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Marcondes Brito Ribeiro
♦ Introdução
Apresentaremos uma análise da utilização de dois teoremas (Bolzano e Sturm) na determinação dos números de raízes reais que uma equação polinomial de coeficientes reais possui em um determinado intervalo.
♦ Teorema (Bolzano)
Seja uma equação polinomial com coeficientes reais e (a, b) um intervalo aberto:
Se e tem mesmo sinal, então existe um numero par de raízes reais ou não existem raízes reais da equação no intervalo (a, b).
Se e tem sinais contrários, então existe um numero impar de raízes reais da equação no intervalo (a, b).
Prova:
Sejam:
, ,..., as raízes complexas não reais de
, ,..., as raízes reais no intervalo (a, b)
, ,..., as raízes reais fora do intervalo [a, b]
Temos, pelo teorema da decomposição, que:
.
Como os coeficientes de são reais, as raízes complexas não reais, se existirem, virão aos pares, isto é, uma complexa e sua conjugada, e o produto é sempre positivo.
Sejam os produtos dos fatores (x- ), (x- ), (x- ) ( , , respectivamente, com u=1,...,p, v=1,...,q e w=1,...,h. Então (logo):
⟹
Como as raízes estão fora do intervalo [a, b], o produto é sempre positivo (verifique!). Se chamarmos (de) , e) temos que , e, portanto o sinal de só depende do sinal de. Assim concluímos que:
Se q é impar,. Isto significa que tem sinais contrários.
Se q é par,. Isto significa que tem o mesmo sinal■
O teorema acima mostra apenas se existe uma quantidade par, impar ou não existe raízes reais em determinado intervalo (a, b). Dessa forma, nada podemos garantir a quantidade de raízes reais no intervalo. Sabendo disso, enunciaremos agora o teorema de Sturm que permite calcular exatamente o numero de raízes reais e distintas no determinado intervalo, mas antes definiremos o que é uma seqüência de Sturm e depois lançaremos o teorema.
Seqüência de Sturm
Seja um polinômio de grau dado por:
Em que. Definimos como seqüência de Sturm de o seguinte conjunto de funções:
Onde:
, , , ...,.
Observe que a definição se baseia no seguinte procedimento:
Fazemos , onde é o primeiro termo da seqüência de sturm , o segundo
termo é a primeira derivada de , ou seja, , o terceiro termo é o resto da divisão, com o sinal trocado, de por. É importante dizer que, se for uma constante não nula então a seqüência esta concluída. Caso contrario, devemos dividir por e obter o resto da divisão. Troca-se o sinal do resto e o chamamos de. Devemos continuar o mesmo principio caso não seja constante e assim sucessivamente.
Seja c ∊ ℝ. Substituindo este número em todas as funções da seqüência de Sturm, obteremos a seqüência numérica:
Tomemos a seqüência de sinais de. O número de variações de sinais na seqüência de Sturm para será denotado por. Assim definimos a aplicação:
Depois da definição da seqüência de Sturm para um polinômio de coeficientes reais, estamos aptos a conhecer o teorema de Sturm.
♦ Referências:
[1] José Eduardo – Cálculo Numérico, Universidade Federal de Uberlândia.
[2] Adell Khan – A Few Elementary Properties of Polynomials.
[3] Arthur Engel – Problem Solving Strategies.
