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ATENÇÃO!! Caro estudante, primeiro leia atentamente os presentes apontamentos relativos ao Cálculo com Números Aproximados, discutindo todos os exemplos apresentados no texto, e, para a exercitação e consolidação da matéria, resolva todos os exercícios constantes do Programa de Aulas Práticas da Disciplina de Cálculo Numérico. As dúvidas decorrentes da leitura do texto, da compreensão dos exemplos e da interpretação dos exercícios propostos poderão ser esclarecidas através das plataformas virtuais disponíveis. BOM TRABALHO!
Aula teórica: 02 Tema 2. Cálculo com Números Aproximados.
- Erros absoluto e Relativo. ..
Objectivos No fim desta aula os estudantes devem ser capazes de:
- Conhecer as distintas fontes de erros;
- Conhecer as práticas comuns em laboratórios para a minimização de erros;
- Conhecer os distintos tipos de erros;
- Distinguir e interpretar os erros absoluto e relativo de números aproximados. ..
- Cálculo com Números Aproximados
2.1. Introdução aos Erros A noção de erro está presente em todas as áreas científicas e, em particular, na Engenharia. Porém, quais são as fontes desses erros? Quais são os efeitos dos erros e como controlá-los? Ora bem, os dados em si não são exactos devido aos erros de medição/experimentação ou de imperfeições do sistema de medição utilizado. Por outro lado, as operações com os valores não exactos propagam esses erros a seus resultados finais. Finalmente, os próprios métodos numéricos, frequetemente utilizados, não estão eximidos de erros, embora procuram resultados mais próximos possíveis dos que seriam os valores exactos. Portanto, podemos considerar que as fontes de erros podem ser internas ao sistema de medição ou externas a ele, podem decorrer da interação entre o sistema de medição e a mensuranda ou entre o sistema de medição e o operador, sendo as primeiras duas as principais:
Factores internos ao sistema de medição São factores que dependem exclusivamente do sistema de medição utilizado, sendo as imperfeições desse sistema, talvez, os exemplos mais evidentes que causam, em maior ou menor grau, os erros de medição. Contudo, nos sistemas mecânicos de medição, por exemplo, dependendo da qualidade e o rigor com que são montados e alinhados, os mecanismos podem afastar-se do ideal. Por outro lado, com o uso contínuo, as peças mecânicas, expostas a movimentos relativos, tendem a desgastar-se, intensificando as folgas e comprometendo o desempenho do conjunto.
Factores externos ao sistema de medição São factores que independem do sistema de medição, tais como: o operador, o procedi- mento de medição, a forma como a mensuranda é definida, as condições ambientais do local onde o sistema de medição está inserido, etc. Por outro lado, a presença de vibrações
mecânicas e as variações de temperatura podem provocar erros de medições nos sistemas mecânicos de medição. Importa também considerar que a presença de fortes campos eletromagnéticos, flutuações da tensão e variações na frequência da rede eléctrica e da temperatura, são factores que podem afectar o comportamento dos sistemas eléctricos de medição. Ademais, as variações de temperatura, a humidade do ar e a pressão atmosfé- rica podem induzir erros nos sistemas ópticos de medição com maior ou menor intensidade.
Importa referir que, em geral, por melhor que seja a qualidade do sistema de medi- ção, por mais cuidadoso e habilidoso que seja o operador e por mais bem controladas que sejam as condições ambientais, ainda assim, em maior ou menor grau, o erro de medição estará presente. Entretanto, para minimizar este erro e, consequentemente, obter resul- tados confiáveis de medições, é necessário tomar alguns cuidados. Por exemplo, se deve cumprir as seguinte práticas comuns em laboratórios de medição:
(a) Manter estáveis e controladas as condições ambientais que tem maior influência sobre o processo de medição. (b) Usar salas climatizadas. (c) Utilizar fontes de tensão eléctrica estabilizadas. (d) Capacitar constantemente os operadores de sistemas de medição, etc.
Outros elementos fundamentais na análise de erros são a exactidão e a precisão. Estes dois parâmetros qualitativos estão associados ao desempenho de um sistema, porém se diferem entre si. Exactidão é a capacidade de um sistema funcionar sem erros, tendo sem- pre um óptimo desempenho. Precisão é a capacidade de obter sempre o mesmo resultado quando são efectuadas, nas mesmas condições, as repetições de medições experimentais. Portanto, dizer que um sistema de medição é preciso não significa que sempre "acerta", mas, nas mesmas condições, sempre se comporta da mesma forma.
2.2. Tipos de Erros
2.2.1. Erro na fase de modelagem Quando se pretende descrever um sistema do mundo real através de um modelo matemático não se deve considerar todos os factores que intervém nesse sistema, pois o modelo pode ser demasiado complicado de tal forma que não ajude a compreender o essencial do problema e, inclusive, pode não ser resolvível posteriormente. Geralmente, fazem-se várias simplifica- ções do sistema real para que se obtenha um modelo matemático menos complexo mas que se aproxime a esse sistema através das especificidades importantes consideradas, assim como o tratamento que se dará aos resultados obtidos. Por exemplo, no modelo matemático que
descreva o movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante, s = s 0 + v 0 t +
a 2
t^2 , não
se consideram os factores, tais como a resistência do ar e a velocidade do vento. Por outro lado, na maioria dos problemas de mecánica é frequente supor que o valor da aceleração de gravidade é de 9. 8 m/s^2 , independentemente do lugar da Terra em que ocorra o fenómeno. Porém, em realidade, esta aceleração varia desde 9. 780 m/s^2 no equador até 9. 832 m/s^2 nas regiões polares.
A aquisição de dados está inserida na fase conceptual da modelação e os dados podem ser ob- tidos através de várias formas, sendo a medição e a experimentação as principais. Entretanto, durante a realização de medição ou experimentação, pode-se observar discrepâncias entre os va- lores obtidos e os verdadeiros, originando, desta forma, um erro denominado erro de medição.
2.3. Números aproximados e seus erros
Definição 1 (Erro). Chama-se erro de um número aproximado A à diferença entre o número exacto A e o número aproximado A¯ e designa-se por ε = A − A¯.
No caso geral, o valor do erro não é conhecido, pois se fosse conhecido calculava-se o valor exacto e o problema do erro ficava ultrapassado. Mas apesar de não ser conhecido o valor exacto do erro nos cálculos ou medicões, é possível estabelecer alguns critérios que permitam fazer o estudo prévio de como esses erros influenciarão os resultados finais.
O erro de um número aproximado pode ser absoluto ou relativo:
- Erro absoluto
Definição 2 (Erro absoluto). Seja A um número considerado exacto e A¯ um valor aproximado de A. Chama-se erro absoluto de A¯ à grandeza |ε| = △ A¯ = |A − A¯|. Se o número aproximado A tiver um erro absoluto △ A¯ representa-se por A ± △ A¯.
Em geral, o valor exacto do erro absoluto não é conhecido mas pode-se calcular o seu limite superior. Seja ∆ = max|ε| o limite superior do erro absoluto |ε|, isto é, |ε| < ∆ = max|ε|. Então, considera-se ∆ o erro absoluto de A¯.
Exemplo 3. Calcule o erro absoluto que se comete ao usar-se o valor aproximado ¯π =
- 14 no lugar do valor exacto π = 3. 14149 ...
Resolução Cálculo do limite superior: |ε| = |π − π¯| = 3. 14159 ... − 3 .14 = 0. 00159 ... < 0. 002 O limite superior é ∆ = 0. 002. Então o erro absoluto cometido é ∆ = 0. 002 .
Exemplo 4. Calcule o erro absoluto que se comete ao usar-se o valor aproximado e¯ =
- 718 no lugar do valor exacto e = lim n→∞
n
)n = 2. 718182818 ...
Resolução Cálculo do limite superior: |ε| = |e − e¯| = 2. 718182818 ... − 2 .718 = 0. 0001828 ... < 0. 0002.
O limite superior é ∆ = 0. 0002. Então o erro absoluto cometido é ∆ = 0. 0002 .
- Erro relativo
Definição 3 (Erro relativo). Chama-se erro relativo de um número aproximado A à razão RA =
|ε| |A|
Se A for muito aproximado de A, o erro absoluto ε é muito pequeno e o erro relativo é calculado pela fórmula RA =
|A|
Ao número δ que satisfaz a desigualdade
|A|
< δ denomina-se limite do erro relativo.
- Significado do erro relativo O erro relativo duma grandeza explica o erro absoluto cometido em cada unidade do valor dessa grandeza. É um escalar (sem dimensão) e as vezes é calculado em percentagem.
Exemplo 5. A corrente eléctrica que atravessa duas resistências ligadas em série é de 2 , 5 A ± 0 , 01 A
RI =
|△I|
|I|
= 0, 004 ou RI = 0, 4%.
O resultado obtido significa que em cada ampere (A) da intensidade da corrente está associado um erro absoluto de 0 , 004 A
