Análise de Campos Elétricos: Equações e Cálculos, Manuais, Projetos, Pesquisas de Eletromagnetismo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA – UFU

FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA – FEELT

Professor Ivan Nunes Santos

Apostila de

Eletromagnetismo

Uberlândia

Faculdade de Engenharia Elétrica

Eletromagnetismo

2

SUMÁRIO GERAL

Capítulo Conteúdo Página

1 Análise Vetorial 03

2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 20

3 Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 35

4 Energia Potencial e Potencial Elétrico 51

5 Condutores, Dielétricos e Capacitância 71

6 Equações de Poisson e de Laplace 96

7 Campo Magnético Estacionário 107

8 Forças Magnéticas, Materiais e Indutância 132

9 Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell 157

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4

r s A B r A B s A B

rA rB sA sB

A divisão de um vetor por um escalar é meramente a multiplicação do vetor pelo inverso do

escalar.

A multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida mais adiante ainda neste capítulo.

1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas

Para podermos descrever rigorosamente um vetor, alguns comprimentos, direções, ângulos,

projeções ou componentes específicos devem ser dados. Há três métodos simples de fazê-lo, os

quais serão esmiuçados neste capítulo. O mais simples destes é o sistema de coordenadas

cartesianas ou retangulares. Neste sistema estabelecem-se três eixos coordenados que formam

ângulos retos entre si, denominados de eixos x, y e z.

Na figura abaixo (a) tem-se um sistema de coordenadas cartesianas do tipo triedro direito,

em que se usando a mão direita, então o polegar, o indicador e o dedo médio podem ser

identificados, respectivamente, como os eixos x , y e z. Nesta mesma figura podemos identificar

os planos x = 0 , y = 0 e z = 0.

Tomando-se os ponto

P 1, 2,3 e

Q 2, − 2,1 como exemplo, poderemos identificá-los no

sistema de coordenadas cartesianas conforme figura (b) a seguir. P está, portanto, localizado no

ponto comum da interseção dos planos x = 1 , y = 2 e z = 3 , enquanto que o ponto Q está

localizado na interseção dos planos x = 2 , y = − 2 e z = 1.

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Podemos, conforme a figura (c) acima, deslocar um ponto

P x , y z,

levemente para um

ponto

P ' x + dx y, + dy z, + dz adicionando-se diferenciais de comprimento. O dois pontos P e

P 'formam 6 planos, conforme já falado, os quais definem um paralelepípedo retângulo cujo o

diferencial de volume é dv = dx dy dz; as superfícies possuem áreas diferenciais dS de dx dy ,

dy dz e dz dx. E finalmente, a distância dL

de P a P 'é a diagonal do paralelepípedo e possui um

comprimento de ( ) ( ) ( )

2 2 2

dx + dy + dz.

1.4 Componentes Vetoriais e Vetores Unitários

Para descrever um vetor no sistema de coordenadas cartesianas, consideremos primeiro um

vetor r

partindo da origem até um ponto P qualquer. Se as componentes vetoriais de r

são x

, y

e z

, então r = x + y +z

, conforme mostrado na figura (a) abaixo.

Observação importante: na figura a seguir, extraída do livro de Eletromagnetismo de Jr. W.

H. Hayt e J. A. Buck, a notação de vetor é dada por meio da letra em negrito, enquanto que em nosso

curso usaremos a seta sobre a letra para designação de vetor.

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2 2 2

x y z

B = B + B +B

Cada um dos três sistemas de coordenadas a serem discutidos tem seus três vetores

unitários fundamentais e mutuamente independentes que são usados para analisar qualquer vetor

em suas componentes vetoriais. Contudo, os vetores unitários não são limitados a esta aplicação,

todo vetor tem seu vetor unitário que é facilmente encontrado dividindo o vetor por seu módulo.

Então o vetor unitário de B

é

2 2 2

B

x y z

B B

a

B

B B B

A notação empregada para todo vetor unitário neste curso será o acento circunflexo sobre a

letra do vetor, já no livro usa-se a letra “a” para identificar o mesmo.

Exemplo 01:

Especifique o vetor unitário, em coordenadas cartesianas, dirigido da origem ao ponto

P 2, −2, − 1.

Exemplo 02:

Dados os pontos

M −1, 2,1 ,

N 3, −3, 0 e

P − 2, −3, − 4 , determine:

a)

MN

R

;

b)

MN MP

R +R

;

c)

M

r

;

d)

MP

a ;

e) 2 3

P N

r + r

.

1.5 Introdução aos Campos

Um campo (escalar ou vetorial) pode ser definido matematicamente como função de um

vetor que liga uma origem arbitrária a um ponto genérico no espaço. Note que o conceito de campo

invariavelmente está relacionado a uma região.

Em geral para o campo vetorial, o módulo e a direção da função irão variar à medida que nos

movemos através da região, e o valor da função vetorial deve ser determinado utilizando-se os

valores das coordenadas do ponto em questão. Como consideramos apenas o sistema de

coordenadas cartesianas, devemos esperar que o vetor seja função das variáveis x, y e z.

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Se, novamente, representarmos o vetor posição por r

, então o campo vetorial G

pode ser

expresso, em notação funcional, como G r( )

; o campo escalar T é escrito como T ( r)

havendo

variação apenas do módulo da função.

Pode-se citar como exemplos de campo escalar o campo da temperatura de um líquido no

interior de um prato de sopa em função do vetor posição, ou ainda, o campo potencial elétrico de

uma carga pontual. Por outro lado, são exemplos de campo vetorial a velocidade da corrente de água

de um rio em função do vetor posição, o campo elétrico de uma esfera carregada e o campo

magnético de um fio conduzindo corrente contínua.

Exemplo 03:

Um campo vetorial S

é expresso em coordenadas cartesianas como

2 2 2

x y z

S x a y a z a

x y z

.

a) Calcule S

no ponto

P 2, 4,3 ;

b) Determine o vetor unitário que fornece a direção de S

em P ;

c) Especifique a superfície

f x y z, , na qual S = 1

.

1.6 Produto Escalar

Dados dois vetores A

e B

, o produto escalar, ou produto interno, é definido como o

produto entre o módulo de A

, o módulo de B

e o cosseno do menor ângulo entre eles. Assim,

cos

AB

A B⋅ =A B θ

O ponto aparece entre os dois vetores e deve ser forte para dar mais ênfase, lê-se “ Aescalar

B ”. O produto escalar tem como resultado um escalar, como o próprio nome indica, e obedece à

propriedade comutativa, pois o sinal do ângulo não afeta o termo cosseno.

A B⋅ = B ⋅A

A determinação do ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional é muitas vezes um

trabalho que se prefere evitar. Por essa razão, a definição de produto escalar normalmente não é

usada em sua forma básica. Um resultado mais útil é obtido considerando-se dois vetores cujas

componentes cartesianas são dadas por

x x y y z z

A = A a + A a +A a

e

x x y y z z

B = B a + B a +B a

. O

produto escalar também obedece à propriedade distributiva, portanto, A B⋅

fornece uma soma de

nove termos escalares, cada um envolvendo o produto escalar de dois vetores unitários. Então,

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10

Exemplo 04:

Considere um campo vetorial ˆ 2, 5 ˆ 3 ˆ

x y z

G = ya − xa + a

e o ponto

Q 4,5, 2. Deseja-se encontrar:

a) O vetor G

no ponto Q ;

b) A componente escalar de G

no ponto Q na direção de

( )

1

3

N x y z

a = a + a − a ;

c) A componente vetorial de de G

no ponto Q na direção de ˆ

N

a ;

d) O ângulo

Ga

θ entre

( ) Q

G r

e ˆ

N

a.

Exemplo 05:

Os três vértices de um triângulo estão localizados em

A 6, −1, 2 ,

B −2,3, − 4 e

C −3,1,.

Determine:

a)

AB

R

;

b)

AC

R

;

c) O ângulo

BAC

θ no vétice A ;

d) A projeção de

AB

R

em

AC

R

;

e) O vetor projeção de

AB

R

em

AC

R

.

1.7 Produto Vetorial

Dados dois vetores A

e B

, definiremos agora o produto vetorial, ou produto cruzado, de A

e B

, escrito com uma cruz entre os dois vetores, como A ×B

, e lido “ A vetorial B ”.

O produto vetorial A ×B

é um vetor; o módulo de A ×B

é igual ao produto dos módulos de

A

, B

e o seno do menor ângulo entre A

e B

; a direção de A ×B

é perpendicular ao plano que

contém A

e B

e está ao longo de duas possíveis perpendiculares que estão no sentido do avanço de

um parafuso direito à medida que A

é girado para B

, conforme figura a seguir.

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Na forma de equação, podemos escrever

N AB

A × B =a A B sen θ

Outra forma de determinar o sentido do vetor

N

a é por meio da regra da mão direita. O

produto vetorial não é comutativo, já que

A × B = − B ×A

.

Se a definição de produto vetorial é aplicada aos vetores unitários

x

a e ˆ

y

a , encontramos

ˆ ˆ ˆ

x y z

a × a = a , onde cada vetor possui módulo unitário, os dois vetores são perpendiculares e a

rotação de

x

a para ˆ

y

a indica a direção positiva de z pela definição do sistema de coordenadas do

tipo triedro direito. De maneira semelhante, ˆ ˆ ˆ

y z x

a × a = a e ˆ ˆ ˆ

z x y

a × a = a.

O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho do que o cálculo

do produto escalar, porém este trabalho pode ser evitado usando-se as componentes cartesianas

para os dois vetores A

e B

e expandindo-se o produto vetorial como a soma de nove produtos

vetoriais, cada um envolvendo dois vetores unitários.

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x x x x y x y x z x z

y x y x y y y y y z y z

z x z x z y z y z z z z

A B A B a a A B a a A B a a

A B a a A B a a A B a a

A B a a A B a a A B a a

× = × + × + ×

+ × + × + ×

+ × + × + ×

Já vimos que ˆ ˆ ˆ

x y z

a × a = a , ˆ ˆ ˆ

y z x

a × a = a e ˆ ˆ ˆ

z x y

a × a = a. Os três termos remanescentes são

iguais a zero, pois o produto vetorial de qualquer vetor por ele mesmo é igual a zero, já que o seno

do ângulo envolvido é nulo. Estes resultados podem ser combinados para se obter

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Os vetores unitários apontam na direção crescente dos valores das coordenadas e são

perpendiculares à superfície na qual esta coordenada é constante, sendo os três vetores

especificados como: aˆ

ρ

, aˆ

φ

e

z

a. A figura (b) anterior mostra estes três vetores.

Os vetores unitários são novamente mutuamente perpendiculares, pois cada um é normal a

uma das três superfícies mutuamente perpendiculares, definindo-se, um sistema de coordenadas

cilíndricas do tipo triedro direito, no qual ˆ ˆ ˆ

z

a a a

ρ φ

× = ou um sistema no qual o polegar, o indicador

e o dedo médio da mão direita apontam, respectivamente, na direção crescente de ρ , φ e z.

Um elemento diferencial de volume em coordenadas cilíndricas pode ser obtido

aumentando-se ρ , φ e z de incrementos diferenciais d ρ , d φ e dz. Os dois cilindros de raios ρ e

ρ + dρ, os dois planos radiais nos ângulos φ e φ + dφ e os dois planos “horizontais” nas

“elevações” z e z + dzlimitam um pequeno volume, como mostrado na figura (c) anterior. Note

que d ρ e dz têm dimensões de comprimento, mas d φ não tem; ρ dφ é o comprimento. O volume

aproximado da figura será dado por ρ d φ d ρ dz, pois a forma do elemento de volume, por ser

muito pequeno, aproxima-se à de um paralelepípedo.

As variáveis dos sistemas de coordenadas retangular e cilíndrico são facilmente relacionadas

umas com as outras. Temos que

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x cos

y sen

z z

ρ φ

ρ φ

Do outro ponto de vista, podemos expressar as variáveis cilíndricas em temos de x , y e z

2 2

arctan

x y

y

x

z z

O valor adequado do ângulo φ é determinado por inspeção dos sinais de x e y , para

encontrar o quadrante do ângulo.

Dado o vetor cartesiano

x x y y z z

A = A a + A a +A a

desejamos encontrar o mesmo vetor, porém em coordenadas cilíndricas, do tipo

z z

A A a A a A a

ρ ρ φ φ

Para determinar qualquer componente de um vetor em uma direção desejada basta fazer o

produto escalar entre o vetor e o vetor unitário na direção desejada. Assim,

z z

A A a

A A a

A A a

ρ ρ

φ φ

desenvolvendo-se as equações, tem-se

x x y y

x x y y

z z

A A a a A a a

A A a a A a a

A A

ρ ρ ρ

φ φ φ

Analisando-se a figura abaixo, podemos identificar o ângulo entre

x

a e

ˆ a

ρ

como sendo φ , e

assim, ˆ ˆ cos

x

a a

ρ

⋅ = φ; já o ângulo entre ˆ

y

a e aˆ

ρ

como sendo 90º− φ e assim, ˆ ˆ

y

a a sen

ρ

⋅ = φ. Os

produtos escalares entre os vetores unitários estão resumidos na tabela abaixo.

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Exemplo 10:

Tranforme para coordenadas cilíndricas:

a)

x y z

F = a − a + a

no ponto

P 10, −8, 6 ;

b) ( ) ( )

x y

G = x + y a − y − x a

no ponto P ( ρ φ, ,z);

c) Determine as componentes cartesianas do vetor 20 ˆ 10 ˆ 3 ˆ

z

H a a a

ρ φ

em

P x = 5, y = 2, z= − 1.

1.9 Sistema de Coordenadas Esféricas

A figura (a) abaixo mostra o sistema de coordenadas esféricas sobre os três eixos cartesianos.

Inicialmente, definimos a distância da origem a qualquer ponto como r. A superfície r = constante é

uma esfera.

A segunda coordenada é o ângulo θ entre o eixo z e a linha desenhada da origem ao ponto

em questão. A superfície θ = constante é um cone.

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A terceira coordenada é o ângulo φ , exatamente o mesmo ângulo φ das coordenadas

cilíndricas. Ele é o ângulo entre o eixo x e a projeção no plano z = 0 da linha desenhada da origem

ao ponto. A superfície

constante é um plano que passa pelo eixo z.

Podemos novamente considerar qualquer ponto como a interseção de três superfícies

mutuamente perpendiculares – uma esfera, um cone e um plano – cada uma orientada na maneira

descrita anteriormente e mostrada na figura (b) acima.

Os três vetores unitários são ˆ

r

a , aˆ

θ

e aˆ

φ

. Os mesmos encontram-se mutuamente

perpendiculares e definem um sistema de coordenadas esféricas do tipo triedro direito, em que

ˆ ˆ ˆ

r

a a a

θ φ

× =. Pela regra da mão direita o polegar, o indicador e o dedo médio indicam,

respectivamente, r , θ e φ , conforme pode ser visualizado na figura (c) acima. Note que a

componente φ , diferentemente do que foi verificado nas coordenadas cilíndricas, é o 3º termo e

não o 2º.

Um elemento diferencial de volume pode ser construído em coordenadas esféricas

aumentando-se r , θ e

por dr , d θ e

d φ

, como mostra a figura (d) anterior. A distância entre as

duas superfícies de raios r e r + dr é dr ; a distância entre os cones com ângulos de geração θ e

θ + dθ

é r d θ e a distância entre os dois planos radiais de ângulos φ e φ + dφé calculado como

sendo

r sen θ dφ

. O volume aproximado do elemento será

2

r sen θ dr d θ dφ.

A transformação de escalares do sistema de coordenadas esféricas para cartesianas pode ser

feita usando-se

cos

cos

x r sen

y r sen sen

z r

θ φ

θ φ

θ

A transformação no sentido inverso é realizada com a ajuda de

2 2 2

2 2 2

arccos 0º 180º

arctan

r x y z r

z

x y z

y

x

A transformação dos vetores requer a determinação dos produtos vetoriais entre os vetores

unitários das coordenadas cartesianas e esféricas. Os produtos são obtidos de maneira análoga ao

exposto para as coordenadas cilíndricas. Os mesmos podem ser observados na tabela a seguir.

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Exemplo 12:

Dados dois pontos,

A −3, 2,1 e

B 5, 20º , −70º , determine:

a) As coordenadas esféricas de A ;

b) As coordenadas cartesianas de B ;

c) A distância entre A e B.

Exemplo 13:

Transforme os seguintes vetores para suas coordenadas esféricas nos pontos dados:

a) 10 ˆ

x

a em

P −3, 2, 4 ;

b) 10 ˆ

y

a em

Q 5,30º , 4 ;

c)

z

a em

M 4,110º ,120º.

Exemplo 14:

Transforme os seguintes vetores para suas coordenads esféricas nos pontos dados:

a)

15 a

ρ

em

P 1, −3,5 ;

b)

15 a

φ

em

Q 2, −10º , − 3 ;

c)

z

a em

M 3, 45º , 60º.

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2 – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO

2.1 Lei de Coulomb

Lei de Coulomb: a força elétrica aplicada por um corpo carregado em outro, depende

diretamente do produto das intensidades das duas cargas e inversamente do quadrado de suas

distâncias, ou ainda,

1 2

2

Q Q

F k

R

[N]

Onde k é chamada de constante de Coulomb. Esta equação é aplicada para objetos

carregados cujo tamanho é muito menor que a distância entre estes, ou seja, somente para cargas

pontuais.

A constante k

é dada por

0

k

onde

0

ε é chamada de constante elétrica ou constante de permissividade do ar, sendo seu valor, no

SI (Sistema Internacional), igual a

12 2 2

0

ε 8,85418781762 10 C /N m

−

= × ⋅

9 2 2

k = 8,99 × 10 N m⋅ /C

A lei de Coulomb é agora

1 2

2

0

Q Q

F

πε R

Para podermos representa o vetor força da lei de Coulomb, precisamos saber se a força que

atua sobre as cargas é de repulsão ou atração. Pois, como é sabido, cargas de mesmos sinais se

repelem e cargas de sinais contrários se atraem.