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MAKRON Books ” 32 Edição Funções Vetoriais, Integrais Curvilíneas, integrais do Super fície Mirian Buss Gonçalves, Dra. + Professora do Departamento de Matemática da UFSC nas disciplinas de Cálculo é Análise Matemática. * Prutessora do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção/UFSC. + Mestrado em Malemática Pura/Análisu Malemática/UFSC. « Doutorado em Engenharia de Produção/UFSC. + Pós-Doutorado no INSA-RouentFR. Diva Marília Flemming, Dra. + Professora do Centro de Ciências Exatas da UNISUL nas disciplinas de Cálculo e Tecnologia na Educação. * Professora do Curso ce Pós-Graduação em Educação da UNISUL, » Professora aposentada do Curso do Pós-Graduação em Engenharia CivilUFSC, + Professora aposentada do Departamento dz Matemática da UFSG nas disciplinas de Cálculo e Teoria cs Informação. * Mestrado em Matemática Aplicada/Teoria de Informação. * Doutorado em Engenharia de Produção/UFSC. MAKRON Baobks do Brasil Editora Ltdu. Rua Tabapuã, 1.348 — Itaim-Bibi CEP 04533-004 — São Paulo — SP (011) 829-8604 e (011) 820-6622 e-mail: makron O books.com.br São Paulo + Ria de Janeiro * Ribeirão Preto « Belém » Belo Horizonte * Brasília * Campo Grande * Cuiabá + Curitiba * Florianópolis + Fortaleza * Goiânia * Manaus + Natal » Porto Alegre * Recife * Salvador ' Barcelona * Bogotá * Buenos Aires « Caracas * Ciudad de Mexico + Frankfurt + Guadalajara * Lisboa * London + Madrid + Montevideo + New York * Paris * Porto * Santiago Cálculo C: Funções Vetor fnlegrats Curvineas, Integrais ce Supergicio edição Copyrighto 2000 MAKRON Books do Brasil Editora Ltda, Todos os direitos Para a língua portuguasa reservados pela MAKRON Books do Brasil Editora Ltda. Ny uma parte desta publicação poderá Ser reproduzida, guardada pelo sistema “retrieval" ou transmitida de qualquer medo ou por qualquer outro meio, seja esta eletrônico, mecânico, de fotocópia, de gravação, ou Outros, sem prévia autorização, por escrito, da Editora EDITOR: MILTON MIRA DE ASSUMPÇÃO FILHO É : EA Grearaa qu8ô Gerente do Proctução pNNED Za Silas Camargo Pa A 8 praIsTRO ? Editor Assistento snes 2 Benjamim Peixoto <ã LB ig ab é Produtora Editoria 12 bido & Marilcide Gomes O got, Copa re EN + Cerri, Marcelo da S. Françozo rt Edlioração e Fotolos em Alta Resclução: JA G, Dados dig Calalogação na Publicação Gonçalves, Miian Buss Cálculo G: Funções Vatorieis, Integrais Cunvilingas, Integrais da Superfície - 3: edição : Mirian Buss Gonçalves 2 Diva Maria Flemming. São Pauio : MAKRON Books, 2000, ISBN: 85,346,0955-4 & : MAKRON Ê Books NOTA AO LEITOR - 12 Edição A falta de textos, ao alcance de nossos alunos, que abrangente, nos motivou aescrevero presei nos cursos de Cálculo, cujo program: Curvilíneas c Integrais de Superfície, abordem o Cálculo Vetorial de uma nte livro, Este livro pode ser utilizado à prevê o estudo das Funções Vetor iais, Integrais forma mais o texto consiste de seis capítulos. Os dois primeiros capítulos, referentes a Funções Vetoriais de uma Variável e Curvas, são pré-requisitos parao estdo das Integrais Curvilínicas, apresentado no Capítulo V. No Capítulo II são estendidos Os conceitos do Cálculo para as Funções Vetoriais de Várias Variáveis No Capítulo IV são exploradas as Idéias Físicas ligadas ao Cálculo Vetorial. O Capítulo VI inicia com o estúdo de Superfícies e à seguir us Integrais de Superfície são apresentadas, Cada capítulo npresenta enunciados claros d as definições, propriedades e teoremas relativos so assunto abordado. Ni o decarrer de todo o texto, as idéias intuitivas e geométri- cas são realçadas. As figuras apresentadas no decorrer dos exemplos, facilitam a visualiza- são espacial dos conceitos apresentados, São propostas listas de exercícios, com respostas, para complementar a aprendizagem do aluno, Algumas de foram omitidas. monstrações de teoremas, que podem ser encontradas em livros mais avançados. Quaisquer crros que apareçam são, naturalmente, da responsabilid: quais ficarã lade das autoras, as ão muito agradecidus se forem comunicad. las sobre os mesmos, Florianópolis, agosto de 1991, Mirien Buss Gonçalves Diva Marília Fleming MAKRON Books AGRADECIMENTOS As autoras agradecem aos colegas do Departamento de Mutemá ral de Santa Catarina, que com seu incentivo e sugestões, conti deste trabalho. tica da Universidade Vede- ribufram para a realização “Agradecem aos Professores Carlos José Ferraris, Inder Jeet Taneja, Ito Pedro de Sou- za, Licério Brasil da Silva, Maria da Graça Rodrignes, Miguel Pelandié Perez, Waldir Quandt e William Glenn Whitley pela sua contribuição. Em especial, apradecem ao Professor Jaime Bruck Ripoll, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, que leu tados os manuscritos e apresentou valiosas sugestões, Finalmente, agradecem ao acadêmico de Engenharia Mecânica, Jean C: arlo Gueths, ex-aluno das autoras, pela sua dedicação na confecção das figuras. 1x & MAKRON Books : SUMÁRIO Capítulo 1 - FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL Hodógrafo ... Operações com Funções Vetori 7%» Limite e Continuidad Exercícios, Derivada Interpretação Geométrica da Derivada Interpretação Física da Derivada .... Regras de Derivação Derivadas Sucessivas Exercícios. Capítulo 2 = CURVAS. Representação Paramétrica ... * Parametrização de uma Reta Parametrização de uma Circunferência | Parametrização de uma Elipse ... | Parametrização do uma Hélico Circul | Parametrização de uma Ciclóide + Parametrização de uma Hipocielóide Parametrização:de outras curvas ? Curvas Suaves... Orientação de uma Curva Reta Tangente Exercícios... / Comprimento de Arco . 7 Reparametrização de Curvas por Comprimento de Arco Vetor Tangente Unitário .... Curvatura Vetor Normal Principal .. Vetor Binormal..... Torção.. x aeee eee mm eme meme a MAKRON Books Capítulo 1 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL Neste capítulo, apresentaremos os conceitos do Cálculo para funções vetoriais de uma variável. Serão apresentadas as definições formais de limite, continuidade e derivada. A derivada será interpretada geometricamente como um vetor tangente ao hodógrafo da fun- ção. Fisicamente, cla será interpretada como o vetor velociclade de uma partícula em movi- mento no espaço. 1.1 DEFINIÇÃO Chamamos de função vetorial de uma variável real £, definida em um intervalo 4, a função que a cada ! & 7 associa um vetor £ do espaço, Denotamos 1= Ho O vetor f(1) pode ser escrito como ÃO = Ai + pj + pu. Ássim, podemos dizer que à função vetorial / determina três funções escalares de ERA = [Def = Alt). Reciprocamente, as três funções escalares hhef, determinam a função vetorial fo. Observamos que, dado um ponto P(x,y,2) do espaço, o vetor F= nm 4yra 2 CólenoC Cap 1 Cap. 1 Funções vetoriais de uma variável 3 ( (é ( ( é chamado vetor posição do ponto P (ver Figura 1.1). (ii) Em Economia podemos estabelecer uma função vetorial preço, Consideremos 3 merça- ( o . Ê ias tais que a primeira tem preço ?º, a segunda tem pre: o !+2€ a terceira tem preço dado A cada ponto P(x,y,2) corresponde um único vetor posição e vice-versa. Em vista Horia tale u P E . bi a P E à es ' A = = E a pela soma dos preços das duas primeiras, A função vetorial preço é ( disso, muitas vezes, um vetor 7 = Yi + MJ + mk é representado por (MV; V,). Esta E notação também é usada para representar às funções vetoriais. . Po =P Paris 2) ( 0 ( (iii) Outros exemplos são dados nas expressões: p [q ind ("= ak gm =T+r; 3 n ht) = 2costi + 2sentj + 5. | 1.3 DEFINIÇÃO Figura 1,1 geométrico dos pontos P do espaço que têm vetor posição fm ter ( ( ( O hodágrato de uma função vetorial ft) = AMI + ADJ + AME, Leleo lugar ( ver Figura 1.3). ( ( 1.2 EXEMPLOS (1) Podemos expressar O movimento de uma partícula º sobre uma circunferência de raio |, Pela função vetorial ft) = cost F + sent Í. Neste caso, a variável ! representa o tempo e EATON) nos dá a posição da partícula em movimento (ver Figura 1.3): 4 r ( i ( Ei E (aih, fot) rá . Figura 1.3 t, N = . ( + / Existe uma estreita ligação entre as funções vetoriais de uma variável real e as curvas nd'espaço. Por exemplo, se /(!) é o vetor posição de uma partícula em movimento, o ( N. x horógrato de tt) coincide com a trajetória da partícula. ( i ( Figura 1.2 Í ( es ( Í i i JU Cáleutoc Cap1 ; Cop. 1 Funções vetoriais de “una variável 1 j ( E —— o esatáis "e Reciprocamente, se lim Oca i=h3, 3, para todo e > O, existirá 8» O, tal ( rosto é a ( que [0 — aj] O arbitrário, existirá um 8 > O, tal que . Dim (o +gm)= + 6; li — al 0 8) WD = IcostÊ + 3sentj + (9 - 3senpÊ; 4 é [0, 2x] DO=TA4O-nj4rtE1>0 O EO = +senj +2k h Ft) = (8 - 4senpi + 2c0stj + 4sen E. Sjafn=á+bregn=i as sentj + cost É, comã = É O0, Calcular: a) lim [Je + a) ral DD lim [ft = 3] ra a 4z iz lim faz -— Ro] ral 2 9) lim (fo. geo) 151 9 lim [eo x g60)] Hat O tim [+ 70) ral 8) lim [Fox 40] pr Cop: 1 Funções vetoriais de uma vartável 19 Seja f() = senti + cos] + QE e hp) = yr . Caleular, se existir, cada um dos se- guintes limites: a) Jim PÃO) tom b) lim [aço fe], à o | Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma var iável. a) lim (cos7 17 sk) 152 d) lim ma e) lim Qi+u- 2] 1 > 3) lim, Ms nj4q+ vi] pted R . : e lim (=; (ria a). 154 - Mostrar que o limite do módulo de uma função vetorial é iguat ao módulo do sen limite, se este último existir, - Mostrar que a função vetorial f(t) = MUDE + LD] + DÊ é contínua em um in- tervalo 7 se, e somente se, as funções escalares NUAS DE A(O são contínuas em ! - Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados, emt=De(=3, 22 la C Cap 1 GD Seg) = (2 - 37 4e “5, temos que . PM. = 60 - 37 ses 1.9.3 Interpretação geométrica da derivacia Seja fa uma função vetorial derivável em um intervalo 7. Quanto + percorre |, à extremida- de livre do vetor f(1) descreve uma curva C'no espaço. Ê Paracada te 1, fer) éo vetor posição do Cotrespondente ponto sobre à curva (ver Figura 1.9), Figura 1.9 Sejam Pe gos pontos de C, correspondentes aos vetores posição fo efus AD, Fespectivamente. A reta que passa por Pe Q é secante à curva Ce o vetor AF = ft + 4-1) coincide com o segmento PQ (ver Eigura 1.10). Como Ar éesca- lar, a tem a mesma direção do segmento PQ. 7 rip pmrimem uando 4º > 0(0 -> Pjareta Secante se aproxima da reta tangente à curva Cem º '3 Cap. 1 Funções vetoriais d Flgura 1.10 P (ver Figura 1.11) Assith, se fº el movimento da extr Figura 1,11 19% 0, ͺ(0) é um vetor tangente à curva C. Seu sentido é o do emidade livre do vetor SK!) ao crescer 1, vriável 23 RCE pese qe ra mr er mm 24 CóleuloC Cap.) 1.9.4 Exemplos (D Dada ft) = 17 + 17, determinar É" «83, Esboçar o hodógrafo de f eos vetores (1), feneF'o. Solução. Temos, /' (1) = [ + 2%. A Figura 1.12 mostra e hodógrafo de f onde desenhamos OS vetores fD=i+27 PeD= -2je 0) = TF. Figura 1.12 (ii) Determinar um vetor tangente ao hodógrafo de g(n) = cost i + sem J + É, te (O, 2), no ponto P(0, 1,1). . Solução. Temos, E) = -senT + cost, Necessitamos do valor de &"(1) no ponto P. Para isso, precisamos determinar o correspondente valor de 1. Como o vetor posição de P é j + É, tdeve satisfazer costi + sentjsk= sl. E 2 : Um vetor tangente ao hodógrafo de g(4) em P(0, 1, Dég (5) = Tal Vigura 1.13 ilustra este exemplo, 2 H Portanto, cost = O e sent = 1 e dessa forma ! Cap. 1 Funções vetoriais de una varidvel 25 Ta =r Figura 1,13 1.9.5 Interpretação Física da derivada Consideremos uma partícula em movimento no espaço. Suponhamos que no tempo 1, 7(1) é o vetor posição da partícula com relação a um sistema de coordenadas cartesianas. Ao variar £, à extremidade livre do vetor F(t) descreve à trajetória C da partícula. Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo (e em Q no tempo ! + Af, Então AP = F(t + Ar) — F(1) representa o deslocamento da partícula de P para Q, ocorrido no intervalo de tempo 4f (ver Figura 1.14), À taxa média de variação de F(t) no intervalo A? é dada por EM + 40 = Fr) Ar e é chamada velocidade média da partícula no intervalo de tempo Ar. A velocidade instan- tânea da partícula no tempo 1, que denotamos P(4), é definida pelo limite ss o FU+ AD) Yo) = lim >" dao A quando este limite existe, e 28 CóleuloC Cap.1 (ii) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei F() = coszti + senztj + k. Mostrar que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aí ração é perpendicular ao vetor velocidade, Solução. Temos, vn) = (1) = —2senZt i + 2cos2t j e AO = vt) = — Acos2ti — AsenZt j. Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o seu produto escalar é nulo. Te- mos, Fu). F4) = (cos2ri + son2rj + k). (-28en2t 7 + 2cos2t j + Ok) = —2sen2t cost2t + 2sen2t cos2r + O =0 FG). dt) = (senti + 20082 5) . (= dcostk i — 4sendi j) = 8sen2t cos2t — Bscn2t cos2t =0 Portanto, o velor Ft!) é perpendicular ao vetor Ft) é Pt) é perpendicular a à(O. (Ver Figura 1.16.) 3 í es Cap. 1 Funções vetoriuis de uma variável 29 Figura 1.16 As REGRAS DE DERIVAÇÃO de funções vetoriais são similares às de funções escalares. Temos a seguinte proposição: . 1.9.7 Proposição Sejam f(t) e E(!) funções vetoriais e A(/) uma função escalar, deriváveis em um intervalo 1. Então para todo t E 1, temos: o (Pos g0)= Pag db) (neo FO) = Mo fico + o fe) o (Po. goJ= fo. gor fo. gm O (Fox go)= Prox + fax . Prova da item (c). Sejam fo = foi + pm Amk e o BM = gti + ga (NJ + gun. Então; O EO = AO gu + O ED ECO gt. Como fa e B(t) são deriváveis no intervalo !, o mesma ocorre com as funções PRADA £» 8, € &y Usando as regras da derivação da soma é do produto de funções cscalares, vem: 30 CteuloC Cop. (e .20) = [yum BUDA SO ga) 4 FD) e] terem EMO BP + (RO rs (A e END 80 + SD gi) + SAD 8,0) + FÁM g) + AO gut) + PACORA O) ELMO go + fu) gun) + FED g3()] + +[AOD gi + EM gi + gi] nem =Po gn fo ga 1.9.8 Derivadas sucessivas Seja B10) uma função vetorial derivável em um intervalo 1. Sua derivada Ff (8) É uma função vetorial definida em! Se fº (1) é derivável em um ponto te 4, a sua derivada é chamada derivada segunda de f no ponto re é representada por /” (1) Analogamente, são definidas as derivadas de ordem mais alta, 1.9.9 Exemplos () Sejam to) = re ft) = cost 7 4 sem F 3) Determinar (140) tn) . b) Mostrar que f (1) é ostogonal a f(1). Solução de (a). Pela Proposição 1.9.7, temos que (ne fm) = [t(cosri + sentj)J = (cost + senj)y + (1 (costi + sentj) d- senti + costj) + (costi + sentj) = feost - rsenfli + (sent + rcosn)j. Cup. 1 Funções vetoriais de uma variável 31 Solução de (b). Para que ftr) e jº (1) sejam ortogonais, devemos ter fo.Pa=o Temos, Fa. fio = (cost 7 + sem 3). (sem 7 + cos j) , = —COst sent + seny cost =0 (ii) Mostrar que /' (0) E ortogonal a f(1) sempre que [fun] é uma constante, Como Fail = k, k constante, e Fo] = VÃ. fo. temos que ft. Fe) = 2, para todo 1. Derivantlo, vem (fm. FooJ=0 To Posto Ju-o 2fo. Pano Jo fm=o Logo, os vetores ftje ftp) são ortogonais. 1.10 ExERCÍCIOS 1, Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: o) fu = costT a torj senti DBO = sem cos set; 9 dm= 0 nianio E ? t DID tisetiE Ennio iss ii 
