Baixe Calculo III - Sequencia e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Capítulo 1
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Neste capítulo apresentaremos apenas o essencial sobre sequências e séries, o
mínimo, para estudar as soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias
(EDO) , as convergências das séries de Fourier e a validade das soluções das Equa-
ções Diferenciais Parciais (EDP) que estudaremos. Às pessoas interessadas nas
demostrações ou que desejem aprofundar-se nos assuntos deste capítulo, indica-
mos [ LE ] na bibliografia.
1.1 Sequências Numéricas
Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos núme-
ros reais.
Definição 1.1. Uma sequência de números reais é uma função:
f : N −→ R.
As notações clássicas para sequências são: f (n) = an, o termo geral da sequência.
A sequência é denotada por:
an
n∈N
a 1 , a 2 ,...... , an,...
Não confundir a sequência
an
n∈N com^ {a^1 , a^2 ,...... , an,...^ }^ que é o conjunto- imagem da função que define a sequência.
Exemplo 1.1.
[1]
n
n∈N
n
; o conjunto-imagem é
n
/ n ∈ N
[2]
n
n∈N
n,...
; o conjunto-imagem é {
n / n ∈ N}.
[3]
(−1)n
n∈N
− 1 , 1 , − 1 ,... , (−1)n,...
; o conjunto-imagem é {− 1 , 1 }.
10 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
1 2 3 4 5 6 7
1
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
Figura 1.1: Gráficos das sequências
n
e
n
Definição 1.2. Uma sequência
an
n∈N
converge ao número real L quando para todo
ε > 0 existe n 0 ∈ N tal que |an − L| < ε para todo n > n 0_._
Se a sequência
an
n∈N
converge a L, denotamos:
lim n→+∞
an = L;
o número L é dito o limite da sequência.
Uma sequência é dita divergente se não converge. Logo, a sequência
an
n∈N diverge quando, para nehum número real L, se tem lim n→+∞
an = L, ou seja, se
existe ε > 0 tal que para cada n 0 ∈ N existe n > n 0 tal que |an − L| ≥ ε.
Exemplo 1.2.
[1] A sequência (n)n∈N = (1, 2 , 3 ,... , n,.. .), claramente, diverge. Pois:
lim n→+∞
n
não existe.
[2] A sequência
n
n∈N
converge a zero.
De fato, dado ε > 0 devemos determinar um número n 0 ∈ N tal que para todo
n > n 0 :
∣ ∣ ∣ ∣
n
∣ < ε^ =⇒^
n
< ε desde que n >
ε
Como ε−^1 pode não ser um número natural, escolhemos n 0 >
ε
. Logo, para todo
n > n 0 , temos:
n
< ε. Logo:
12 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Exemplo 1.5.
Estudemos a convergência da sequência :
( cos(n)
n
n∈N
2 4 6 8 10 12 14
Figura 1.2: Gráfico dos 15 primeiros termos da sequência.
Como:
n
cos(n)
n
n
pela propiedade anterior:
lim n→+∞
cos(n)
n
Proposição 1.4. Se as sequências
an
n∈N
e
bn
n∈N
convergem a L e M , respectiva-
mente, então:
1. Se α e β ∈ R :
lim n→+∞
[
α an + β bn
]
= α L + β M.
2. lim n→+∞
[
an · bn
]
= L · M.
3. lim n→+∞
an
bn
L
M
, se M 6 = 0_._
1.1. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 13
Exemplo 1.6.
Considere as sequências
n^2
n∈N
e
n
n∈N
. Então:
lim n→+∞
n^2
= lim n→+∞
[
n
n
]
[
lim n→+∞
n
]
[
lim n→+∞
n
]
lim n→+∞
[
n
]
= lim n→+∞
2 + lim n→+∞
n
Pela propiedade anterior:
lim n→+∞
[
n^2
n
]
lim n→+∞
[
n^2
]
[
n
]
lim n→+∞
2 n + 1
= 0. Por que?
Proposição 1.5. Seja a sequência
an
n∈N
tal que an > 0 para todo n ∈ N_. Se_
lim n→+∞
an+
an
= L < 1 ,
então, a sequência
an
n∈N
converge para zero.
Exemplo 1.7.
Estude a convergência das seguintes sequências :
[1]
kn
n!
n∈N
tal que k > 1. Como:
lim n→+∞
an+
an
= lim n→+∞
k
n + 1
a sequência converge para zero.
[2]
nk
kn
n∈N
tal que k > 1. Como:
lim n→+∞
an+
an
= lim n→+∞
k
[
n
]k
=
k
a sequência converge para zero.
1.2. SÉRIES NUMÉRICAS 15
S 1 = a 1
S 2 = a 1 + a 2
S 3 = a 1 + a 2 + a 3
. ..
Sn = a 1 + a 2 + a 3 +... + an
.. .
Se a sequência
Sn)n∈N converge ao número S, escrevemos:
∑^ ∞
n=
an = a 1 + a 2 + a 3 +... + an +... = S. (1.1)
A expressão (1.1) é dita a série infinita com termo geral an.
Dizemos que a série (1.1), converge para S; caso contrário, ou seja, se a sequência ( Sn)n∈N é divergente, a série é dita divergente.
O número S é dito a soma da série (1.1) e a sequência
Sn)n∈N é dita sequência
das somas parciais ou reduzidas da série.
Exemplo 1.9.
[1] Para r ∈ R, estude a convergência da série:
∑^ ∞
n=
r
n = 1 + r + r
2
3
n +.......
Temos:
Sn = 1 + r + r
2
3 +...... +, r
n− 1 (1)
r Sn = r + r
2
3
4 +...... + r
n (2).
Fazendo (1)-(2), temos: (1 − r) Sn = 1 − r
n ; logo:
lim n→+∞
Sn = lim n→+∞
[
1 − r
n
1 − r
]
1 − r
, se |r| < 1.
Se |r| ≥ 1 a série diverge. Esta série é chamada geométrica.
[2] Estude a convergência da série:
16 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
∑^ ∞
n=
n (n + 1)
Note que podemos reescrever:
an =
n (n + 1)
n
n + 1
logo, suas somas parciais são:
Sn = 1 −
n + 1
e:
lim n→+∞
Sn = lim n→+∞
[
n + 1
]
então:
∑^ ∞
n=
n (n + 1)
[3] Estude a convergência da série:
∑^ ∞
n=
n + 1 +
n
Note que podemos reescrever:
an =
n + 1 +
n
n + 1 −
n;
logo, suas somas parciais são Sn =
n + 1 − 1 , e:
lim n→+∞
Sn = lim n→+∞
[√
n + 1 − 1
]
o qual não existe; logo, a série diverge.
[4] Determine o termo geral da série:
∑^ ∞
n=
an e estude sua convergência, se:
Sn =
2 n + 3
n + 4
, n ∈ N.
Note que a 1 = S 1 = 1, e:
an = Sn − Sn− 1 =
2 n + 3
n + 4
2 n + 1
n + 3
(n + 3) (n + 4)
18 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
∑^ ∞
n=
an converge.
- Se
∑^ ∞
n=
cn é uma série divergente tal que 0 ≤ cn ≤ an para todo n ∈ N , então:
∑^ ∞
n=
an diverge.
Exemplo 1.11.
Estude a convergência da série:
∑^ ∞
n=
n 3 n+^
Note que:
an =
n 3 n+^
3 n^
para todo n ∈ N. Por outro lado, a série
∑^ ∞
n=
3 n^
é uma série geométrica de razão
1 / 3. Logo, a série converge.
Proposição 1.7. Se
∑^ ∞
n=
an e
∑^ ∞
n=
bn são séries convergentes, então:
∑^ ∞
n=
[
α an + β bn
]
= α
∑^ ∞
n=
an + β
∑^ ∞
n=
bn,
para todo α, β ∈ R_._
Exemplo 1.12.
Discuta a convergência da série:
∑^ ∞
n=
3 n^ − 2 n
6 n^
Observamos que não podemos separar esta série em duas, pois não sabemos se
cada uma delas converge. Por outro lado:
3 n^ − 2 n
6 n^
2 n^
3 n^
1.2. SÉRIES NUMÉRICAS 19
As séries geométricas:
∑^ ∞
n=
2 n^
e
∑^ ∞
n=
3 n^
são convergentes e:
∑^ ∞
n=
2 n^
∑^ ∞
n=
3 n^
Pela propiedade anterior:
∑^ ∞
n=
3 n^ − 2 n
6 n^
∑^ ∞
n=
2 n^
∑^ ∞
n=
3 n^
Nem sempre é possível achar a soma de uma série; nós estamos apenas interes-
sados em decidir se uma série converge ou diverge.
Considere a seguinte série:
∑^ ∞
n=
n^2
n^2
Seja f : N −→ R tal que f (n) =
n^2
e g : (0, +∞) −→ R tal que g(x) =
x^2
; logo,
f (n) = g(n) para todo n ∈ N.
1 2 3
R 1 R 2 R 3 R 4 R 5
Figura 1.4: Gráfico de g.
Note que as áreas dos retângulos Ri são A(R 1 ) = 1, A(R 2 ) =
, em geral :
A(Rn) =
n^2
Se tiramos o retângulo R 1 a soma das áreas dos retângulos restantes será menor
que a área sob a o gráfico de g; logo:
1.2. SÉRIES NUMÉRICAS 21
∑^ ∞
n=
nα^
converge se α > 1
diverge se 0 < α ≤ 1.
Então, por exemplo:
∑^ ∞
n=
n
diverge,
∑^ ∞
n=
n^2
converge,
∑^ ∞
n=
n
diverge.
Em geral, fazendo k = n + l, onde l ∈ R, temos:
∑^ ∞
n=
(n + l)α^
∑^ ∞
k=l
kα^
converge se α > 1
diverge se 0 < α ≤ 1.
Então, por exemplo:
∑^ ∞
n=
(n + 2)
diverge,
∑^ ∞
n=
(n + 5)^2
converge,
∑^ ∞
n=
n + 8
diverge.
[2]
∑^ ∞
n=
ln(n)
n
Consideremos f : [1, +∞) −→ R tal que f (x) =
ln(x)
x
; f é contínua, decrescente e
positiva e f (n) =
ln(n)
n
1
ln(x)
x
dx = lim b→+∞
∫ (^) b
1
ln(x)
x
dx = lim b→+∞
ln(b)
logo, a integral diverge. Portanto, a série diverge.
Teste 4. Seja
∑^ ∞
n=
an tal que an ≥ 0 e lim n→+∞
an+
an
= L.
- Se L < 1 , a série converge.
- Se L > 1 , a série diverge.
- Se L = 1, o teste é inconclusivo.
22 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Exemplo 1.14.
Estude a convergência da série:
∑^ ∞
n=
kn^ n!
nn^
, k > 0.
Note que
an+
an
= k
[
n
n + 1
]n
; então:
lim n→+∞
an+
an
= lim n→+∞
k
[
n
n + 1
]n
= lim n→+∞
k
[
n + 1
]n
=
k
e
Se
k
e
< 1 , isto é, k < e, a série converge.
Se
k
e
1 , isto é, k > e, a série diverge.
1.2.2 Séries Alternadas
Definição 1.4. A série
∑^ ∞
n=
an é dita alternada se an · an+1 < 0 para todo n ≥ 1 , ou seja,
se é do tipo:
∑^ ∞
n=
n an.
Teste 5. Seja a série alternada
∑^ ∞
n=
n an tal que:
- an ≥ an+1 para todo n ≥ 1 e
- lim n→+∞
an = 0.
Então, a série alternada converge.
Exemplo 1.15.
A série:
∑^ ∞
n=
(−1)n
n
converge.
De fato, an =
n
; como n < n + 1, então,
n + 1
n
para todo n ∈ N e lim n→+∞
an = 0.
Definição 1.5. A série
∑^ ∞
n=
an converge absolutamente se
∑^ ∞
n=
|an| converge
24 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Exemplo 1.18.
[1] Seja A = [0, 1] e
x
n
n∈N =^
x, x
2 , x
3 ,...
[2] Seja A = [0, +∞) e
n x
n∈N
x,
2 x,... ,
n x,...
Definição 1.7. Uma sequência de funções
fn
n∈N
tais que fn : A −→ R , converge
pontualmente ou, simplesmente para a função f : A −→ R se para todo x ∈ A e para
todo ε > 0 existe n 0 ∈ N tal que |fn(x) − f (x)| < ε para todo n ≥ n 0_._
O número n 0 = n(ε, x 0 ), depende tanto de ε como do ponto x 0. Uma sequência
de funções é dita divergente se não converge. Se a sequência
fn
n∈N
converge
pontualmente para f , para todo x ∈ A fixado, tem-se:
lim n→+∞
fn(x) = f (x);
f (x) é dito o limite pontual da sequência.
Exemplo 1.19.
[1] Seja A = [0, 1]. A sequência
xn
n∈N
= (1, x, x^2 , x^3 ,.. .) converge pontual-
mente para a função f : [0, 1] −→ R definida por:
f (x) = lim n→+∞
x
n
0 se x ∈ [0, 1)
1 se x = 1
[2] Seja A = R. A sequência
fn
n∈N
tal que fn(x) =
n x
1 + n^2 x^2
converge pontual-
mente para a função f : R −→ R definida por:
f (x) = lim n→+∞
n x
1 + n^2 x^2
= lim n→+∞
x
1
n
Figura 1.6: Gráficos de f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x) e f 20 (x).
1.3. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES 25
[3] Seja A = R. A sequência
fn
n∈N
tal que fn(x) =
x
n
)n
converge pontual-
mente para a função f : R −→ R definida por:
f (x) = lim n→+∞
[
x
n
]n
= e
x .
1
2
3
4
5
Figura 1.7: Gráficos de f 1 (x), f 5 (x), f 15 (x) e f 100 (x).
Dada uma sequência de funções
fn
n∈N
em que cada fn seja contínua em A e ( fn
n∈N
convirja pontualmente a uma função f , nada nos garante que f seja con-
tínua.
De fato, no primeiro exemplo, as fn(x) = xn^ são contínuas em [0, 1] mas conver-
gem pontualmente para uma função descontínua. Vejamos outro exemplo:
Exemplo 1.20.
Seja A = [0, 1] e:
fn(x) =
n − n^2 x se 0 < x <
n 0 nos outros casos.
lim n→+∞
fn(x) = 0 em [0, 1], mas:
0
fn(x) dx =
∫ (^1) /n
0
(n − n
2 x) dx =
Como
0
0 dx = 0, temos:
lim n→+∞
0
fn(x) dx 6 =
0
[
lim n→+∞
fn(x)
]
dx.
1.3. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES 27
como a sequência
n
n∈N
converge para zero, a sequência de funções converge
uniformente para zero.
Figura 1.9: Gráfico de f 10 (x) e f 50 (x).
Teorema 1.1. Seja a sequência de funções (fn)n∈N que converge uniformente para f_._
1. Se as fn são contínuas em A , então f é contínua em A e:
lim n→+∞
[
lim x→x 0
fn(x)
]
= lim x→x 0
[
lim n→+∞
fn(x)
]
= lim x→x 0
f (x).
2. Se as fn são integráveis em A , então f é integrável em A e:
lim n→+∞
∫ (^) b
a
fn(x) dx =
∫ (^) b
a
[
lim n→+∞
fn(x)
]
dx =
∫ (^) b
a
f (x) dx,
se [a, b] ⊂ A_._
Exemplo 1.22.
Considere a sequência de funções (fn)n∈N tal que
fn(x) =
sen(n x)
n
Claramente a sequência converge uniformente para a função f (x) = 0. Supo-
nhamos que podemos derivar em x a sequência ; isto é f (^) n′(x) = cos(n x), logo;
f (^) n′(0) = 1 e a sequência (1)n∈N converge para 1 e não para f ′(0) = 0.
Teorema 1.2. Seja a sequência de funções (fn)n∈N tais que as fn são diferenciáveis em
A_. Se a sequência_ (fn)n∈N converge pontualmente para f e a sequência (f (^) n′)n∈N converge
uniformente para g , então f é derivável em A e f ′^ = g_._
28 CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
O seguinte teorema nos diz que toda função contínua pode ser aproximada uni-
formemente por polinômios.
Teorema 1.3. (Aproximação de Weierstrass) Seja f : [a, b] −→ R contínua; então
existe uma sequência de funções (Pn)n∈N , onde Pn(x) são polinômios, que converge uni-
formemente para f em [a, b]
1.4 Séries de Funções
Com as considerações feitas no parágrafo sobre as séries númericas, seja a sequên-
cia de funções (fn)n∈N, x ∈ A e construamos a sequência de funções
Sn)n∈N tal
que:
Sn(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) +... + fn(x).
Se a sequência
Sn(x))n∈N converge pontualmente para S(x), dizemos que a série
de funções converge pontualmente e escrevemos:
∑^ ∞
n=
fn(x) = S(x).
Se a sequência
Sn(x))n∈N converge uniformemente para S(x), dizemos que a sé-
rie de funções converge uniformemente e escrevemos:
∑^ ∞
n=
fn = S.
Exemplo 1.23.
Seja A = [0, 1] e
∑^ ∞
n=
fn tal que f 1 (x) = x e fn(x) = xn^ − xn−^1 , n > 1.
A n-ésima soma parcial da série é Sn(x) = xn; logo, a sequência das somas parci-
ais converge pontualmente em A para a função f , onde
f (x) =
0 se x ∈ [0, 1)
1 se x.
Mas, a série não converge uniformemente em A.
De fato, dado 0 < ε <
e n 0 ∈ N, seja x = (2 ε)^1 /n^0 −^1 em:
∑^ m
n=n 0
fn(x) = x
m − x
n 0 − 1 ;
