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Caderno de Algebra´
Marta de F´atima Severiano de Oliveira
Abril de 2016
1 Exerc´ıcios Resolvidos
1-Seja p um n´umero primo ≥ 2 e seja
A = {
m n
∈ Q : mdc(p, n) = 1}
. Mostre que A ´e um anel com as opera¸c˜oes usuais de fra¸c˜ao.
Sejam x 1 = m n 11 e x 2 = m n 22 tais que mdc(p, n 1 ) = 1 e mdc(p, n 2 ) = 1, com as seguintes opera¸c˜oes definidas:
I −
m 1 n 1
m 2 n 2
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
II −
m 1 n 1
m 2 n 2
m 1 m 2 n 1 n 2 Vamos provar agora que as opera¸c˜oes I e II definidas acima s˜ao fechadas em A. Para isso, vamos supor que mdc(p, n 1 n 2 ) = a, a 6 = 1. Seja p′^ o maior primo tal que p′|a. Ent˜ao p′^ = p e ent˜ao p|n 1 n 2. Como p ´e primo, ou p|n 1 ou p|n 2 , o que contradiz o fato de mdc(p, n 1 ) = 1 e mdc(p, n 2 ) = 1. Logo + e · est˜ao definidas em A.
P1)Associatividade da soma: Sejam x 1 = m n 11 , x 2 = m n 22 e x 3 = m n 33. Pre- cisamos provar que
(x 1 + x 2 ) + x 3 = x 1 + (x 2 + x 3 )
(x 1 +x 2 )+x 3 =
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
m 3 n 3
(m 1 n 2 + m 2 n 1 )n 3 + m 3 n 1 n 2 n 1 n 2 n 3
m 1 n 2 n 3 + m 2 n 1 n 3 + m 3 n 1 n 2 n 1 n 2 n 3
x 1 + (x 2 + x 3 ) = m 1 n 1
m 2 n 3 + m 3 n 2 n 1 n 2 n 3
m 1 n 2 n 3 + m 2 n 1 n 3 + m 3 n 1 n 2 n 1 n 2 n 3
P2)Existˆencia do elemento neutro Neste caso tomemos como elemento neutro 0
- Veja que m 1 n 1
m 1 · 1 + n 1 · 0 1 · n 1
m 1 n 1
0 1
m 1 n 1
0 · n 1 + m 1 · 1 1 · n 1
m 1 n 1
P3)Existˆencia do inverso aditivo Tomemos o inverso como −x 1 = − nm 1 1. Veja que
m 1 n 1
−m 1 n 1
m 1 · n 1 + n 1 · (−m 1 ) n^21
m 1 · n 1 − m 1 n 1 n^21
n^21
P4) Comutatividade da soma
x 1 +x 2 =
m 1 n 1
m 2 n 2
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
m 2 n 1 + m 1 n 2 n 2 n 1
m 2 n 2
m 1 n 1
= x 2 +x 1
P5) Associatividade do produto
(x 1 · x 2 ) · x 3 =
m 1 m 2 n 1 n 2
m 3 n 3
m 1 m 2 m 3 n 1 n 2 n 3
m 1 n 1
m 2 m 3 n 2 n 3
= x 1 · (x 2 · x 3 )
P6)Distributividade a esquerda ea direita Primeiro veja que
x 1 (x 2 + x 3 ) =
m 1 n − 1
m 2 n 3 + m 3 n 2 n 2 n 3
m 1 m 2 n 3 + m 1 m 3 n 2 n 1 n 2 n 3 Observe tamb´em que
x 1 · x 2 + x 1 · x 3 =
m 1 m 2 n 1 n 2
m 1 m 3 n 1 n 3
m 1 m 2 n 3 + m 1 m 3 n 2 n 1 n 2 n 3
Logo,
x 1 (x 2 + x 3 ) = x 1 · x 2 + x 1 · x 3 De forma an´aloga prova-se que
Como D ´e finito xm ·xp ∈ D, e 1 ≤ p ≤ n. Ent˜ao xm ·xp deve percorrer todos elementos de D, inclusive 1. Logo para cada xm existe um inverso multiplicativo, o que prova que D ´e um corpo.
5-Mostre que Z 3 = { 0 , 1 , 2 } n˜ao ´e subanel de Z 5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }.
Para Z 3 ser subanel de Z 5 , Z 3 deve ser fechado para as opera¸c˜oes + e · · · de Z 5. Por´em em Z 3 , tem-se que , por exemplo, 2 + 2 = 1 e, em Z 5 , 2 + 2 = 4. Logo Z 3 n˜ao ´e subanel de Z 5.
6-(a) Seja {Bi}i∈N uma sequˆencia de suban´eis de um anel A.Prove que B = ∩i∈N Bi ´e tamb´em um subanel de A.
(b)Seja {Ki}i∈N uma sequˆencia de subcorpos de um corpo K.Prove que B = ∩i∈N Ki ´e tamb´em um subcorpo de K.
(a) Como cada Bi ´e um subanel de A, ent˜ao 0 ∈ Bi. Logo a interse¸c˜ao B deles ´e tal que que 0 ∈ B. Tomemos x, y ∈ B. Devemos provar que x − y ∈ B. De fato, x, y pertencem a cada Bi , logo, pela defini¸c˜ao de subanel x − y ∈ Bi e consequentemente x − y ∈ B. De modo an´alogo, temos que x · y ∈ Bi, ent˜ao x · y ∈ B, como quer´ıamos.
(b) An´alogo, se considerarmos que A = K ´e um corpo.
7-(a)Seja {Bi}i∈N uma sequˆencia de suban´eis de um anel A. Prove que se B 0 ⊂ B 1 ⊂ · · · ⊂ Bn ⊂ · · ·, ent˜ao B = ∪i∈N Bi ´e tamb´em um subanel de A.
(b)Seja {Ki}i∈N uma sequˆencia de suban´eis de um anel A. Prove que se K 0 ⊂ K 1 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · ·, ent˜ao B = ∪i∈N Ki ´e tamb´em um subanel de A.
(a) Como cada Bi ´e um subanel de A, ent˜ao 0 ∈ Bi. Logo a uni˜ao B deles ´e tal que que 0 ∈ B.
Seja x ∈ Bm e y ∈ Bn. Como B 0 ⊂ B 1 ⊂ B 1 · · · Bn ⊂ · · · se m ≥ n, y ∈ Bm; se n ≥ m, x ∈ Bn. Sem perda de generalidade consideremos que x, y ∈ Bm. Como Bm ´e um subanel de A, ent˜ao x − y ∈ Bm e x · y ∈ Bm. Mas Bm ⊂ B, logo x − y ∈ B e x · y ∈ B, como quer´ıamos.
(b) An´alogo.
8-Calcule todos os suban´eis de Z 12.
Os suban´eis de Z 1 2, parodiando os de Z, ser˜ao da forma mZ 1 2, onde m ´e um divisor de 12. Eles s˜ao:
Z 12 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 }. 2 Z 12 = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }. 3 Z 12 = { 0 , 3 , 6 , 9 }. 4 Z 12 = { 0 , 4 , 8 } 6 Z 12 = { 0 , 6 } B = { 0 }
.
9-Seja A um anel e a ∈ A. Prove que B = {x ∈ A : x · a = a · x} ´e um subanel de A.
Veja que 0 ∈ B, pois 0 · a = a · 0 = 0. Agora, seja x, y ∈ B, ent˜ao x − y ∈ B, pois
x · a = a · x y · a = a · y
(x − y) · a = x · a − y · a = a · x − a · y = a · (x − y) e x · y ∈ B, pois
(x · y) · a = x · (y · a) = (x · a) · y = (a · x) · y = a · (x · y). Logo B ´e um subanel de A.
(1)x·y = (a+bi)·(a′+b′i+c′j+d′k) = (aa′−bb′)+(ab′+ba′)i+(ac′−bf ′)j+(ad′+bc′)k.
(2)y·x = aa+a′bi+b′ai−b′b+ca′j−c′bk+d′bj = (aa′−bb′)+(ab′+a′b)i+(ac′+bd′)j+(ad′−bc′)k.
Isso mostra que xy 6 = yx, logo os C, nem uma de suas c´opias, podem ser o centro dos Quat. Vamos testar os reais:
(3)a(a′^ + b′i + c′j + d′k) = aa′^ + ab′i + ac′j + ad′k.
(4)(a′^ + b′i + c′j + d′k)a = a′a + b′ai + c′aj + d′ak = aa′^ + ab′i + ac′j + ad′k.
Portanto o centro dos quat´ernios s˜ao os reais.
Seja A um anel e seja I um subanel de A. Dizemos que I ´e um ideal `a esquerda de A se,
(1) a · x ∈ I, ∀a ∈ A, ∀x ∈ I;
Dizemos que J ´e um ideal `a direita de um anel A como sendo um subanel de A satisfazendo a condi¸c˜ao
(2) x · a ∈ J, ∀a ∈ A, ∀x ∈ J.
Dizemos que I ´e um ideal de A se
(3) A · I ⊂ I e I · A ⊂ I
Se A for comutativo as condi¸c˜oes 1, 2 e 3 s˜ao equivalentes.
12-Mostre que a interse¸c˜ao de ideais de um anel A ´e tamb´em um ideal de A.
Seja {Ji}i∈N uma sequˆencia ideais de A. Queremos provar que J = ∩i∈N Ji ´e tamb´em um ideal de A. Seja a ∈ A e x ∈ J. Como J ´e a interse¸c˜ao dos ideais temos que x ∈ Jm, para todo m ∈ N. Como Jm ´e um ideal de A ent˜ao a·x ∈ Jm e x · a ∈ J, o que nos d´a a · x ∈ J e x cot a ∈ J, como quer´ıamos.
13- Seja {Jn}n∈N uma sequˆencia de ideais de um anel A. Prove que se J 0 ⊂ J 1 ⊂ · · · Jn ⊂ · · ·, ent˜ao J = ∪n∈N ´e um ideal de A.
Tomemos a ∈ A e x ∈ Jm ⊂ J. Como Jm ´e um ideal de A ent˜ao a · x ∈ Jm ⊂ J e x · a ∈ Jm ⊂ J. Logo, J ´e um ideal de A.
Sejam R e R′^ dois an´eis. Por um homomorfismo de an´eis entendemos uma aplica¸c˜ao dotada das seguintes propriedades: para x, y ∈ R
f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x)f (y) e f (e) = e′ se e e e′^ s˜ao, respectivamente, os elementos unidade de R e R′.
14-Seja f : R → R′^ um homomorfismo de an´eis. Mostre que a imagem de f ´e um subanel de R′.
Seja I ⊂ R′. Primeiramente vamos provar que 0′^ ∈ I. De fato f (−ex) = f (−e)f (x) = −e′f (x) e f (x + (−x)) = f (x) + f (−x) = f (x) − f (x) = 0′. Agora precisamos provar que dados x′, y′^ ∈ I temos que x′^ −y′^ ∈ I e x′y′^ ∈ I. De fato, se x′, y′^ ∈ I, ent˜ao x′^ = f (x) e y′^ = f (y) e
x′^ − y′^ = f (x) − f (y) = f (x) + f (−y) ∈ I. Al´em disso,
x′y′^ = f (x)f (y) ∈ I. Logo I ´e um subanel de R′.
Lembremos que todo dom´ınio de integridade finito ´e um corpo. Provaremos, com base nisso, que Zp ´e um dom´ınio e concluiremos, com essa informa¸c˜ao, que Zp ´e um corpo. Mais ainda: Zp ´e um dom´ınio se e somente se p ´e primo. Suponhamos que p ´e primo e ab = 0, isto ´e ab = 0 e p|ab. Ent˜ao, pelo lema de Euclides p|a ou p|b, ou seja, a = 0 ou b = 0. Reciprocamente vamos supor que Zp ´e um dom´ınio e p n˜ao ´e primo, ent˜ao existem a e b tais que p = ab e 1 < a, b < p. Logo 0 = ab. Temos que a = 0 e b = 0, pois Zp ´e um dom´ınio. Assim p|a e p|b, o que ´e um absurdo.
A caracter´ıstica de um anel A ´e o menor inteiro positivo n tal que nx = 0 para todo x ∈ A. Se tal elemento n˜ao existe n´os dizemos que A tem caracter´ıstica zero.
18- A caracter´ıstica de um dom´ınio de integridade ´e zero ou um n´umero primo.
Vamos provar o seguinte: seja A um anel com unidade 1. Se n · 1 = 0 e n ´e o menor inteiro positivo tal que n · 1 = 0 temos que a caracter´ıstica de A ´e n. Se n˜ao existe n inteiro que tal que n · 1 = 0, ent˜ao a caracter´ıstica de A ´e zero. Suponha que n˜ao exista n inteiro tal que n · 1 = 0, pela defini¸c˜ao de carac- ter´ıstica de A temos car(A) = 0. Se n ´e o menor inteiro positivo tal que n · 1 temos que nx = n(1x) = (n · 1)x = 0 para todo x ∈ A. Suponhamos que exista m < n tal que m · x = 0. Ent˜ao m · 1 = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Isto prova que car(A) = n.
Se n˜ao existe n inteiro tal que n·1 = 0, ent˜ao a caracter´ıstica de D ´e 0. Agora suponha que exista um inteiro positivo m tal que m · 1 = 0 e seja n o menor inteiro positivo tal que n · 1 = 0. Queremos provar que n ´e primo. Suponha que n n˜ao ´e primo. Ent˜ao existem inteiros s, t tal que n = st 1 < s ≤ t < n. Assim,
0 = n · 1 = (st) · 1 = (s · 1)(t · 1) e como D ´e o dom´ınio temos que s · 1 = 0 ou t · 1 = 0. Absurdo. Logo n ´e primo.
19-A aplica¸c˜ao a + bi 7 → a − bi ´e um isomorfismo de C em C. Prove isto.
f (a + bi) = f (a) + f (b)f (i) = a − bi f (a) = a, f (b) = b e f (i) = −i Tomemos z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i, assim:
f (1) = 1 f (z 1 + z 2 ) = f (z 1 ) + f (z 2 ) = a 1 − b 1 i + a 2 − b 2 i = (a 1 + a 2 ) − (b 1 + b 2 )i
f (z 1 ·z 2 ) = f (z 1 )f (z 2 ) = (a 1 −b 1 i)(a 2 −b 2 i = a 1 a 2 −a 1 b 2 i−a 2 b 1 i−b 1 b 2 = (a 1 a 2 −b 1 b 2 )−(a 1 b 2 +a 2 b 1 )i
20- O anel 2Z ´e isomorfo a 3Z? O anel 2Z ´e isomorfo a 4Z?
Consideremos que exista isomorfismos f : 2Z 7 → 3 Z ou f : 2Z 7 → 4 Z. Assim,
f (4) = f (2 + 2) = f (2) + f (2) e f (4) = f (2 · 2) = f (2)f (2). Tomemos f (2) = m, ent˜ao m^2 − 2 m = 0, m = 0 ou m = 2, mas 2 6 ∈ 3 Z e 2 6 ∈ 4 Z. Logo o ´unico isomorfismo entre 2Z 7 → 3 Z e 2Z 7 → 4 Z ´e o nulo.
21-Seja K um corpo de caracter´ıstica p. Mostre que (x + y)p^ = xp^ + yp^ para todos x, y ∈ K.
Sabemos que (x + y)p^ = xp^ + pz(x, y) + yp. Como K tem caracter´ıstica p tem-se que pz(x, y) = 0, logo (x + y)p^ = xp^ + yp.
22- Seja K um corpo. Dizemos que K ´e algebricamente fechado se ∀f (x) ∈ K[x] existe α ∈ K tal que f (α) = 0. Prove que R n˜ao ´e um corpo algebricamente fechado.
Consideremos o polinˆomio p(x) = x^2 + 1 sobre R. Observe que suas s˜ao i, −i 6 ∈ R. Logo R n˜ao ´e algebricamente fechado.
23-Usando o teorema do valor intermedi´ario prove que todo polinˆomio de grau ´ımpar sobre R possui uma raiz em R.
25-Fatore o polinˆomio x^4 − 1 sobre o corpo K = C, como no exerc´ıcio anterior.
Veja que
x^4 − 1 = (x^2 − 1)(x^2 + 1) As ra´ızes de x^2 − 1 s˜ao 1 e −1 e de x^2 + 1 s˜ao i e −i. Logo,
x^4 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i).
26-Calcule todas as ra´ızes em K = Z 5 do polinˆomio f (x) = x^5 + 3x^3 + x^2 + 2 x ∈ Z[x].
Sabe-se que Z 5 = 0, 1 , 2 , 3 , 4. Ent˜ao
- 0 5 + 3 · 0 3 + 0 2 + 2 · 0 = 0
- 1 5 + 3 · 1 3 + 1 2 + 2 · 1 = 1 + 3 + 1 + 2 = 2.
- 2 5 + 3 · 2 3 + 2 2 + 2 · 2 = 2 + 4 + 4 + 4 = 4
- 3 5 + 3 · 3 3 + 3 2 + 2 · 3 = 3 + 1 + 4 + 1 = 2
- 3 5 + 3 · 3 3 + 3 2 + 2 · 3 = 3 + 1 + 4 + 1 = 2
- 4 5 + 3 · 4 3 + 4 2 + 2 · 4 = 4 + 2 + 1 + 3 = 0. Logo as ra´ızes em K = Z 5 s˜ao 0 e 4.
27-Mostre que a equa¸c˜ao X^2 = 1 possui 4 solu¸c˜oes no anel 15. Porque?
(1)^2 = 1, (2)^2 = 4, (3)^2 = 9, (4)^2 = 1, (5)^2 = 10, (6)^2 = 6, (7)^2 = 4, (8)^2 =
4 , (9)^2 = 6, (10)^2 = 10, (11)^2 = 1, (12)^2 = 9, (13)^2 = 4, (14)^2 = 1
Isso acontece pois m^2 = (−m)^2 e, portanto tivemos (1)^2 = (− 12 ) e (4)^2 = (−4)^2.
28-Seja K um corpo e f (x) ∈ K[x] um polinˆomio tal que 1 ≤ ∂f (x) ≤ 3. Prove que ou f (x) ´e irredut´ıvel sobre K ou f (x) possui em K. E se o grau de f (x) for 4?
Se o grau do polinˆomio for f (x) = ax + b ´e f´acil ver que ele tem uma raiz −ab. Se o grau for 2 podemos reduzir aos casos f (x) = c(x − α)(x − β), ou f (x) = ax^2 +bx+c. J´a no caso (x) = 3 ele s´o redut´ıvel na forma f (x) = p(x)q(x), onde p(x) ´e um polinˆomio de grau 1, ou seja, p(x) = x − γ. J´a no caso de ∂f (x) = 4 podemos ter, ainda, f (x) = p(x)q(x), onde p(x) e q(x) tˆem grau 2.
29-Mostre que x^3 + x + 1 ∈ Z 5 ´e irredut´ıvel sobre Z 5.
Mostrar que x^3 + x + 1 ´e irredut´ıvel sobre Z 5 ´e equivalente a mostrar que tal polinˆomio n˜ao possui ra´ızes sobre Z 5. Veja que
- 0 3 + 0 + 1 = 1;
- 1 3 + 1 + 1 = 3
- 2 3 + 2 + 1 = 1
- 3 3 + 3 + 1 = 1
- 4 3 + 4 + 1 = 4,
como quer´ıamos.
30-Prove que f (x) = x^4 + 4 ´e um polinˆomio redut´ıvel sobre o corpo Q.
E vis´^ ´ ıvel que todas as ra´ızes de x^4 + 4 s˜ao complexas. Logo f (x) = g(x)h(x) s´o ´e poss´ıvel se g(x) e h(x) de grau 2. Tomemos g(x) = x^2 + ax + b e h(x) = x^2 + cx + d
g(x)h(x) = (x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d) = x^4 +cx^3 +dx^2 +ax^3 +acx^2 +adx+bx+bx^2 +bcx+bd = x^4 +(a+c)x^3 +(ac+
Temos que a + c = 0 ac + b + d = 0 ad + bc = 0 bd = 4 Da primeira equa¸c˜ao tiramos que a = 0c, logo −a^2 + b + d = 0 ad − ab bd = 4
- Seja f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + anxn e p um primo tal que p 6 |an. Definimos f (x) ∈ Zp. Se f (x) ´e irredut´ıvel sobre Zp, ent˜ao f (x) ´e irredut´ıvel sobre Q.
33- Prove que os seguintes polinˆomios f (x) ∈ Z[x] s˜ao irredut´ıveis sobre Q:
(a)f (x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 (b)f (x) = x^7 − 31 (c)f (x) = x^6 + 15 (d)f (x) = x^4 + 10x^3 + 20x^2 + 30x + 22 (e)f (x)x^3 + 6x^2 + 5x + 25 Pelo Crit´erio de Eisestein temos que f (x) ´e irredut´ıvel tomando (a) p = 2 (b)p = 31 (c)p = 5 (d)p = 2 (e) Seja f (x) = x^3 + 6x^2 + 5x + 25 ∈ Z[x]. Precisamos provar que f (x) ´e irredut´ıvel sobre Q. Considere p = 3 e Z 3 = { 0 , 1 , 2 } e f (x) = x^3 + 2x + 1. Se f (x) n˜ao tiver ra´ızes em Z 3 ent˜ao ser´a irredut´ıvel sobre Z 3. Veja que
f (0) = 0 3
- 2 · 0 + 1 = 1 f (1) = 1 3
- 2 · 1 + 1 = 1 f (2) = 2 3
- 2 · 2 + 1 = 1 Logo, f (x) = x^3 + 6x^2 + 5x + 25 ´e irredut´ıvel sobre Q.
