Calculo Integral: Teoremas e Exemplos, Slides de Cálculo Diferencial e Integral

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INTEGRAL INDEFINIDO

• Primitiva
• Definição 1: Diz-se a função é uma primitiva da função sobre o segmento , se em todo o ponto deste segmento se tiver a igualdade.
• Exemplo: Determinar a primitiva de
• Resolução: , pois
• Note que não é a unica primitiva de.

F   x

f   x  a^ , b 

F ,  x  f   x f   x  x^2 f   x^  x^2  F   x^  x 33   2 ,^3 , 3 x F x x  

   F   x^ ^ x 33 x^2

• Demonstração
• para qualquer
• Da igualdade (1) temos
• Da igualdade (2) teremos
• Se resulta do facto de ser constante e derivada duma constante ser zero.

     

 

 F x f x

F x f x 2 ,

1 , ( )

x  a , b   ^1

F 1   x  F 2   x    x   2

F 1 ,  x^  F 2 ,  x^  f   x^  f   x^  0 F 1 ,  x  F 2 ,  x  ,  x  0 ,^   x  (^0)   x

• Integral indefinido
• Definição 2 : Chama-se integral indefinido da função e anota-se por a toda a expressão da forma em que é uma primitiva de. Por definição.
• Da definição resulta que:

f   x  f   x dx F   x  C F   x

f   x  f^   x dx^  F   x^  C

• Algumas propriedades do integral indefinido
• Teorema 1 : O integral indefinido da soma algébrica de 2 ou mais funções é igual à soma algébrica dos seus integrais, isto é
• Teorema 2 : Pode-se retirar um factor constante de debaixo do sinal soma, isto é se a=const, então (^)  af   x dx^ ^ a  f   x dx.

 ^ f^^1   x^ ^ f^2   x  dx^   f^1   x dx^   f^2   x dx

• Integração por mudança de variável
• Seja e mudemos a variável x por tal que (contínua e inversível) então e
• Exemplo1: Calcular
• Solução: seja , então

 f   x dx^   t

dx  ,  t dt  f^   x dx^   f ^   t ^ ^ ,  t dt  (^1)  x^2

xdx t  1  x^2 dt  2 xdx

t C  x  C t

dt x

xdx (^)        (^)  

2 2 2 ln^1 ln^1 2

1 2

1 1

• Integração de certas expressões contendo o trinómio I. Seja Resolução: colocar a expressão do denominador sob a forma de quadrado de uma soma ou de uma diferença:

ax^2  bx  c I (^) 1  (^)  (^) ax (^2)  dxbx  c

   ^     

      

1 ^2    2 2 2 2 2 2 2

1 (^2222)

1 a

b a

c a x b

dx a a

b a

c a x b a x b

dx ax bx c a I dx

• Seja , então

que resulta em (integral tabelado)

2

2

2 2

k a

b a

t dx dt c a

x b    

  

     

^     

1 ^2    2 2 1 2 2 2 2

1 t k

dt a a

b a

c a x b

dx ax bx c a I dx

1 ^  (^2)  2 1 t k

dt I a

• II.

• Resolução:
• A expressão é integral já calculado . Agora pegar a primeira expressão

I (^) 2  (^)  (^) ax 2 Ax  bxB  cdx

           ^     

 ^    (^)    ax bx c a dx Aa ax axbxb cdx B Aba ax dxbx c

ax b B Ab a

A I (^) (^2) axAx (^2) bxB cdx 2 2 2 22 2 2 2 2

 (^) ax  bx  c

dx 2 I^1 I 1  (^1) a  (^) t 2 dt  k 2

 ^   

 ax bx c

ax b dx a

A (^22) 2

• Seja , então por fim

Exemplo3: Calcular Solução:

ax^2  bx  c  t   2 ax  b  dx  dt

2 Aa^ ^ dtt ln t  C^ ln ax^2  bx  c I (^) 2  2 A a  ax^22 ax  bx  b  cdx ^ B  2 Aba  ax (^2)  dxbx  c  2 Aa ln ax^2  bx  c ^ B  2 Aba  I 1  (^)  

 (^) dx x x

x 2 5

3 2

  (^)         (^)       

 ^      2 5 21 2 22 5 4 2 5

(^1222312) * 2 2 5 2 3 2 2 2 x x

dx x x dx x dx x x

x x x x dx    x  C x x x          6 1 ln^61 6 ln 2 5 2 2

(^1 )

• O integral. Este integral calcula-se com auxílio de transformações análogas do integral I 2
• A segunda expressão corresponde ao integral I3. Mexamos a primeira expressão

I (^) 4  (^)  (^) axAx (^2)  bxB  cdx

   ^ 

 ^    (^)  (^)    ax bx c a dx

ax b B Ab a

A I (^) (^4) axAx (^2) bxB cdx 2 2 2 2 ^ ^ 2 Aa ^ ax^2 ax^2  bxbdx  c ^ B  Ab 2 a  ax^2 dx  bx  c

• Exemplo: Calcular
• Solução

     

ax bx c I C ax bx c

ax bdx ax bx c

ax b dx       

     ^ ^23 2 2 21

(^222)

          (^)       

       4 10 25 2 44 10 7 4 10

25 2 4 3 10 4 10

5 3 (^2 22) x (^2) x dx dx x x dx x x x

x x x x dx

dx x x

x  (^)  

 4 10

5 3 2

 5 x^2  4 x  10 ln x  2  x^2  4 x  10  C

• Fórmula utilizada para expressões que podem ser postas em forma de dois u e dv tal que a função v seja, facilmente, calculada a par de e do cálculo do integral , cálculos estes mais simples que o cálculo de.
• Exemplo: Calcular
• Resolução:
• então

 dv  vdu  udv  xsenxdx

u  x  du  dx  dv  senxdx  v  cos x

• Nota : O método de integração por partes emprega-se, frequentemente, para integrais de forma: 1) , 2) , 3) , 4) Exemplo: Calcular

Resolução:

resulta em

 xsenxdx^ ^  x cos x cos xdx   x cos x  senx  C

 x senxdx

k  xk^ cos axdx  x kexdx  arctgxdx

 x^^2 exdx u  x  du  xdx  xdx  du  dv  ex^ dx  v  ex (^22) 2

 x^^2 ex^ dx ^ x^2 ex ^2  xexdx