Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Espacial
Professor Hans
Aula 2: Hipérbole - Teoria
Hipérbole
A Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P do plano
cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos 1
F
e2
F
é
constante.
Equação Natural da Hipérbole
122
P
FPF−=
uuur uuur a
Elementos Principais
O - centro da hipérbole
1
F
e 2
F
- focos da hipérbole
1
A
,2
A
,1
B
, 2
B
- vértices da hipérbole
12 2
A
A=a
- eixo real ou transverso
12 2
B
B=b
- eixo imaginário ou não-transverso
12OA OA a==
- semi-eixo real
12OB OB b==
- semi-eixo imaginário
12 2
F
F=c
²
- distância focal
12OF OF c==
- semi-distância focal
Relação Fundamental
²²cab=+
Excentricidade
É a razão entre a distância focal (2c) e o eixo maior (2a).
c
ea
=
Obs. Na hipérbole teremos e > 1.
Assíntotas
Toda hipérbole admite duas retas, passando pelo seu centro
e tangenciando os dois ramos da curva em um ponto
infinitamente afastado da reta que são chamadas de assíntotas.
Equações da Hipérbole
Eixo Real Paralelo ao Eixo das Abscissas
Focos
00(;)
F
xcy
±
Assíntotas
00()
b
yxx
ay
=
±−+
Equação Cartesiana
00()²()²
1
²²
xx yy
ab
−
−
−
=
Equação Paramétrica
0
0
secxxa
yybtg
θ
θ
=+
⎧
⎨=+
⎩com02
θ
π
≤
≤, excluídos 2
π
e 3
2
π
Eixo Real Paralelo ao Eixo das Ordenadas
Focos
00(; )
F
xy c
±
Assíntotas
00()
a
yxx
by
=
±−+
Equação Cartesiana
00()²()²
1
²²
yy xx
ab
−
−
−
=
Equação Paramétrica
0
0sec
xxbtg
yya
θ
θ
=+
⎧
⎨=+
⎩ com 02
θ
π
≤
≤, excluídos 2
π
e 3
2
π
Aplicações da Hipérbole
*Os arcos de cônicas podem ser utilizados na arquitetura e engenharia.
Um exemplo de utilização da hipérbole em construções pode ser visto
na catedral de Brasília.
*O hiperbolóide de uma folha é utilizado na construção de centrais de
energia.
*Dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica,
parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
*O sistema de localização de barcos denominado por LORAN (LOng
RAnge Navigation), faz uso das hipérboles, onde radares ficam nos
focos.