Apresentação de integrais no PowerPoint, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

A U L A

M A I O 2 0 0 9 Técnicas de Integração (Primitivação)

uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

Prof. Walter

Técnicas de Integração (Primitivação)

OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –

conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

 f(x)dx F(x) As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são: Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.

• INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
• INTEGRAÇÃO POR PARTES
• INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
• INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

EXERCÍCIO 02 Calcular  sen(x 9)dx Solução Seja u = x + 9 Logo: dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como:  sen(u)du sen(u) ducos(u)Ccos(x9) C 

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

dx du 

EXERCÍCIO 03 Calcular  sen (x)cos(x)dx 2 Solução Seja u = sen(x) Logo: cos(x) dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como:  u du 2 C 3 sen (x) C 3 u u du 3 3 2      cos(x) dx du 

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Assim, a integral dada pode ser escrita como: 2e du 2 e du 2 e C 2 e C u u u x             dx 2 x

dx 2e 2 x

e dx x e (^) x x x   dx 2e du 2 x

2e x u Ou seja: dx^2 e C x e (^) x x    dx 2 du x 1 dx du 2 x 1    outra maneira de chegar aqui sem manipular a função dada é fazendo (página 08):

EXERCÍCIO 05 Calcular  x x 1 dx 2 Solução Seja u = x – 1 Logo: dx = du Se u = x – 1 Então x = u + 1 x^2 = (u+1)^2 x 2 = u 2

• 2u + 1 Assim, a integral dada pode ser escrita como:

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

u C 3

u 5

u 7

u 2u u du^2 3 2 5 2 7 2 1 2 3 2 5     

 Finalmente: Escrevendo em termos de x: (x 1 ) C 3

(x 1 ) 5

(x 1 ) 7

x x 1 dx 2 3 2 5 2 7 2         

EXERCÍCIO 06

Calcular x e dx

x Solução A integral dada deve ser escrita na forma.

udv Seja, portanto:

x e dx

x

u  x (^) dv e dx x  Deste modo:

xe dx udv uv vdu xe e dx xe e C

x x x x x

a constante C pode ser incluída apenas no final.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

du  dx

x x x

dv  e dx  v e dxe

Então:

A última integral é semelhante à original, com a exceção de que x 2 foi substituído por x. ou:

x e dx x e 2 xe dx

2 x 2 x x     

Outra integração por partes aplicada a completará o problema.

x e dx

x   Seja:

u  x dv e dx

x

Assim:

du  dx

x x x

dv e dx v e dx e

  

   Portanto: x e dx udv uv vdu xe ( e ) dx x x x              ou: 1 x x x x x x e dx xe  e dx xe  e C        (2) Substituindo (2) em (1) resulta:

O integrando é uma fração própria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5. Pela regra do fator linear , o fator (x + 2) no denominador introduz o termo: x 2

A

Determinar  (^)  

dx (x 2)(x 3) 3x 4x 16x 20x 9 2 2 4 3 2 EXERCÍCIO 08 Solução

INTEGRAÇÃO UTILIZANDO DECOMPOSIÇÃO EM

FRAÇÕES PARCIAIS: Frações próprias

Pela regra do fator (quadrático) repetido, o fator (x 2

2 presente no denominador introduz os termos: 2 2 2 (x 3) Dx E x 3 Bx C 

Assim, a decomposição em frações parciais do integrando é: 2 2 2 2 2 4 3 2 (x 3) Dx E x 3 Bx C x 2

A

(x 2)(x 3) 3x 4x 16x 20x 9 

Multiplicar os dois lados da equação por (x + 2)(x 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 (x 3) Dx E (x 2)(x 3) x 3 Bx C (x 2)(x 3) x 2

A

(x 2)(x 3) (x 2)(x 3) 3x 4x 16x 20x 9 (x 2)(x 3) 

9A 6C 2 E 9

6B 3C 2D E 20

6A 3B 2C D 16

2B C 4

A B 3

A solução deste sistema resulta: A  1 B 2 C 0 D 4 E 0 Portanto: 2 2 2 2 2 4 3 2 (x 3) 4x x 3 2x x 2

(x 2)(x 3) 3x 4x 16x 20x 9 

Logo: dx (x 3) 4x dx x 3 2x dx x 2 1 dx (x 2)(x 3) 3x 4x 16x 20x 9 2 2 2 2 2 4 3 2                 du lnu C lnx 2 C u 1 dx x 2 1 1 du dx dx du u x 2               dx (x 3) x dx 4 x 3 2x dx x 2 1  ^2 ^22       du lnu C lnx 3 C u 1 dx x 3 2x 2x du 2x dx dx du u x 3 2 2 2              