Calculos de campos vetoriai, Notas de estudo de Cálculo Diferencial e Integral

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C á l c u l o

Ve t o r i a l

Luiz Henrique Silva

Engenheiro Eletricista (IFBA) e de Segurança do Trabalho (UNIBAHIA) Mestrado em Engenharia Elétrica (UFBA) Doutorando em Engenharia Elétrica (UFBA)

Campos Vetoriais

Objetivo da Aula de Hoje:

• (^) Campos Vetoriais;
• (^) Campos Gradiente;
• (^) Campos Rotacional;
• (^) Campos Divergente;

Campos Vetoriais

Introdução Campo vetorial forte Campo vetorial forte

Campos Vetoriais

Introdução Associado a cada ponto do ar, podemos imaginar um vetor velocidade do vento. Este é um exemplo de campo vetorial de velocidade. Outro tipo de campo vetorial, chamado campo de força , associa um vetor força a cada ponto da região. Um exemplo é o campo de força gravitacional.

Campos Vetoriais

Definição de campos bidimensionais Uma vez que F ( x , y ) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de suas funções componentes P e Q da seguinte forma: F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j =  P ( x , y ), Q ( x , y ) ou, de forma mais compacta, F = P i + Q j Observe que P e Q são funções escalares de duas variáveis e são chamadas, algumas vezes, campos escalares para distingui-los dos campos vetoriais.

Campos Vetoriais

Definição de campos Tridimensionais Um campo vetorial F em R 3 está ilustrado na Figura

Podemos escrevê-lo em termos das funções componentes P , Q e R como: F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k

Campos Vetoriais

Exemplo 1 (Exemplo Classe) – Esboce o campo vetorial em R^2 que é definido por

F ( x , y ) = – y i + x j.

Na Figura, parece que cada seta é tangente a um círculo com centro na origem.

Campos Vetoriais

Exemplo 2 (Exemplo Classe) – Encontre o campo vetorial gravitacional entre dois objetos com massas m e M.

F ( x , y,z ) = f(x,y,z) i + f(x,y,z) j + f(x,y,z) z.

O campo gravitacional F está ilustrado na Figura abaixo:

Campos Gradientes

Exemplo 3 (Exemplo Classe) – Determine o campo vetorial gradiente da função: f ( x , y ) = x 2 y – y 3 Desenhe o campo vetorial gradiente juntamente com um mapa de contorno de f. Como eles estão relacionados?

Campos Gradientes

Exemplo 3 (Exemplo Classe) – Observações:

• (^) Os vetores gradientes são perpendiculares às curvas de nível;
• (^) os vetores gradientes são mais longos onde as curvas de nível estão mais próximas umas das outras;
• (^) Os vetores gradientes são mais curtos quando elas estão mais distantes entre si (a proximidade das curvas de nível indicar uma grande inclinação no gráfico).

Campos Conservativos

Exemplo 4 (Exemplo Classe) – Prove que o campo gravitacional F é conservativo sabendo que a equação da força gravitacional é dada abaixo

Campos Conservativos

Exemplo 4 (Exemplo Classe) – Prove que o campo gravitacional F é conservativo sabendo que a equação da força gravitacional é dada abaixo

Rotacional

Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R 3 e as derivadas parciais de P , Q e R existem, então a rotacional de F é o campo vetorial em R 3 definido por Vamos reescrever a Equação 1 usando notação de operadores. Introduziremos o operador diferencial vetorial  (“del”) comodel”) como

Rotacional

Quando ele opera sobre uma função escalar, produz o gradiente de f : Se pensarmos em  como um vetor de componentes ∂/∂ x , ∂/∂ y e ∂/∂ z , podemos também considerar o produto vetorial formal de  pelo campo vetorial F como segue: