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GABARITO AP1 – C´ALCULO 1 – 31/03/ C´odigo da Disciplina: EAD 1005
Quest˜ao 1 [3 pontos]
Considere a fun¸c˜ao f : R → R definida por:
f ( x ) =
x^5 −
3 x^4 + x^2 2 x^3 − x +
, se x < − 2
2 − 2 cos( x − 4) ( x − 4)^2 , se − 2 < x < 4
x^2 − 3 x − 4 x^3 − x^2 − 2 x , se x > 4
Calcule, se existirem, os limites: (^) x →−∞lim f ( x ), (^) x →lim+∞ f ( x ) e (^) x lim→ 4 f ( x ). Justifique o(s) caso(s) que n˜ao
exista(m).
Solu¸c˜ao: Temos que:
∂ (^) x →−∞lim f ( x ) = (^) x →−∞lim x^5 −
3 x^4 + x^2 2 x^3 − x +
= (^) x →−∞lim x^5 2 x^3 = (^) x →−∞lim x^2 2
∑ (^) x →lim+∞ f ( x ) = (^) x →lim+∞ x^2 − 3 x − 4 x^3 − x^2 − 2 x = (^) x →lim+∞ x^2 x^3 = (^) x →lim+∞
x
O limite (^) x lim→ 4 f ( x ) existe se, e somente, se os limites laterais (^) x lim→ 4 + f ( x ) e (^) x lim→ 4 − f ( x ) existem e s˜ao
iguais. Neste caso, (^) lim x → 4 f^ ( x ) = lim x → 4 +^ f^ ( x ) = lim x → 4 −^ f^ ( x ).
Precisamos, ent˜ao, calcular os limites laterais lim x → 4 +^ f ( x ) e lim x → 4 −^ f ( x ):
∏ (^) x lim→ 4 − f ( x ) = lim x → 4 − 2 − 2 cos( x − 4) ( x − 4)^2 = lim x → 4 −
[ 2 − 2 cos( x − 4) ( x − 4)^2
2 + 2 cos( x − 4) 2 + 2 cos( x − 4)
]
= lim x → 4 −
4 − 4 cos^2 ( x − 4) ( x − 4)^2 [2 + 2 cos( x − 4)]
= lim x → 4 −
4 sen^2 ( x − 4) ( x − 4)^2 [2 + 2 cos( x − 4)]
[
x^ lim→ 4 −
2 + 2 cos( x − 4)
] (^1) ·
[
x^ lim→ 4 −
sen^2 ( x − 4) ( x − 4)^2
] (^1) = 1!
π lim x → 4 +^ f ( x ) = lim x → 4 +
x^2 − 3 x − 4 x^3 − x^2 − 2 x
Como (^) x lim→ 4 + f ( x ) 6 = lim x → 4 − f ( x ), conclu´ımos que n˜ao existe (^) x lim→ 4 f ( x ).!
Quest˜ao 2 [2 pontos]
Sejam a, b ∈ R e f : R → R a fun¸c˜ao definida por:
f ( x ) =
{ x^2 − 2 x + 1 , se x ≤ − 1 ax + b, se x > − 1 Determine os valores de a e b para que a fun¸c˜ao f seja diferenci´avel em R.
C´ALCULO 1 AP1 1/
Solu¸c˜ao:
Para que f seja diferenci´avel em R, ´e necess´ario, primeiramente, que f seja cont´ınua em R, ou seja, f tem que ser cont´ınua em − 1. Neste caso, devemos ter:
x^ lim→− 1 f^ ( x ) =^ f^ (−1)^ ⇒^ lim x →− 1 +^ f ( x ) = lim x →− 1 −^ f ( x ) = f (−1).
Temos que:
∂ f (−1) = 4
∑ lim x →− 1 +^ f ( x ) = lim x →− 1 +^ ax + b = − a + b
∏ lim x →− 1 −^ f ( x ) = lim x → 1 −^ x^2 − 2 x + 1 = 4
De ∂=∑=∏, obtemos a equa¸c˜ao − a + b = 4. Logo, para que f seja cont´ınua em − 1 , devemos ter − a + b = 4. Por outro lado, para que f seja diferenci´avel em R, f deve ser diferenci´avel em x = − 1 , ou seja: (^) f ′(−1) = f ′ −(−1) =^ f^ +′(−1). Como f (^) +′(−1) = a e f (^) −′(−1) = − 4 , segue que a = − 4. Da´ı, da equa¸c˜ao − a + b = 4 obtida acima, segue que b = 0.!
Quest˜ao 3 [2 pontos]
Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes:
(a)[1 ponto] f ( x ) = ( x^5 − x ) cos( x^3 + 1), x ∈ R.
(b)[1 ponto] g ( x ) = x − e x^2 ( x + 1)^4 , x ∈ R − {− 1 }.
Solu¸c˜ao:
( a ) f ′( x ) = ( x^5 − x )′^ · cos( x^3 + 1) + ( x^5 − x ) · [cos( x^3 + 1)]′^ = = (5 x^4 − 1) · cos( x^3 + 1) + ( x^5 − x ) · [− sen( x^3 + 1)] · ( x^3 + 1)′^ = = (5 x^4 − 1) · cos( x^3 + 1) + ( x^5 − x ) · [− sen( x^3 + 1)] · (3 x^2 ) =
= (5 x^4 − 1) cos( x^3 + 1) − (3 x^2 )( x^5 − x ) sen( x^3 + 1)!
( b ) g ′( x ) = ( x − e x^2 )′^ · ( x + 1)^4 − ( x − e x^2 ) · [( x + 1)^4 ]′ [( x + 1)^4 ]^2
(1 − e x^2 · ( x^2 )′) · ( x + 1)^4 − ( x − e x^2 ) · [4( x + 1)^3 ] · ( x + 1)′ ( x + 1)^8
(1 − 2 x e x^2 )( x + 1)^4 − 4( x − e x^2 )( x + 1)^3 ( x + 1)^8
( x + 1)^3
[ (1 − 2 x e x^2 )( x + 1) − 4( x − e x^2 )
]
( x + 1)^8
( x + 1)^3 [ (1 − 2 x e x^2 )( x + 1) − 4( x − e x^2 )] ( x + 1)^85
(1 − 2 x e x^2 )( x + 1) − 4( x − e x^2 ) ( x + 1)^5
Quest˜ao 4 [1 ponto]
Se f ( x ) = x^2 − 4 sen( x ) + 1, x ∈ R, determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto P = (0 , 1).
Solu¸c˜ao:
Temos que f ′( x ) = 2 x − 4 cos( x ), para todo x ∈ R. Logo, f ′(0) = − 4 ´e o coeficiente angular da reta tangente. Assim, a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto P = (0 , 1) ´e dada por:
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