Baixe Cálculo A e Solucionário - cala 4 16 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
4.16 – EXERCÍCIOS – pg. 159
- Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
Esboçar o gráfico em cada caso.
(a) ( )
x
f x
x = x =
2
x
m x f x
Considerando
3
x = ,
2
m.
p / x = ⇒ y =.
Assim,
y x
y x
9 x + y − 6 = 0
Considerando x = 3 ,
2
m = 3
p / x = 3 ⇒ y =
x y
y x
y x
Segue o gráfico:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
f (x)
(b) ( )
x a
f x −
, a ∈ R −{− 2 , 4 } ; x = − 2 , x = 4.
Temos que:
2 x a
m x f x −
Para x =− 2 temos:
2 ( 2 )
2 a a
m
a a
p x y
Assim,
2
2
2
x a y a
a y a x
x a a
y
Para x = 4 temos:
2 ( 4 )
a
m −
a
p x y −
x y
y x
y x
Para x = a temos:
a
m a
= e
p / x = a ⇒ y = 2 a , a > 0.
Assim,
ay a x a ou x ay a
x a a
y a
Segue o gráfico.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
f (x)
Usando a=1/
- Encontrar a equação da reta tangente à curva 1 ,
3 y = x − que seja perpendicular à reta
y =− x.
2 m ( x )= 3 x
A declividade da reta dada é m =− 1. Assim a declividade da perpendicular à reta y =− x
será m = 1. Temos,
2
2
x
x
x
3
−
p x = ⇒ y =
x y
y x
y x
3
^ −
p x = y
x y
y x
y x
- A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo
com a equação ( ) 3 ,
2 3 x t = t − t em que x vem expresso em metros e t em segundos.
(a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?
2 3
2 3
x m
xt t t
(b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?
' 2 v ( t )= x ( t )= 6 t − 3 t
2 10 f ( x )= 10 ( 3 x + 7 x − 3 )
2 9 f ′^ x = x + x − x +.
2 3 ( )
( ) bx ax a
f x = +
2 2 bx ax bx a a
f ′^ x = + +.
2 7 4 f ( t )= ( 7 t + 6 t )( 3 t − 1 )
( 7 6 ) ( 3 1 ) [ 12 ( 7 6 ) 7 ( 3 1 )( 14 6 )]
2 6 3 2
2 7 3 4 2 6
2 7 3 4 2 6
t t t t t t t
t t t t t t t
f t t t t t t t t
3
2 2 3
t
t f t
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
(^22)
2
t
t t t
t
t t t
t
t
t
t t t
t
t f t
- ( )
3 2 2 f ( x )= 3 x + 6 x − 2
3 2
3
1 2
−
x x
x
f x x x x
x
x f x
2
1
2
1
−
−
x x
x
x
x x x
x
x x x
f x
t
t f t
2
1 2
3
2
2
1
2
2
1
2
2
1
−
t t
t t
t
t
t t
t
t
t
t t
t
t f x
x f x e
−
3
3
3 ′ (^) = − − x f x e
3 2 6 ( ) 2
=
x f x
2
3
2
3
2
2 3
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x f x
x x
x
b
a f x 3 6
3
( ) = (^2) −
[ ]
( 3 6 )
3 3
2 ( 3 6 )
3 6 3 3
2 ( 3 6 )
3 6 3 3 3 6
2
2
2
2
2 2
3 (ln ) ( 6 6 ) ln
3 ln ( 6 6 )ln
.. 3 .ln. .( 6 6 )ln ( )
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x x x
b
a a a x b
b
b a a a x b
b
b a a a b x b f x
−
−
−
−
− −
1 2 ( ) 2 1
− = +
t f t t
( ) ( 2 1 ) .ln( 2 1 ). 2 ( 2 1 ) ( 1 ). 2
(^21 ) ′ (^) = + + + + −
− − f t t t t t t
t t
ln( ) ( ) 2
abs f s a bs
= +
[ ]
a bs
b a bs a bs
a bs
b a bs a bs a bs a bs b
a bs a bs b a bs
b f s a bs a bs
a bs
abs abs
a bs abs
( ) .ln( )
( ) .ln( ) ln( ).( ).
ln( ).( ). 2
( ) .ln( ). 2
ln( )
ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) 1
22. f ( u )= cos( π 2 − u )
f ′^ u =+ sen − u 2
- (θ ) 2 cosθ. 2 θ
2 f = sen
2 2
2 2
4 cos cos 2 4 2
( ) 2 cos .cos 2. 2 2. 2 .( ). 2
sen sen
f sen sen
3 2 f x = sen x + x
( ) 3 ( 3 6 ).cos( 3 6 ).( 6 6 )
2 2 2 f ′^ x = sen x + x x + x x +
- f ( x )= 3 tg ( 2 x + 1 )+ x
x
x
f x x x
6 sec ( 2 1 )
( ) 3 sec ( 2 1 ). 2
2
2 1 / 2
−
x
x f x
2 3 sec ( )=
2
2 2
2
2
6 sec 3 sec
. 3. 2 .sec .sec. 3 sec ( )
x
x x tgx x
x
x x x tgx x f x
- f x e x
x ( ) cos 3
2
[ 2 cos 3 3 3 ]
3 3 2 cos 3
( ) 3. 3 cos 3.. 2
2
2 2
2 2
e x sen x
e sen x e x
f x e sen x x e
x
x x
x x
2 3 f (θ )=− cos ec θ
2 2 3 3
3 3 3 2
6 cossec. cot
( ) 2 cossec ( cossec )cot. 3
g
f g
- f ( x )= a cos bx
b x
ab senbx
f x a bx senbx b
(^2) cos
(cos ) ( ). 2
1 / 2
−
arc t t t t
f t t cossec( 2 3 ). 2 2 3 ( 2 3 ) 1
2
2
x
sen hx f x
ln( ) ( )=
2
2
cot ln( )
ln( ). 1
cosh
x
x gh senhx
x
senhx senhx
x x
f x
38. [ ]
21 /^2 f ( t )= cot gh ( t + 1 )
[ ]
2
2 2
2 1 /^222
cot ( 1 )
( 1 )cossec ( 1 )
cot ( 1 ). cossec ( 1 ). 2 ( 1 ) 2
−
gh t
t h t
f t gh t h t t
3 ( 3 1 ) ( ) cossec
x
x f x h
x
x gh x
x h x
x
x x
x
x gh x
x h x
x f x h
.cot
cossec
cot
. cossec
( ) 3 cossec
3
2
2
2
- ( ) argcosh 1
2 f x = x x − x −
argcosh 1
2 2 −
x
x x x
f x x
2 f ( x )= x arg cot ghx
2 4
2
2 4
arg cot 1
argcot. 1 1
gh x x
x
ghx x
x f x x
42. [ ]
2 2 arg cos 2
f ( x )= ghx
. 2 argcosh. 2
2
4
2
−
′ (^) = x
x
x f x x
Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico,
comparar os resultados.
5 3 5 ( 2 6 ) 3
− f x = x + x
5 − 3 4 4 − 4 f ′^ x = x + x x − x.
2
x
f x = x + x −
3
x
f ′^ x = x + x x + +.
6 3 f ( x )= ( 5 x − 2 )( 3 x − 1 )
[ ]
[ ]
( 5 2 ) ( 3 1 ) [ 135 48 )]
5 2
5 2
5 2
6 2 3 5
6 2 3 5
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
f x x x x x
46. ( ) x
x
f x x −
4
x
x
x
f x
x
x
x
2 .ln 2
. ln 2
.ln 2
ln 2
ln 2
ln 2
−
−
t
e f t
t 1 ()
2
=
−
2
2
2
2 2
2 2
t
t e e
t
t e t e f t
t t
t t
− −
− −
t
t
e
e f t
2
2
2 2 2
1
2
2
1
−
−
t
t
t
t
t
t t t t
t
t
t
t t t t
t
t
e
e
e
e
e
e e e e
e
e
e
e e e e
e
e f t
54. ( bx c ) x
a
f x ln
2 = + −
x
bx a
f x
55. ln( 7 4 )
2 f x = x −
2
2
x
x
x
x f x
x
x f x 1
( ) ln
2
2
2
x x x
x
x
x
x x
x
x
x
x x f x
t
b
a f t
b t
a
b
a f t
t
( ) .ln .
x x f ( x ) e 4
2 = +
x e e x x
f x e e
x x x x x x ( 4 ).. 2 2
( ) ( 4 ) .ln( 4 ).
(^2 22) − 1 2 ′ = + + + +
- f ( x )= sen ( 2 x + 4 )
f ′( x )= 2 cos( 2 x + 4 )
- ( ) 2 cos( 2 3 1 )
2 f θ = θ − θ+
x
x
x x
e
x sen x
e
e x sen x e f x
[cos( 1 ) ( 1 )]
cos( 1 ) ( 1 ) ( ) 2
- ( ) ( / 2 )cos( / 2 )
2 2 f x = sen x x
cos 2
. cos 2
.cos 2
cos. 2 2
. 2 .cos 2
3 3
2 2
x sen
x x x sen
x sen x x
x sen
x f x sen x
- f t t
2 ( )=ln cos
tg t
t
sent
t
t sent f t
cos
cos
2 cos. ( ) 2
- f ( x )=log 2 ( 3 x −cos 2 x )
e x x
sen x f x .log 2 3 cos 2
t f t e
2 cos 2 ( )=
t
t
sen t e
f t e sen t
2 cos 2
2 cos 2
( ) cos
x f x = arc
2 2
2 2
x x
x x
f x
s
arcsen s f s
2 2
2
2
2
2
s
s arcsen s
s
s
s arcsen s
s
s
s arcsen s
s
f s
2 1
x
f x arc tg −
4 2
2 2 2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
- f ( x )= senh ( 2 x − 1 )
f ′( x )= 2 cosh( 2 x − 1 )
