S = S(U, V, N )) cujo máximo fornece a configuração de equilíbrio do sistema termodinâmico sob análise.

Essa suposição segue de perto a idéia cara à mecânica (à física em geral), de que princípios de maxi-minimização de certas funções (em geral a energia - minimização), implicam no conhecimento completo do sistema físico em questão. Assim, devemos ter S = S (U, V, N 1 , ..., Nr) (1.3) Assim, em uma dada situação X, em que certos vínculos vA, vB , ... es- tão ativos, temos uma entropia SX que é máxima em termos das variáveis

6 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS

e, se impomos que a entropia deve ser uma função monotonicamente crescente da energia, além de contínua e diferenciável, devemos ter ( ∂S ∂U

V,N 1 ,..,Nr

A inversão da expressão (1.3) para a obtenção da expressão (1.4) é partic- ularmente interessante, pois implica dizer que a maximização da entropia cor- responde a uma minimização da energia, que é, usualmente, como os princípios de minimização são introduzidos em física.

Axiom 4 O último postulado diz apenas que a entropia de qualquer sistema se anula para um estado no qual tenhamos

( ∂U ∂S

V,N 1 ,..,Nr

ou seja, no estado para o qual a temperatura é zero.

É importantíssimo salientar que a função S (U, V, {Ni}) ou, igualmente, a função U (S, V, {Ni}), fornecem todas as informações termodinâmicas relevantes para o sistema sob consideração.

1.2 Exercícios do Capítulo:

Exercise 5 (1.8-1) Considere a figura abaixo. Nela apresentamos o diagrama P-V do exemplo com o novo ponto para o qual queremos calcular a energia do sistema.

O ponto está sobre uma isocórica (mesmo volume) que parte do ponto D. Sabemos como calcular a energia sobre uma isocórica usando a relação

dU =

V dP,

1.2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 7

obtida da expressão mecânica

dP dt

ω V

τ.

Assim, temos que

UD − UE =

V (PD − PE )

e assim, usando o valor que já temos para UD = 1050J (ver exemplo), ficamos com

UE = 1050 −

8 × 10 −^3

105 − 0. 5 × 105

= 450J.

Exercise 6 (1.8-2) Para calcular o calor transferido ao sistema no processo no qual ele vai (por uma linha reta) do estado A ao estado E, temos que ini- cialmente identificar que tipo de relação a referida linha reta implica entre a pressão e o volume. Um ponto nesta linha reta é tal que

(P − PA) (V − VA)

10 −^3 − 8 × 10 −^3

ou seja P = 10^5 − 1. 3839285 × 107

V − 10 −^3

O trabalho realizado, portanto, para se ir do estado A ao estado E fica

WAE = −

∫ VE

VA

[

105 − 1. 3839285 × 107

V − 10 −^3

)]

dV = 360. 9375

A variação de energia foi (estamos supondo UA = 0, como no exemplo)

UE − UA = 450J

Agora UE − UA = WAE + QAE

e, portanto, 450 = − 360 .9375 + QAE

ou QAE = 89. 0625.

Exercise 7 (1.8-3) O processo agora refere-se à figura mostrada no texto, para a qual tem-se que U = 2. 5 P V + const.

com os valores do ponto A dados por PA = 0. 2 MP a e V = 0. 01 m^3. Deseja-se os valores de Q e W para cada um dos processos ali apresentados. (a) Inicialmente, tomemos o caminho (processo) A → B; A energia em A é dada por

UA = 2. 5 × 0. 2

× 0 .01 = 5000J + const.

1.2. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO: 9

ou ( V V 0

P

P 0

ou ainda

P 5 V 7 = P 05 V 07 = const.

Exercise 9 (1.8-5) Temos que

U = AP 2 V.

De modo similar ao problema anterior, sabemos que

dU = 2AV P dP + AP 2 dV = −P dV

de modo que

2 AV dP = − (1 + AP ) dV

implicando que

2 AdP 1 + AP

dV V

e assim

ln

1 + AP

1 + AP 0

= − ln

V

V 0

ou

(1 + AP ) 2 V = (1 + AP 0 ) 2 V 0 = const.

Exercise 10 (1.8-6) Temos que, a volume constante, a transferência de calor é dada por

Q′^ = A (P ′^ − P 0 ).

Também sabemos que a curva adiabática do sistema é dada por

P V γ^ = const.

Para encontrar U (P, V ) devemos nos lembrar que qualquer ponto no espaço PV pode ser alcançado através de uma curva adiabática e uma curva isocórica. Considere a figura abaixo, na qual indicamos o processo envolvido. Na primeira parte, o sistema realiza o processo (V 0 , P 0 ) → (V, P ) (onde não há realização de trabalho –caráter isocórico–e a variação de energia pode ser escrita como

U ′^ − U 0 = A (P ′^ − P 0 ). (1.6)

10 CHAPTER 1. O PROBLEMA E OS POSTULADOS

No processo tomado sobre a curva adiabática, temos

U − U ′^ = −

P dV = −P 0 V 0 γ

V −γ^ dV = −P 0 V 0 γ

V 1 −γ 1 − γ

V

V 0

(note que a integração é feita do valor do volume do estado inicial V 0 até o valor do volume final V , visto que o outro processo se dá por uma isocórica – e, portanto, o volume não pode mudar nesse outro caminho. A energia final é U , mas a inicial é U ′, o que fica claro pela figura anterior). Temos, portanto, que

U − U ′^ =

P 0 V 0 γ γ − 1

[

V 1 −γ^ − V 01 −γ

]

P V γ γ − 1

[

V 1 −γ^ − V 0 1 −γ

]

onde substituimos P 0 V 0 γ por P V γ^ por razões óbvias. Ficamos, então com

U − U ′^ =

P V

γ − 1

1 − rγ−^1

onde r = V/V 0. Note ainda que na expressão (1.6) temos que vale a relação

P V γ^ = P ′V 0 γ

uma vez que os pontos estão sobre a curva adiabática. Assim,

P ′^ = rγ^ P

e o resultado fica, somando-se os dois termos,

U − U 0 = A (rγ^ P − P 0 ) + [P V / (γ − 1)]

1 − rγ−^1

Exercise 11 (1.8-7) Temos dois moles de um sistema de uma única compo- nente que tem uma dependência da energia interna na pressão e no volume dados por U = AP V 2