Cálculo Diferencial: Estudo da Variação de Funções e Extremos, Slides de Cálculo Diferencial e Integral

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ESTUDO DA VARIAÇÃO DA FUNÇÃO

• Crescimento de funções
• Teorema 1: Se a função derivável sobre o segmento é crescente sobre este segmento então a sua derivada não é negativa sobre este segmento, i.e. contudo então

y  f   x  a , b 

f ,^   x  0      ^ ^  

    

    , 0

, 0 f x x f x x

f x x f x x     (^)  0 

  x

f x x f x lim x  0 f ^ x  xx ^  f   x^  0

• Teorema 1 (condição necessária para existir extremo)
• Se a função derivável tem um máximo ou mínimo no ponto então a sua derivada anula-se nesse ponto i.e..
• Teorema 2 (condições suficientes para existir extremo)
• Seja uma função contínua num intervalo contendo o ponto crítico e derivável em qualquer ponto desse intervalo (salvo talvez, no ponto):

y  f   x x  x 1 f ,^  x 1   0

y  f   x x 1

• Se a derivada muda de sinal de positivo para negativo quando passa pelo ponto crítico a função tem um máximo para.
• Se a derivada muda de sinal de negativo para positivo quando passa pelo ponto crítico a função tem um mínimo para.
• Assim se:
• a) a função admite o máximo em.

x x  x 1

x x  x 1

    

 

 0 ,,^0 f x

f x para

para 1

1 x x

x x 

 x  x 1

b) Procurar os pontos onde a derivada é descontínua

• Estudar o sinal da derivada à esquerda e à direita do ponto crítico
• Calcular o valor da função para cada valor crítico

3. Estudar o sinal da derivada à esquerda e à direita do ponto crítico

4. Calcular o valor da função nos pontos críticos Sinal da derivada Natureza do ponto crítico

+ ou descontinuidade - Máximo

- ou descontinuidade + Mínimo + ou descontinuidade + Nem mínimo nem máximo, função crescente - ou descontinuidade - Nem mínimo nem máximo, função decrescente

x  x 1 x^  x (^1) x  x 1

f ,^   x  0

f ,^   x  0

f ,^   x  0 f ,^   x  0

f ,^   x  0

• Estudo de máximo e mínimo com auxílio da segunda derivada
• Teorema: Seja então, tem o máximo no ponto se e um mínimo se.

f ,^   x  0 f   x x  x 1 f ,,^   x  0 f ,,^   x  0

Natureza do ponto crítico 0 - Máximo 0 + Mínimo 0 0 Não determinado

f ,^   x  (^0) f ,,  x

Concavidade e convexidade. Pontos de inflexão

• Definição 1 : Diz-se que a curva tem a sua convexidade no sentido dos y positivos no intervalo se todos os pontos da curva se encontram por baixo da tangente em qualquer um dos pontos desta curva nesse intervalo.

 a , b 

• Critérios que permitem definir a convexidade duma curva:
• Teorema 1a: Se a segunda derivada de é negativa em qualquer ponto do intervalo i.e. , a curva tem, então, a sua convexidade voltada para os y positivos (a curva é convexa) neste intervalo.

y  f   x  b , c  f ,,^   x  0 y^  f   x

• Ponto de inflexão
• Definição 2: Chama-se ponto de inflexão ao ponto que separa a parte convexa duma curva contínua da sua parte côncava.
• Teorema 2 : Seja a equação da curva.

Se ou não existe e a segunda derivada muda de sinal ao passar pelo valor x=a, o ponto da abcissa x=a é um ponto de inflexão.

y  f   x

f ,,^   a  0

• Exemplo : Achar os pontos de inflexão e determinar os intervalos de convexidade e de

concavidade da curva de Gauss f   x  e ^ x^2

I. Assímptotas paralelas ao eixo Oy

• Resulta da definição que
• Exemplos: Achar as assímptotas de

                ^  

f x f x x a f x

x a x a

lim lim lim

y  tgx

4

1 y  (^) x (^2) 

II. Assímptotas oblíquas

• Se a curva tem assímptota oblíqua ela tem a equação. A forma prática de calculá-la é e colocando x em evidência teremos a igualdade:
• obtido o valor de k voltemos para calcular o b

y  f   x y  kx  b x lim ^ ^ f   x  kx ^ b ^ ^0

      x

k k f x x

f x x

k b x

f x x  x    ^  x 

    ^  

  lim^   0 lim 0 lim