Baixe Combinatória: Exercícios de Cálculo Combinatório para o 12º Ano e outras Notas de aula em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!
MATEMÁTICA A
COMBINATÓRIA
12º ANO
Cálculo combinatório Permutações Arranjos Combinações
Probabilidades
Grupo I
1. Com os elementos do conjunto {1,2,3,4,5} quantos números com algarismos diferentes se podem formar sabendo que: a) têm três algarismos; (60) b) são menores do que 3000 e múltiplos de 5. (29) 2. Com todas as letras da palavra «RAMO» vamos escrever sequências com elementos diferentes. a) Quantas sequências diferentes se podem escrever? (24) b) Quantas começam por R? (6) 3. Dispomos de 5 quadros, dois com flores e três com animais, todos diferentes. Com eles vão ser feitas diferentes decorações. Determina de quantas formas se podem dispor os quadros: a) em fila; (120) b) fazendo uma “roda”; (24) c) em fila mas com as flores nos extremos; (12) d) em fila mas com o gato no meio; (24) e) dois atrás e três à frente, sendo os de trás os das flores. (12) 4. Três senhoras, dois homens e cinco crianças pretendem sentar-se num banco de 10 lugares. a) De quantas maneiras se podem sentar, se as crianças ficarem juntas, os homens ficarem juntos e as senhoras também? (8640) b) De quantas maneiras se podem sentar, se as crianças ficarem juntas e as senhoras e os homens ficarem juntos ou não? (86400) c) De quantas maneiras se podem sentar, se chega mais uma senhora idosa que terá de ficar sentada e um dos homens do grupo inicial ficar de pé? (7257600) 5. Considera o conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Quantos números podem formar-se sem repetição de algarismos: a) de dois algarismos? (72) b) de três algarismos, sendo 5 o algarismo das centenas? (56) c) de quatro algarismos, sendo 3 o algarismo dos milhares e 9 o das unidades? (42) 6. Numa empresa vai ser instalada uma rede de telefones internos, tendo cada número de telefone 3 algarismos. a) Quantos números diferentes de telefone podia ter a rede? b) Quantos números diferentes podia ter a rede se não é possível repetir os algarismos? c) Quantos números de telefone ficam livres se todos os começados por 1 e todos os terminados em 0 são dos directores? 7. A Rita, a Susana, o Tadeu e o Ulisses foram passear ao pé da praia. a) De quantos modos se podem sentar num banco com 4 lugares? b) E num banco de 5 lugares? c) E se ficarem juntos a Rita com o Tadeu e a Susana com o Ulisses, no banco de 5 lugares?
18. Com os algarismos 1, 3, 5 e 7, quantos números diferentes de três algarismos, diferentes ou não, se podem escrever? 19. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números de quatro algarismos diferentes, múltiplos de 5, é possível escrever? (108) 20. Considere um baralho de 40 cartas. De quantas maneiras diferentes podemos dispor sobre uma mesa: a) três das figuras que estão incluídas no baralho? (1320) b) quatro cartas, nenhuma com figura? (491400) c) sete cartas, sendo as três primeiras figuras e as restantes cartas diferentes de figuras? (648648000) 21. Um grupo de cinco amigos decide ir ao cinema. Neste grupo temos o João e a Marta. De quantas maneiras se podem sentar os cinco se: a) o João e a Marta decidem ficar lado a lado. (48) b) o João não quer ficar junto da Marta. (72) 22. Numa turma de trinta alunos, de quantas maneiras diferentes podemos eleger o delegado e o subdelegado de turma. (870) 23. De quantas formas diferentes, se podem arrumar 20 livros numa estante, de modo que os 5 de Matemática fiquem juntos, assim como os 8 de Artes e os 7 de História. 24. Nas férias, o Filipe levou 5 livros para ler, 2 policiais, 2 romances históricos e um sobre aventura e mistério. Indique o número de maneiras de os ler, se o Filipe decidir alternar entre os temas e o terceiro a ler, for o da aventura e mistério.(16) 25. Seis amigos compraram bilhetes seguidos na mesma fila para verem um filme. De quantos modos diferentes se podem sentar se: a) num extremo fica a pessoa A; b) a pessoa B fica ao lado da D; c) as pessoas A, B e C ficarem juntas.
26. Um painel é formado por seis rectângulos como a figura indica.
De quantos modos diferentes se pode pintar o painel, sabendo que dois quaisquer dos rectângulos escolhidos têm de ser brancos e os quatro restantes de cores diferentes, escolhidos entre amarelo, preto, verde, rosa e encarnado? (366)
27. De um baralho de cartas extraem-se simultaneamente 2 cartas. Determina a probabilidade de saírem: a) um e um só às; b) um rei e uma dama; c) uma carta de paus, pelo menos; d) uma carta de copas, no máximo.
28. O Teatro “Boca de Cena” iniciou uma campanha de promoção que consiste em atribuir 5 prémios a cinco espectadores, escolhidos ao acaso entre os n espectadores de uma determinada sessão. a) Se os prémios forem iguais, o número de formas diferentes de serem atribuídos é:
(A) n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) (B) 5! (C) n 5
(D) nC 5
b) os prémios forem diferentes, o número de formas distintas de serem atribuídos é:
(A) n^ A ' 5 (B)
n (^) A 5 5!
(C) n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) (D) n^5
29. Uma urna contém 8 bolas azuis e 5 amarelas. Extraem-se ao acaso, e simultaneamente, 6 bolas. Qual a probabilidade de se obterem: a) três e só três bolas azuis? b) no máximo 4 bolas amarelas? c) no mínimo 5 bolas azuis? 30. Quatro professores de Matemática decidiram encontrar-se no Grande Hotel das Termas. Acontece que se esqueceram de especificar o nome das termas. Considerando que há hotéis com o mesmo nome em quatro termas distintas, qual a probabilidade dos quatro professores escolherem termas diferentes? 31. Dado um grupo de quatro pessoas, calcula a probabilidade de pelo menos duas a) fazerem anos no mesmo dia; b) fazerem anos no mesmo mês. 32. Tenho no meu porta-chaves 4 chaves idênticas e só uma abre a porta do meu gabinete. Acontece que nunca sei qual é a chave certa e parece que é sempre a última chave que tento aquela que abre a porta! Mostra que não tenho razão e que a probabilidade é sempre a mesma, nomeadamente ¼ de abrir a porta à primeira, segunda terceira ou quarta tentativa. 33. Nas férias, o Filipe levou 5 livros para ler, 2 policiais, 2 romances históricos e um sobre aventura e mistério. Calcule a probabilidade do Filipe começar por ler um policial e acabar por ler o outro policial. (0,1) 34. As matrículas dos automóveis, em Portugal são constituídas por duas letras de 23 do alfabeto e quatro algarismos. a) Determina o número de matrículas que podem ser atribuídas aos automóveis. b) Determina o número de matrículas em que as duas letras são iguais, mas os algarismos são todos distintos. c) Se todas as matrículas são equiprováveis, qual seria a probabilidade de um dado automóvel ter uma matrícula com três algarismos iguais entre si e o restante distinto daqueles?
5. De um grupo de 12 pessoas, sendo 7 mulheres e 5 homens, vai ser escolhida uma comissão de 6 pessoas. De quantas formas diferentes se pode formar a comissão se: a) tem tantos homens como mulheres? b) tem pelo menos um homem? c) tem mais mulheres do que homens? 6. Numa turma de 30 alunos vai ser eleita uma comissão de 6. a) Quantas comissões diferentes se podem formar? b) Em quantas comissões está o aluno X e a aluna Y? 7. Numa turma há 10 meninas e 20 rapazes. a) Quantos grupos distintos de cinco pessoas é possível formar? (142506) b) Quantos grupos distintos de quatro pessoas é possível formar se ao grupo tem necessariamente de pertencer uma menina? (22560) 8. 10 políticos russos encontram-se com 6 americanos e 4 ingleses numa conferência de alto nível. Todos se cumprimentam com aperto de mão. Quantos apertos de mão: a) são dados ao todo? (190) b) são dados entre pessoas de nacionalidade diferente? (124) c) qual o significado da diferença entre os valores encontrados em a) e b)? 9. Um treinador de futebol dispõe de um plantel de dezoito jogadores, dos quais três são guarda-redes. Quantas equipas diferentes pode o treinador formar para um jogo do campeonato, considerando que a mudança de posição de dois jogadores não altera a equipa? (9009) 10. Num teste de Matemática com 20 perguntas, cada aluno tem de responder a 15. Quantas hipóteses há de as escolher, se: a) Não houver qualquer restrição? (15504) b) as cinco primeiras perguntas são obrigatórias? (3003) c) não podem responder simultaneamente às duas primeiras? (6936)
11. Numa pizzaria preparam-se pizzas com pelo menos 5 variedades. Dispondo-se de 8 ingredientes, o número de pizzas diferentes que se podem preparar é: (A) 8 A 5 ^8 A 6 ^8 A 7 ^8 A 8 ; (B) 8 C 5 ^8 C 6 ^8 C 7 ^8 C 8 ; (C) 8 C 5.^8 C 6.^8 C 7.^8 C 8 ; (D) 8 5 8 6 8 7 8 A. A. A. A 8
12. De entre os 24 alunos de uma turma, o professor de Educação Física vai formar uma equipa de 6, para um jogo de futebol. a) De quantas maneiras o pode fazer, indiferenciadamente? b) Sabendo que o Rui é o único guarda-redes, quantas equipas pode haver?
13. Um projecto de Área Escola de uma determinada Escola Secundária está dividido em 3 fases. Para a primeira fase é necessário escolher 5 elementos de cada turma. Numa turma de 20 alunos, 12 raparigas e 8 rapazes, indique o número de grupos de trabalho que é possível considerar se: a) não há restrições quanto à escolha dos alunos.(15504) b) cada grupo deve ser constituído por 3 rapazes.(3696) c) cada grupo deve ter pelo menos um rapaz e duas raparigas. (13816) d) um rapaz e duas raparigas manifestam o interesse em serem integrados numa das outras fases do projecto. (6188) e) há tarefas específicas a desempenhar por cada elemento (recolha de bibliografia, informação, inquéritos, relatório, ...). (1860480)
