Calculo A - Diva Marília Flemming & Mirian Buss Gonçalves Cap 1 a 6, Resumos de Cálculo

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

CAPÍTULO I

Seguem as sugestões de solução dos exercícios da lista 1.6. Observamos que em alguns

exemplos existem mais de um caminho ou maneira para chegar à solução. Apresentamos

somente uma opção.

SEÇÃO 1.6 – p. 10

1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.

a) 3 − x < 5 + 3 x

x

x

x

x

x x

b) 3

x x x

x

x x x

x x x

x x x

Solução 2° caso: (− ∞, 0 ) ∩( −∞, 203 ) =( −∞, 0 )

Solução final: (− ∞, 0 ) ∩( 203 ,+∞) ou x ∉[ 0 , 203 ]

e) 9 2 x ≤

2

x x

x

1° caso:

x

x e 3

x

x

Solução 1° caso: ( − ∞,− 3 ] ∩[ 3 +∞) = o /

2° caso:

x

x e 3

x

x

Solução 2° caso: ( −∞, 3 ] ∩[− 3 +∞) =[ − 3 , 3 ]

Solução final: [ − 3 , 3 ]

f) 3 2 0 2 x − x + >

[ 1 , 2 ]

x

x x

g) 1 2 0 2 − x − x ≥

[ 1 , 12 ]

2

x

x x

x x

h) x

x

x

x

1° caso:

x

x e 3

x

x

x x nãoexistexque satisfaz

x x x x x

x x x x

2

2 2

2° caso:

x

x e 3

x

x

x x x IR

x x x x

• • ⇒ ∈

2

1° caso:

x

x , 1

x

x e 4

x

x

Solução: ( −∞,− 4 ]

2° caso:

x

x , 1

x

x e 4

x

x

Solução: 0 /

3° caso:

x

x , 1

x

x e 4

x

x

Solução: [ − 1 , 1 ]

4° caso:

x

x , 1

x

x e 4

x

x

Solução: 0/

Solução final: (− ∞, − 4 ] ∪ 0 /∪[− 1 , 1 ] ∪ 0 /=( −∞,− 4 ] ∪[ − 1 , 1 ]

k) 1 2

− x

x

x

1° caso: x − 2 > 0 ⇒ x > 2

x x

x x

x x

2 caso: x − 2 < 0 ⇒ x < 2

x x x

x x

Solução: (− ∞, 0 ] ∩( −∞, 2 ) =(−∞, 0 ]

l)

4 2 x ≥ x

2

4 2

x x x

x x

1° caso:

x

x e 1

x

x

Solução 1° caso: [ 1 ,+∞)

2° caso:

x

x e 1

x

x

Solução: (− ∞, − 1 ]

Solução final: (− ∞,− 1 ] ∪{ 0 } ∪[ 1 ,+∞)

m) 4 3

x −

x

1° caso: x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Solução 1° caso: 0/

2° caso: 4 + x < 0 ⇒ x <− 4

x

x

x x

x x

Solução 2° caso: ( − 14 , − 4 )

Solução final: (− 14 , − 4 )

o) 2 5

x −

1° caso: x − 5 > 0 ⇒ x > 5

x

x

x

x

x

Solução 1° caso: [ 13 2 ,+∞]

2° caso: x − 5 < 0 ⇒ x < 5

x

x

Solução 2° caso: ( −∞, 5 )

Solução final: (− ∞, 5 ) ∪[ 13 2 ,+∞)

x ∉ [ 5 , 132 )

p) 2 0

3 2 x − x − x − >

( ) ( )

2 0 2

2

x x

x x x

q) 3 2 0

3 x − x + ≤

( 2 1 ) ( 2 ) 0 2 x − x + x + ≤

2 x − x + ≤

x + 2 ≤ 0 ⇒ x ≤− 2

Solução Final: ( −∞,− 2 ]∪{ 1 }

r) 2

x + x

1° caso:

x

x e 2

x

x

ou ( 2 ,+∞)

s) 8 4 2 1 0

3 2 x − x − x + <

2 x − x + <

x

x

x

t)

3 2

3 2

x x x

x x x

2 x − x − ≥

x

x

x

Solução Final: [ 2 / 3 ,+∞)∪{ 1 / 2 }

2. Resolva as equações em IR

a) 5 x − 3 = 12

5 3 12 ou

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Solução: {− 95 , 3 }

b) − 4 + 12 x = 7

4 12 7 ou

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Solução: {− 14 , 1112 }

c) 2 x − 3 = 7 x − 5

2 3 7 5 ou

x

x

x

x x

x x ( )

x

x

x x

x x

x x

Solução: { 2 5 , 89 }

d) 5 2

x

x

5 , 2 ou 2

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x

9 11 ou

x

x

x x

x x

x

x

x

x x

x x

x

Solução: {− 1110 , 118 }

h) 2 x − 7 = x + 1

0 ou

x

x x

x x

x

8 / 3 nãosatisfazacondiçãode 0

x x

x

x x

x x

x

Solução: { 8 }

3. Resolva as inequações em IR

a) x + 12 < 7

x

x

x

x ∈ ( − 19 , − 5 )

b) 3 x − 4 ≤ 2

x

x

x

x

x ∈ [ 2 3 , 2 ]

c) 5 − 6 x ≥ 9

5 − 6 x ≥ 9 ou 5 − 6 x ≤− 9

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x ∈ ( −∞, − 23 ]ou x ∈ [ 7 3 ,+∞)ou, de forma equivalente, x ∉( − 23 , 73 )

d) 2 x − 5 > 3

2 x − 5 > 3 ou 2 x − 5 <− 3

x

x

x

x

x

x

Solução: x ∈ ( −∞, 1 ) ∪( 4 ,+∞)ou x ∉[ 1 , 4 ]

e) 6 + 2 x < 4 − x

( )

2

2 2

2 2

x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x

x

7 ( x − 19 )( x − 9 / 7 )≤ 0

Solução: x ∈[ 9 7 , 19 ]

i) x − 1 + x + 2 ≥ 4

1° caso: 1

x

x e 2

x

x isto é x ≥ 1

x

x

x

x x

2° caso: 1

x

x e 2

x

x isto é x <− 2

x

x

x

x x

3° caso: − 2 ≤ x < 1

− x + + x + ≥

Solução : 0/

Resultado Final: [ 3 2 ,+ ∞) ∪(− ∞,− 52 ]ou x ∉( − 52 , 32 )

j) 1 < x + 2 < 4

1° caso: x + 2 ≥ 0 x ≥− 2

x

x

x ∈ ( − 1 , 2 )

2° caso: x + 2 < 0 x <− 2

x

x

− 6 < x <− 3

x ∈ ( − 6 , − 3 )

Solução final: (− 6 , − 3 )∪ ( − 1 , 2 )

k) 4 3

x

x

( )

2

2 2

2 2

x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x

3 ( x − 2 )( x − 14 / 3 )< 0

Solução: x ∈( 2 , 143 ) −{ 3 }

l) 2

x − x