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Calculo resistente materiais conforme calculos de flambagem, tração compressão traçao
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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a
Niterói, Rio de Janeiro.
300mm 200mm
160mm
2mm D=100mm
F
B
A
C
D
p
Sumário A – RES MAT X
Questões de Testes e Provas (Tração/Compressão Pura).
Questões de Testes e Provas (Corte Puro).
Questões de Testes e Provas (Torção Pura)
d
11.0 - Instabilidade elástica. 11.1 – Introdução............................................................................................................... 11.2 – Flexão composta com força normal em vigas esbeltas........................................... 11.3 – Flambagem de colunas comprimidas...................................................................... 11.4 – Índice de esbeltez.................................................................................................... 11.5 - Carregamento excêntrico. Fórmula da secante....................................................... 11.6 – Instabilidade por vibrações..................................................................................... 11.7 – Pulsação (freqüência) natural nas vibrações livres, sem amortecimento............... 11.8 – Amortecimento viscoso.......................................................................................... 11.9 – Vibrações forçadas. Ressonância............................................................................ 11.10 – Forças transmitidas às bases ................................................................................ 11.11 - Absorvedores de vibrações....................................................................................
12.0 – Apêndice. Tabelas. 12.1 – Geometria das Áreas. 12.2 – Propriedades geométricas dos perfis. 12.3 - Propriedades mecânicas dos materiais. 12.4 – Tabelas de flechas. 12.5 – Respostas das Questões propostas nos Testes e Provas.
Parte 1
Parte 2
Parte 3
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as pro- porções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capa- citá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em condições econômicas.
A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para a análise nesta disciplina.
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender a requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas com falta de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou ferramentas). A ca- pacidade de um elemento reagir às deformações é chamada de rigidez do elemento.
Muitas vezes, apesar de os elementos estruturais satisfazerem aos requisitos de resistência e de rigidez sob a ação das cargas, a estrutura, como um todo, não é capaz de manter o estado de equilíbrio, por instabilidade. A estabilidade das estruturas é outro problema a ser analisado.
Estados perigosos provocados por descontinuidades na geometria dos elemen- tos ( concentração de tensões ), por cargas alternativas ( ressonância e fadiga do ma- terial) e por cargas dinâmicas ( choque mecânico ) serão também estudados.
A escolha dos materiais, das proporções e das dimensões dos elementos de construção deve ser feita baseada em critérios de otimização , visando, invariavelmen- te, a custos mínimos, menores pesos (fundamental na indústria aeronáutica), facilida- de de fabricação, de montagem, manutenção e reparo.
Na solução de seus problemas básicos, a Resistência dos Materiais estabelece modelos matemáticos simplificados (esquemas de cálculo) para descrever a complexa realidade física, permitindo uma fácil resolução dos problemas, obtendo-se resultados aproximados que, posteriormente, são corrigidos através de coeficientes que levam em conta as simplificações feitas. Esses coeficientes de correção ( coeficientes de se- gurança ) são estabelecidos experimentalmente e muitas vezes arbitrados por Normas Técnicas ou em função da habilidade e experiência do projetista.
A solução de problemas mais complexos, para os quais os esquemas simplifi- cados da Resistência dos Materiais não se enquadram, é em geral tratada pela Teoria da Elasticidade (outro ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se propõe a solucionar os mesmos problemas da Resistência dos Materiais, porém através da uti- lização de métodos matemáticos mais complexos, mas de maior abrangência).
BLOCOS a
c e CASCAS
b a FOLHAS CHAPAS
Fig. 1.2.1 – Classificação dos elementos estruturais quanto a sua geometria.
c) Quanto ao carregamento:
Os esforços que atuam nas estruturas serão representados através dos seguintes mode- los simplificados (Fig. 1.2.2):
Forças distribuídas – em volumes (como a ação gravitacional, como as forças de inércia nos corpos acelerados), em superfícies (como a ação de esforços sobre pla- cas, a ação da pressão de fluidos, p = dF/dA) e em linha (como a ação ao longo de vigas, q = dF/dx);
Forças Concentradas – ações localizadas em áreas de pequena extensão quando comparadas com as dimensões do corpo. É fácil perceber que tal conceito
b
(uma força concentrada em um ponto) é uma abstração já que, para uma área de con- tato praticamente nula, uma força finita provocaria uma pressão ilimitada, o que ne- nhum material seria capaz de suportar sem se romper.
Fig. 1.2.2 – Tipos de Carregamento: forças distribuídas (a) em volumes, (b) em superfícies, (c) em linha; (d) forças concentradas.
d) Quanto aos vínculos
Os vínculos são dispositivos mecânicos que impedem certos movimentos da estru- tura ou máquina, através de esforços reativos cujos tipos são estudados nos cursos de Mecânica dos Corpos Rígidos. Para o caso particular e muito comum de esforços coplanares, os vínculos são classificados em três categorias (Fig. 1.2.3)
Apoio móvel - capaz de impedir o movimento do ponto vinculado do corpo numa direção pré-determinada;
Apoio fixo – capaz de impedir qualquer movimento do ponto vinculado do corpo em todas as direções;
(a)
(b)
(c)
(d)
W
P
q(x)
F
dos esforços atuantes, como uma força concentrada equivalente, hipótese válida apenas para pontos afastados em relação ao local onde os esforços são distribuídos, de uma distância d superior a 1,5 a 2,0 vezes a maior dimensão b da distribuição da carga.
Fig. 1.2.4 – Princípio de Saint’Venant.
g) Princípio da Superposição dos Efeitos Os efeitos de um sistema de várias forças agindo em um corpo (ações internas ou de- formações) será igual à soma dos efeitos parciais produzidos nesse corpo quando ca- da esforço é aplicado isoladamente, independentemente da ordem de aplicação. Este princípio, largamente utilizado na Mecânica dos Corpos Rígidos, pode ser estendido aos corpos deformáveis desde que: 1º) os deslocamentos dos pontos de aplicação das forças sejam pequenos quando compara- dos com as dimensões da estrutura (manutenção da geometria inicial); 2º) os deslocamentos devidos às deformações da estrutura variem linearmente com os esfor- ços (proporcionalidade esforço-deformação). Na Fig. 1.2.5 são apresentados dois exemplos sendo um (a) onde o princípio da superposição pode ser aplicado e outro (b), onde não pode ser aplicado. (a) (b) P 1 P (^1)
Fig. 1.2.5 – Princípio da Superposição dos Efeitos
d
b
d + b/
q
esforços q.b internos
Os esforços que atuam sobre um sistema material ou parte de uma estrutura podem ser classificados segundo o quadro:
Permanentes ATIVOS EXTERNOS Acidentais REATIVOS
Força Normal ESFORÇOS Força Cortante SECCIONAIS Momento Fletor INTERNOS Momento Torçor (Torque)
Tensão Normal LOCAIS Tensão Tangencial
a) Esforços Externos – são os que atuam no sistema material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos). Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.). Esses esforços são em geral conhecidos a priori (através das Normas Técnicas, requisitos para o projeto, etc). No projeto de novas estruturas o peso próprio é inicialmente desconhecido já que as dimensões das partes não estão ainda estabelecidas. O peso próprio é levado em conta nesses casos a partir de um peso estimado e utilizando-se um método de cálculo iterativo, rapidamente convergente. Os esforços produzidos pelos vínculos, também externos, são denominados de esforços reativos , ou reações dos apoios, sen- do determinados pelas equações da Estática que regem o equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso que, no caso de carregamentos coplanares, se reduzem a: F (^) x = 0 F (^) y = 0 M (^) z = 0 Quando o número de reações vinculares desconhecidas iguala o número de e- quações da Estática utilizáveis, a estrutura é dita isostática (ou estaticamente deter- minada). Caso o número de reações seja superior ao número de equações disponíveis, estaremos diante de uma estrutura hiperestática. A determinação dos esforços reati- vos nessas estruturas estaticamente indeterminadas será feito utilizando-se equações suplementares que caracterizem a compatibilidade de deformações e que serão estu- dadas no presente curso. Como exemplo, a Fig. 1.3.1 apresenta um esquema da estrutura isostática de um guindaste onde se pode reconhecer que o peso de 20 toneladas como um esforço externo ativo permanente, a carga de 10 tf como um esforço externo ativo transitório. A ponte móvel se apóia no mancal superior B (apoio fixo) e encosta-se em A (apoio móvel) na pista circular fixa à torre. A determinação das reações nesses apoios, feita através das equações da Estática, nos permite obter: A = 10,0 tf ( ); B (^) x = 10,0 tf ( ); B (^) y = 30,0 tf ( ); B = 31,6 tf (71,6º )
b) Esforços Internos Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou ele- mento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. No exemplo da fig. 1.3. podemos reconhecer que a força exercida no rodete A, embora seja um esforço exter- no para a ponte giratória, será um esforço interno para o guindaste como um todo. Para o caso de elementos em forma de barras (caso mais comumente tratado pela Resistência dos Materiais) podemos analisar os esforços internos atuantes em uma seção transversal (perpendicular ao eixo da barra) e reconhecemos que a ação de uma parte da barra sobre a outra pode ser reduzida a uma força F e a um conjugado de momento G. Ao decompormos estes dois esforços na direção do eixo da barra (di- reção normal) e no plano da seção (direção tangente), obtemos os chamados esforços seccionais (ou solicitantes) a saber (fig. 1.3.2):
Fig. 1.3.2 – Esforços Seccionais (ou Solicitantes)
A determinação dos esforços seccionais é feita, da mesma forma que os esfor- ços reativos, através das equações da Estática, analisando o equilíbrio dos esforços que atuam na parte da estrutura que foi hipoteticamente secionada. A seguir são apresentados alguns exemplos de determinação de esforços solici- tantes.
N – Força Normal F Q – Força Cortante
M – Momento Fletor G T – Momento Torque
F
G
Q
N
F
G
M
T
A
z
y
3 kN 600mm
x 300d 350 250 4kN
1 - Na seção flangeada do engaste:
F (^) x = N = 4 kN (tração) F (^) y = Q (^) y = 0 F (^) z = Q (^) z = 3 kN
M (^) x = T = 3 x 0,750 = 2,25 kN.m M (^) y = 3 x 0,600 = 1,80 kN.m M (^) z = 4 x 0,500 = 2,00 kN.m
M = (2 2 + 1,8 2 ) ½^ = 2,69 kN.m
0,80 kN/m 3,2kN
B 5m
4m
2 - Traçar os diagramas de es- forços solicitantes N, Q e M para o pórtico esquematizado:
2, kN
2,
4,0 (^) 3,
C
C
A
1 2
A (^) y
A (^) x
1.4 – Conceito de Tensão.
Os esforços locais , em pontos de uma dada seção, serão analisados através de seus valores específicos (por unidade de área) por meio do conceito de tensão.
A tensão ( S ) presente em um ponto de uma dada seção de uma barra carrega- da é o limite da relação entre a força elementar F e a área A no entorno desse pon- to, quando A tende a zero:
S = Lim ( F / A) = dF / dA ............................. ( 1.4.1 ) A 0 É uma grandeza que tem a mesma dimensão de pressão (como veremos, o es- tado de tensão denominado “pressão” é uma situação particular do caso geral da ten- são), medida em N/m 2 (Pascal – Pa), em kgf/cm 2 , lbf/in 2 (psi), dyn/cm 2 (bar), etc.
Ao decompormos o vetor força elementar dF na direção normal (perpendicular ao plano da seção – dF (^) n ) e na direção do plano da seção (dF (^) t), obtemos as duas com- ponentes da tensão:
tensão normal ......................... dF (^) n / dA ..............................( 1.4.2) (sigma), que pode ser de tração ou compressão (esmagamento), e
tensão tangencial ..................... dF (^) t / dA ............................(1.4.3) (táu), também chamada de tensão de cisalhamento ou cisalhante.
Fig. 1.4.1 – Tensão. Tensão Normal. Tensão Tangencial.
Um fato que, desde o início, deve ser reconhecido é que a tensão que atua em um certo ponto de um certo plano de um corpo carregado depende da orientação do plano selecionado. Num mesmo ponto, porém em um plano diferente, a tensão, em
dF (^) n dF
dA dF (^) t
geral, será diferente. Não são apenas as componentes que se modificam com a orien- tação do plano, mas é o vetor tensão que se altera.
Assim é que, por exemplo, no caso simples de uma barra prismática (Fig. 1.4.2), de pequena seção transversal de área A 0 e submetida a uma força de tração F pelos topos, fácil será concluir que, em um certo ponto P do plano da seção transver- sal, atuará uma tensão normal de tração cujo valor será, em média, F/A 0 , sendo
Fig. 1.4.2 – Variação da tensão com a orientação do plano da seção.
Para uma outra seção, inclinada de um ângulo em relação à seção transversal (a direção normal a esta seção formará também um ângulo em relação ao eixo da barra), a sua área será maior, valendo A = A 0 / cos , e como a força total é a mesma (F), a tensão será, em média, S = F / A 0 cos , e suas componentes valerão:
S cos F cos e S sen F sen cos
Os casos limites em que e , nos levam aos valores 0 F/A 0 e 0, bem como, e
Observe o fato relevante de que, apesar de estar a barra simplesmente traciona- da, nas seções em que º (planos de clivagem), haverá uma tensão tangencial de valor ½ (F/A 0 ) (valor máximo dessa tensão tangencial - metade do valor máximo da tensão normal, ocorrente no plano da seção transversal). Note também que nos planos longitudinais da barra ( ), tanto a tensão normal como a tangencial são nulas. Para identificar o estado de tensão em um ponto de um corpo carregado neces- sário se torna o conhecimento das tensões ocorrentes em três planos ortogonais que se interceptam no ponto considerado, e que são três vetores, totalizando nove compo- nentes escalares. Uma grandeza deste tipo é designada como um tensor de 2ª ordem
F A (^0)
F
F
S = F / (A 0 /cos
F
(A) (B)
Fig. 1.4.4 – Nomenclatura e sinais das tensões (os eixos x,y,z devem formar triedros dire- tos).
A tensão é tangencial, atua numa face que tem o eixo x como normal ex- terna (face positiva), é paralela ao eixo y, em seu sentido negativo. Logo, a tensão será designada pelo símbolo (^) xy e terá sinal negativo;
A tensão 2 é tangencial, atua numa face que tem o eixo z como normal externa (face positiva), é paralela ao eixo x, em seu sentido positivo. Logo, a tensão será de- signada pelo símbolo (^) zx e terá sinal positivo;
A tensão 3 é normal, atua numa face que tem o eixo y como perpendicular, porém é uma face negativa; a tensão é paralela ao mesmo eixo y, e em seu sentido negativo. A tensão será nomeada como (^) y, e terá sinal positivo.
Observe que as tensões (^) ij para as quais i=j são tensões normais sendo posi- tivas, se de tração, e negativas, se de compressão, independentemente do sinal das faces, não necessitando ter seus índices repetidos (seria uma redundância).
Fica como exercício mostrar que: (^) zy (sinal +); (^) yx (sinal -); (^) x (sinal -).
O tensor das tensões [ S ], com suas 9 componentes escalares, é representado por uma matriz quadrada (3 x 3), sendo a diagonal principal composta pelas tensões nor- mais e os elementos secundários pelas tensões tangenciais.
x
y
z
x
y
z
.............................................( 1.4.4 )
Convém realçar que, ao se modificar a orientação dos eixos coordenados, as componentes (^) ij sofrerão alterações, porém o estado de tensão no ponto considerado (dependente do carregamento aplicado ao corpo) se mantém invariante.
É também importante caracterizar desde logo que a matriz em (1.4.4) é simétri- ca em relação à diagonal principal, ou seja:
xy =^ yx yz =^ zy zx =^ xz
A demonstração das equações (1.4.5) pode ser feita analisando-se o equilíbrio de momentos das forças atuantes sobre as faces do paralelepípeto elementar mostrado na Fig. 1.4.3, momentos esses tomados em relação a 3 eixos paralelos aos eixos coor- denados, passando pelos pontos médios das faces (equilíbrio de momentos válido, inclusive, para o caso de o elemento estar acelerado, já que o momento de inércia da massa elementar em relação a um seu eixo é nulo – “M = I ”). Assim, para um eixo paralelo ao z, passante pelo ponto médio da face que lhe é perpendicular, de área dx.dy, as únicas forças atuantes nas demais faces e que provo- cam momentos em relação a tal eixo (as que não o cruzam ou que não lhe são parale- las) serão:
xy (dy.dz) e^ yx (dx.dz), que, multiplicadas pelos respectivos braços para to- mada de momentos nos permite escrever:
xy (dy.dz). (dx/2) =^ yx (dx.dz). (dy/2),
ficando demonstrado que (^) xy = (^) yx. O mesmo procedimento repetido para os outros dois eixos, na mesma condição, nos levará ao que consta nas equações (1.4.5).
Uma conseqüência importante dessa propriedade do tensor das tensões é o fato de que a tensão tangencial no contorno livre de peças carregadas é sempre tangente ao contorno (como mostrado na Fig. 1.4.5)
x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
S =
