Aula Teoria de Probabilidade, Notas de aula de Probabilidade

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ProbabilidadeProbabilidade

Definição de Probabilidade

Principais Teoremas

Probabilidades dos Espaços Amostrais

Espaços Amostrais Equiprováveis

Renata Souza

Probabilidade

y

É um conceito matemático que permite aquantificação da incerteza. É aquilo que tornapossível se lidar de forma racional comproblemas envolvendo o imprevisível(aleatoriedade).

y

Principais definições:

1 - Clássico;

2 – Frequentista;

3 – Subjetivo;

4 – Formal.

IntroduIntrodu

çç

ãoão

y

2 – Conceito Frequentista

◦

Se em

N realizações de um experimento, o evento A ocorre n

A

vezes, então a

freqüência relativa de A nas N realizações é e a probabilidade é

◦

Exemplo: Uma experiência que consiste em observar o sexo de

um recém-

nascido. Tal experiência já se realizou diversas vezes e existem registros

do

seu resultado. Ω

= {masculino, feminino}

P(masculino)=0,52 e P(feminino)=0,

Usando a definição clássica, temos:

P(masculino)=0,50 e P(feminino)=0,

N n

F

A

A

=

n^ N

A

P

A

N

∞ →

=

lim

)

(

IntroduIntrodu

çç

ãoão

y

3 – Conceito subjetivo

A probabilidade é dada por um grau de crença ou de confiança que cada pessoa dá a realização de umevento.

Exemplo: O ministro afirma que a inflação para opróximo ano será de 3%

com uma probabilidade de

Probabilidade de um eventoProbabilidade de um evento

y

Indica a chance de um determinado eventoocorrer dentre todos os eventos possíveis(espaço amostral);

y

Exemplo:

Considere um experimento de seleção de cartasde um baralho. Cada carta tem a probabilidade1/52.

x

A: a carta selecionada é um AS

x

P(A) = 1/52+1/52+1/52+1/52=4/

Principais TeoremasPrincipais Teoremas

y

1. Se

é o conjunto vazio então P(

y

Demonstração:

Seja A um evento qualquer. Considerando que A

∩ φ

φ

temos que P(A

∪φ

)=P(A)+P(

φ

) (Axioma 3)

Como A

∪φ

=A então, P(A) = P(A)+ P(

φ

). Logo P(

φ

Exemplo Teorema 2Exemplo Teorema 2

y

Exemplo:

Um agente de compras declara que há umaprobabilidade de 0,90 de que um fornecedor enviaráuma carga livre de peças defeituosas.

Usando o complemento podemos afirmar que há umaprobabilidade

de 1-0,90 = 0,10 de que a carga

conterá peças defeituosas.

Principais TeoremasPrincipais Teoremas

y

3. Se A

B, então P(A)

P(B)

y

Demonstração:

Considere B= A

(A

c

B). Ora A e A

c

B são

mutuamente exclusivos.

Logo, P(B) = P(A)+P(A

c

B).

P(A

c

B) = P(B)- P(A).

Como P(B)- P(A)

0 por axioma 1.

P(A)

P(B).

Principais TeoremasPrincipais Teoremas

y

4. Teorema da Soma (Lei da Adição) ◦

É útil quando temos dois eventos e estamosinteressados em conhecer a probabilidade de pelomenos um deles ocorra.

Dados dois eventos A e B, estamos interessados emconhecer a probabilidade de que o evento A ouevento B ocorra, ou ambos ocorram:

P(A

B) = P(A) + P(B) - P(A

B)

Demonstração:

x

a) Se A e B são mutuamente exclusivos

◦

P(A

∩

B) = 0.

◦

Recai-se

axioma 3

Principais TeoremasPrincipais Teoremas

x

b) Se A

∩

B

≠ φ

.

◦

A e (A

c

∩

B) são mutuamente exclusivos

◦

Pelo Axioma 2, P(A

∪

A

c

∩

B)=P(A

∪

B)= P(A)+P(A

c

∩

B) (i);

◦

Considerando que B

é a união dos eventos mutuamente

exclusivos (B

∩

A) e (B

∩

A

c

).

Logo, P(B)= P(B

∩

A) +P(B

∩

A

c

);

P(B

∩

A

c

)= P(B)- P(B

∩

A) (ii)

◦

Substituindo (ii) em (i), P(A

∪

B)=P(A)+P(B)-P(A

∩

B)

Exemplo Teorema 4Exemplo Teorema 4

A – o evento que o trabalho termina mais tardeB – o evento que o produto montado édefeituoso.

P(A) = 5/50 = 0,10 P(B) = 6/50 = 0,12 P(A

B)= 2/50=0,

P(A

B) = P(A) + P(B) - P(A

B)= 0,10 + 0,12 - 0,04 = 0,

A

B significa

a probabilidade de um trabalhador terminar

mais tarde ou montar produtos defeituosos.

Probabilidades dos EspaProbabilidades dos Espa

çç

os Amostraisos Amostrais

y

Seja

={a

1

,...,a

n

}. Considera-se cada evento

formado por um resultado simples A={a

i

y

Cada evento simples {a

i

} associa-se um número

p

i

denominado probabilidade de {a

i

satisfazendo as seguintes condições:

a.

p

i

0 i=1,2,...,n

b. p

1

• p

2

+....+p

n

SoluSolu

çç

ãoão

y

Considerando P(C) = p então P(B) = 2p eP(A) = 2 P(B) = 4p. Como a soma dasprobabilidades é 1, então:

p+2p+4p=

ou 7p= 1

ou p=1/

Logo, temos:

y

P(A)=4/7;

y

P(B)=2/7;

y

P(C)=1/7.

EspaEspa

çç

os Amostrais Finitos Equiprovos Amostrais Finitos Equiprov

áá

veisveis

y

Quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade,o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme.

y

Se

Ω

contém

n

pontos, então a probabilidade de cada ponto será

1/n

y

Se um evento A contém r pontos, então:

y

Este método de avaliar P(A) é enunciado da seguinte maneira.

⎞ ⎟ ⎠

⎛⎜ ⎝

=

n

r

A

P

1

)

(

ocorre

amostral

espaço

o

que

em

vezes

de

n

ocorrer

pode

A

evento

o

que

em

vezes

de

n

)

(

o

o

Ω

=

A

P

ou

Ω

de

casos

de

total

n

A

a

favoráveis

casos

de

n

)

(

o

o

=

A

P