Baixe aulas Est Probab e outras Notas de aula em PDF para Administração Empresarial, somente na Docsity!
Noções sobre Probabilidade
Introdução
Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e
também como calcular medidas que descrevem características específicas
destes dados.
Mas além de apresentar dados e realizar determinados cálculos em cima
desses dados, também é interessante poder fazer algum tipo de inferência.
Imagine que um pesquisador anotou a idade e a pressão arterial de seus
pacientes. Com esses dados, ele pode montar tabelas e gráficos, realizar
as medidas desejadas como médias e desvios padrões, além de traçar a
reta que dá a variação da pressão arterial em função da idade. Mas este
pesquisador também gostaria de estender suas conclusões a outros
pacientes, além daqueles que examinou. Então, este pesquisador gostaria
de fazer inferência.
Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o
conhecimento de probabilidade, embora, consciente ou inconscientemente,
a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em
situações de incerteza.
A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de
acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento. Por
exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos
afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida
de quão provável é a ocorrência de determinado evento.
São várias situações em que é desejável se ter uma medida (avaliação
numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro:
lançamento de um produto, evolução de uma doença, fazer uma previsão
do número de internações em um período, chover amanhã à tarde etc.
Experiência aleatória
Considere uma experiência onde os resultados sejam imprevisíveis e
mutuamente exclusivos, ou seja, em cada repetição dessa experiência é
impossível prever, com absoluta certeza, qual o resultado que será obtido;
além disso, a ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos demais.
Como exemplo, imagine o lançamento de um dado. Os resultados possíveis
são: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Você não pode prever qual o valor que sairá na próxima
jogada do dado. Outro ponto importante é que a ocorrência de um valor
exclui a ocorrência dos demais pois é impossível você tirar dois valores em
uma única jogada do dado.
Chama-se a uma experiência desse tipo de experiência aleatória , e seus
resultados, que são mutuamente exclusivos, são chamados eventos
simples.
Espaço Amostral
O conjunto de todos os eventos simples (resultados mutuamente
exclusivos) de uma experiência aleatória é chamado de espaço amostral S.
Como exemplo de espaços amostrais, temos:
o lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}
o lançamento de uma moeda: S = { c , k }, onde c =cara e k =coroa
Medidas de Probabilidades
Na definição clássica de probabilidade, tomamos um espaço amostral finito
S = { a 1 ,a 2 ,a 3 ...,an }, no qual os pontos amostrais ai ( i =1,2, ..., n ) podem ter a
mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, são considerados equiprováveis.
Então, todo subconjunto A do espaço amostral diz-se um evento, sendo sua
probabilidade dada por:
númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventoA
n
m P ( A )= =
ou seja, a probabilidade de um evento é definida como o quociente do
número m de casos que lhe são favoráveis, pelo número n de resultados
possíveis.
Por exemplo, se um dado é não viciado, espera-se que as várias faces
sejam equiprováveis, ou seja, que qualquer das faces do dado tenha a
mesma probabilidade de sair quanto às outras. Assim, temos que a
probabilidade de sair o número 5 em um lançamento de dado, ou seja P(5),
é calculada da seguinte forma:
o Número de casos favoráveis ao evento 5 = 1 (pois só existe uma
face do dado com o número 5);
o Número de casos possíveis = 6 (pois existem seis números que
podem sair visto que o dado tem seis faces: 1,2,3,4,5 ou 6).
Esses seis eventos são mutuamente exclusivos porque duas
Regras básicas da probabilidade
i. Campo de variação das probabilidades
A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0
(zero), porém menor ou igual a 1. Isto é:
0 ≤ P ( A )≤ 1
ou
0 %≤ P ( A )≤ 100 %
Se é certo ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 1,
ou 100%; se é impossível ocorrer determinado evento, a probabilidade
desse evento é zero.
Por exemplo, a probabilidade de ocorrer número menor do que 8 no
lançamento de um dado é 1, ou 100% (evento certo pois todos os números
de um dado são menores do que 8).
Já a probabilidade de ocorrer um número maior do que 8 é zero (evento
impossível).
ii. Probabilidade do espaço amostral
A probabilidade do espaço amostral S é igual a 1. Isto é:
P ( S )= 1 ou P ( S )= 100 %
iii. Regra da adição de probabilidades
A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B (ou de ambos) é
igual a:
P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A ∩ B )
Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é: A ∩ B = ∅,
então:
P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )
Essa regra pode ser estendida para n eventos mutuamente exclusivos: A 1 ,
A 2 , A 3 , ..., An.
Assim:
P ( A 1 ∪ A 2 ∪K An )= P ( A 1 )+ P ( A 2 )+K+ P ( An )
Fica mais fácil entender o teorema da soma com a ajuda de exemplos.
Suponha, então, que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e
uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual a probabilidade
de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha? Ora, a probabilidade de
sair bola azul é:
( ) ou númerodecasospossíveis
númerodecasos favoráveisaoeventobolaazul P azul = = =
E a probabilidade de sair bola vermelha é:
( ) ou númerodecasospossíveis
númerodecasos favoráveisaoeventobolavermelha P vermelha = = =
Então, a probabilidade de sair bola colorida, isto é, azul ou vermelha, é
dada pela soma:
P ( azulouvermelha )= P ( azul )+ P ( vermelha )= + = ou
Imagine, agora, que uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual
é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás?
Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são
ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair uma carta de
espadas ou um ás é dada pela soma
P ( espadasouás )= +
númerodecasospossíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocartadecopas P copas
Se A ={carta de copas}, então Ā = {qualquer carta exceto copas}. Logo,
temos que:
P ( A )= 1 − P ( A )∴ P ( qualquercartaexcetocopas )= 1 − P ( cartadecopas )
Logo, temos que:
P ( qualquercartaexcetocopas )= 1 − = − = = = ou
Multiplicando probabilidades e independência estatística
Dois eventos estão estatisticamente independentes se a ocorrência de um
deles não afetar a ocorrência do outro. Assim, no lançamento de uma
moeda por duas vezes, a probabilidade de obter uma cara, ou coroa, no
segundo lance, não é afetada pelo resultado do primeiro lance.
No caso do lançamento de duas moedas, existem quatro possibilidades,
isto é: S = {cc, ck, kc, kk}, onde c= cara e k=coroa. Cada resultado é
igualmente provável e a qualquer um pode ser atribuída a probabilidade de
¼.
A probabilidade de obter uma seqüência particular de sucessos, por
exemplo, duas caras, pode ser calculada como o produto das
probabilidades associadas com os acontecimentos em cada lance,
separadamente, assim:
P ( CC )= P ( C )× P ( C )= × =
Logo, dados dois eventos independentes, A e B, a probabilidade da
ocorrência conjunta é definida pela regra de multiplicação:
P ( A. B )= P ( A ∩ B )= P ( A ) P ( B )
Essa regra é válida para n eventos independentes: A1, A2, A3, ..., Na,
desde que as condições para a multiplicação de probabilidades sejam
satisfeitas para todas as combinações de dois ou mais eventos, isto é,
desde que todas as combinações sejam constituídas por eventos
independentes.
P ( A 1. A 2 .K An )= P ( A 1 ∩ A 2 ∩K∩ An )= P ( A 1 ) P ( A 2 )K P ( An )
Como um exemplo, imagine uma experiência que consiste em lançar,
simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual é a probabilidade de obter
um “cinco” e duas coroas em uma única jogada?
Como os eventos são, evidentemente, independentes, a probabilidade
procurada é:
P ( 5 KK )= P ( 5 ∩ K ∩ K )= P ( 5 ) P ( K ) P ( K )= ⋅ ⋅ = = ou
i. Probabilidade condicionada
Se a condição de independência estatística não for satisfeita, deve ser
usada uma fórmula mais geral, envolvendo probabilidades condicionadas.
Denomina-se probabilidade condicional à probabilidade de ocorrer
determinado evento sob uma dada condição.
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado
que o evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por
P(B/A).
Similarmente, escrevemos a probabilidade da ocorrência de A,
condicionada à ocorrência de B, como P(A/B) (lê-se probabilidade de A
dado que B tenha ocorrido ou probabilidade de A condicionada à ocorrência
de B).
Como exemplo, suponha que existam 10 rótulos de papel que podem ser
distinguidos pelo número e pela cor: por exemplo, os rótulos numerados por
1, 2 e 3 são amarelos e os restantes, brancos.
Se todos forem colocados um uma urna e retirados ao acaso, a
probabilidade de extrair um rótulo particular é 1/10. Se, porém, após retirar
um rótulo ao acaso, ele for amarelo, como calcular a probabilidade de que
um certo rótulo, por exemplo, aquele com número 1, seja extraído?
Evidentemente, o número possível de acontecimentos favoráveis está
agora reduzido de 10 para três; em outras palavras, o rótulo desejado deve
ter o número 1 e ser amarelo.
Como um outro exemplo, suponha que um dado foi jogado. Qual é
probabilidade de ocorrido um 5?
Como um dado tem seis faces, a probabilidade de ter ocorrido a face com o
número 5 é:
( 5 ) ou númerodecasospossíveis
númerodecasos favoráveisaoevento face P = = =
Imagine, agora, que o mesmo dado foi jogado e já se sabe que ocorreu
face com número ímpar. Qual é a probabilidade de ter ocorrido a face 5?
Note que a resposta a esta pergunta é diferente da resposta dada à
pergunta anterior. Se saiu face com número ímpar, só podem ter ocorrido
os números:1, 3 ou 5. Logo, a probabilidade de ter ocorrido 5 é:
Sejam A = {face 5} e B = {número ímpar}, e:
i) como existe somente uma face 5 no dado e que também é número ímpar,
logo:
P ( A ∩ B )=
ii) como existem três faces ímpares em um dado, temos que:
P ( B )=
Logo, o resultado é:
( / ) ou P B
P A B
P B
P A B
P A B = = =
Logo, observe que a probabilidade de ocorrer determinado evento pode ser
modificada quando se impõe uma condição. Como mostra o exemplo, a
probabilidade de ocorrer 5 no jogo de um dado é 16,67%, mas, sob a
condição de ter ocorrido face com número ímpar, a probabilidade de ocorrer
5 é 33,33%.
Tendo estudado probabilidade condicionada, e para entender melhor a
idéia de eventos independentes, imagine que um dado e uma moeda são
jogados ao mesmo tempo e se pergunte:
a) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda?
b) Qual é a probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que
ocorreu face 6 no dado?
Na tabela abaixo estão os eventos que podem ocorrer quando se jogam um
dado e uma moeda ao mesmo tempo.
Dado Moeda
Cara Coroa
1 Cara;1 Coroa;
2 Cara;2 Coroa;
3 Cara;3 Coroa;
4 Cara;4 Coroa;
5 Cara;5 Coroa;
6 Cara;6 Coroa;
Dos doze eventos possíveis e igualmente prováveis apresentados na tabela
acima, seis correspondem à saída de cara na moeda. Então, a
probabilidade de sair cara na moeda é:
( ) ou númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocara P cara = = =
Para obter a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que saiu 6 no
dado, observe a última linha da tabela anterior. Dos dois eventos que
correspondem à saída de 6 no dado, um corresponde à saída de cara na
moeda. Então, a probabilidade de sair cara na moeda, sabendo que
ocorreu 6 no dado, é:
( ) ou númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocara P cara = = =
Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair cara na moeda)
não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 6 no dado). Diz-se,
então, que esses eventos são independentes.
Por definição, dois eventos são independentes quando a probabilidade de
ocorrer um deles não é modificada pela ocorrência do outro. Quando se
P ( ambaspretas )= P ( primeirapreta ) P ( segunda preta / primeirapreta )
E temos que:
P ( ambaspretas )= ⋅ = = = ou
Em um outro exemplo, uma moeda e um dado são lançados
simultaneamente. Se A for evento “sair coroa” e B for o evento “ocorrer o 3”,
constatar que os eventos A e B são independentes.
Ora, vamos calcular a probabilidade de A dado que B tenha ocorrido.
Temos que:
( / ) ou P B
P A B
P A B = = =
Se calculássemos somente a probabilidade de A ocorrer, teríamos:
( ) ou númerodecasospossíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocoroa P coroa = = =
Neste exemplo, a probabilidade de ocorrer um evento (sair caroa na
moeda) não foi modificada pela ocorrência de outro evento (sair 3 no dado).
Diz-se, então, que esses eventos são independentes. Em outras palavras,
como a probabilidade de A é igual à probabilidade de A dado que saiu B,
isto significa que a ocorrência de um evento não interfere com o outro e os
dois eventos são independentes.
Em um outro exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a
probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de
ocorrer cara na primeira jogada é:
( ) ou númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocara P cara = = =
A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é:
( ) ou númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocara P cara = = =
Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a
probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são
independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas
jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto:
iii. Em resumo
Em um exemplo, uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a
probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Ora, a probabilidade de
ocorrer cara na primeira jogada é:
( ) ou númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocara P cara = = =
A probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada também é:
( ) ou númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventocara P cara = = =
Isto ocorre porque o fato de ocorrer cara na primeira jogada não modifica a
probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada (os eventos são
independentes). E para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas
jogadas (primeira e segunda), faz-se o produto:
P ( KK )= P ( K ∩ K )= P ( K ) P ( K )= ⋅ = = ou
Em um outro exemplo, uma urna contém duas bolas brancas e uma
vermelha. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida da
outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade
das duas serem brancas?
A probabilidade da primeira bola ser branca é:
( ) ou númerodecasos possíveis
númerodecasos favoráveisaoeventobolabranca P bolabranca = = =
A probabilidade da segunda bola ser branca vai depender do que ocorreu
na primeira retirada. Se saiu bola branca, a probabilidade da segunda
também ser branca é:
