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Apostila para vibrações, Exercícios de Engenharia Mecânica

Material para auxiliar na disciplina vibrações

Tipologia: Exercícios

2021

Compartilhado em 23/05/2021

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Notas de Aulas Período 2013.1: Vibrações Mecânicas Professor Antonio Almeida Silva
(UFCG/CCT/UAEM)
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA MECÂNICA
APOSTILA DE CURSO
DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS (CÓDIGO: 1105021)
Prof. Dr. Antonio Almeida Silva
Campina Grande PB
2013
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(UFCG/CCT/UAEM)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADÊMICA DE ENGENHARIA MECÂNICA

APOSTILA DE CURSO

DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS (CÓDIGO: 1105021)

Prof. Dr. Antonio Almeida Silva

Campina Grande – PB 2013

(UFCG/CCT/UAEM)

2

CAPÍTULO 1 – FUNDAMENTOS DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Sumário:

 Importância do estudo da vibração: breve histórico e movimentos relativos em sistemas mecânicos vibratórios;  Causas, efeitos e controle da vibração: fontes de excitações, tensões atuantes, conforto e estabilidade de sistemas;  Conceitos de vibrações: graus de liberdade, modelos de sistemas discretos e contínuos;  Classificação e procedimento de análise de vibrações: elementos de mola, de massa ou inércia e de amortecimento;  Movimento harmônico simples: representação matemática no tempo e em freqüência, parâmetros de medidas e análise;  Vibrações complexas: análise harmônica pelo teorema de Fourier, representações no domínio do tempo e da frequência.

1.1 Importância do Estudo da Vibração

Breve histórico (grandes nomes)

 Pitágoras (582-507 a.C.) é considerado um pioneiro a investigar sons

musicais com base científica. Realizou experiências com uma corda vibratória conhecida como monocórdio ;  Zhang Heng (132 d.C.) desenvolveu um instrumento para medir terremotos, utilizando um mecanismo de alavancas articuladas em 8 direções (precursor do sismógrafo );  Galileu Galilei (1564-1642) é considerado o fundador da ciência experimental e estudou o comportamento do pêndulo simples , medindo o período dos movimentos e relacionando o seu comprimento com a frequência de oscilação;  Isaac Newton (1642-1727) publicou sua obra Principia Mathematica em 1686, na qual descreve a lei da gravitação universal, bem como as leis do movimento utilizadas para derivar as equações do movimento de um corpo em vibração;  Leohnard Euler (1707-1783) foi um grande matemático e também se dedicou à mecânica, astronomia e à ótica. Seu tratado de 1736, Traité Complet de Mechanique , foi a primeira obra de análise aplicada à ciência do movimento , apresentando contribuições a física newtoniana;  Jean D’Alembert (1717-1783) desenvolveu o método para estabelecer a equação diferencial do movimento de uma corda ( equação de onda ), em suas memórias publicadas pela Academia de Berlim em 1750;  Joseph Lagrange (1736-1813) apresentou a solução analítica da corda vibratória em suas memórias (Academia de Turim, 1759), que admitia a corda composta por um número finito de partículas de massas idênticas espaçadas igualmente e estabeleceu a existência de um número de frequências independentes igual ao número de partículas;  Joseph Fourier (1768-1830) lançou em 1822 sua obra mais notável, Théorie Analytique de la Chaleur , onde demonstrou que a condução do calor em corpos sólidos poderia ser expressa por séries infinitas. Também dedica toda uma seção à solução do "desenvolvimento de uma função arbitrária qualquer, em uma série de senos e co-senos";  Charles Coulomb fez estudos teóricos e experimentais em 1784 sobre as oscilações torcionais de um cilindro de metal suspenso por um arame, cujo torque resistente do arame é proporcional ao ângulo de torção.

(UFCG/CCT/UAEM)

1.3 Conceitos Básicos de Vibrações

1.3.1 Graus de liberdade de um sistema (GDL)

“Número mínimo de coordenadas independentes requeridas para determinar completamente as posições de todas as partes de um sistema a qualquer instante” (Rao, 2009).

Exemplos de modelos de 1 GDL

O pêndulo simples mostrado na Fig. (1.11) representa um modelo de sistema com apenas um grau de liberdade. O movimento do pêndulo pode ser definido em termos do ângulo θ ou em termos das coordenadas cartesianas x e y. Neste caso, constatamos que a escolha de θ como a coordenada independente será mais conveniente. Outros modelos adotados são ilustrados na Fig. (1.12).

Exemplos de modelos de 2 e 3 GDL

Alguns modelos de sistemas de dois e três graus de liberdade são mostrados nas Figs. (1.13) e (1.14), respectivamente. A Fig. (1.13a) mostra um sistema de duas massas e duas molas que é descrito pelas duas coordenadas lineares x 1 e x 2. A Fig. (1.13b) denota um sistema de dois rotores cujo movimento pode ser especificado em termos de θ 1 e θ 2.

(UFCG/CCT/UAEM)

Nos sistemas mostrados nas Figs. (1.14a) e (1.14c), as coordenadas xi (i=1, 2, 3) e θi (i=1, 2, 3) podem ser usadas, para descrever o movimento.

1.3.2 Sistemas discretos e contínuos

Uma grande quantidade de sistemas práticos pode ser descrita usando um número finito de graus de liberdade, como os sistemas mostrados nas Figs. (1.11 a 1.14). Alguns sistemas, em especial os que envolvem elementos elásticos contínuos, têm um número infinito de graus de liberdade como o exemplo simples de uma viga em balanço (Fig. 1.15).

Sistemas com um número finito de graus de liberdade são denominados “sistemas discretos” ou de “parâmetros concentrados”, e os que têm um número infinito de graus de liberdade são denominados “sistemas contínuos” ou “distribuídos” (Rao, 2009).

Na maioria das vezes, os sistemas contínuos são aproximados como sistemas discretos , cujas soluções são obtidas de maneira mais simples. Embora tratar um sistema contínuo dê resultados exatos, os métodos analíticos disponíveis para lidar com sistemas contínuos estão limitados a uma pequena quantidade de problemas como vigas uniformes, hastes delgadas e placas finas. Por consequência, grande parte dos sistemas práticos são estudados tratando-os como massas, molas e amortecedores concentrados. Em geral obtêm-se resultados mais precisos aumentando-se o número de graus de liberdade.

(UFCG/CCT/UAEM)

Em alguns casos, a excitação é não determinística ou aleatória ; o valor da excitação em dado instante não pode ser previsto por equações analíticas (ex. velocidade dos ventos, aspereza de uma estrada, movimento do solo durante terremotos), e nesses casos só é possível estimar através de parâmetros estatísticos (média, média quadrática e RMS).

1.4.2 Procedimento de análise de vibrações

Um sistema vibratório é um sistema dinâmico no qual as variáveis como as excitações (entradas) e respostas (saídas) são dependentes do tempo. Em geral, a resposta de um sistema depende das condições iniciais, bem como das excitações externas. Assim, a análise de um sistema vibratório normalmente envolve as seguintes etapas:

Etapa 1: Modelagem matemática

A finalidade é representar os aspectos importantes do sistema com o propósito de obter as equações analíticas que governam o seu comportamento.

Etapa 2: Derivação das equações governantes

Uma vez disponível o modelo matemático , usamos os princípios da dinâmica e derivamos as equações que descrevem a vibração do sistema. As equações de movimento estão normalmente na forma de um conjunto de equações diferenciais ordinárias para um sistema discreto e equações diferenciais parciais para um sistema contínuo.

Etapa 3: Solução das equações governantes

As equações de movimento devem ser resolvidas para determinar a resposta do sistema vibratório. Dependendo da natureza do problema, podemos usar métodos padronizados para resolver as equações diferenciais , métodos que utilizam transformadas de Laplace, métodos matriciais e métodos numéricos.

Etapa 4: Interpretação dos resultados

A solução das equações governantes fornece deslocamentos, velocidades e acelerações das várias massas do sistema. Esses resultados podem ser interpretados com uma clara visão da finalidade da análise e das possíveis implicações dos resultados no projeto.

1.4.3 Elementos de massa ou inércia

Admite-se que o elemento de massa ou inércia é um corpo rígido e pode ganhar ou perder energia cinética sempre que a velocidade do corpo mudar. Pela segunda lei do movimento de Newton, o produto da massa por sua aceleração é igual à força aplicada à massa. Como exemplo, consideremos a viga em balanço com uma massa na extremidade ilustrada na Fig. (1.21a).

Para uma análise rápida e de razoável precisão, a massa da viga é desprezível em comparação com a massa principal e o sistema pode ser modelado como um sistema de 1 GDL (Fig. 1.21b). Porém, como será mostrado mais adiante, essa simplificação pode resultar numa variação significativa no cálculo da frequência natural do sistema.

(UFCG/CCT/UAEM)

Associação de elementos de massa

Em muitas aplicações práticas, várias massas aparecem associadas (Fig. 1.29a). Para uma análise simples, podemos substituir essas massas por uma única massa equivalente, como ilustrado na Fig. (1.29b). Podemos supor que a massa equivalente está localizada na posição da massa m 1. Igualando a energia cinética do sistema de massa equivalente, obtemos

3

2

1

3 2

2

1

2

eq 1 m

l

l

m

l

l

m m 

1.4.4 Elementos de molas

Uma mola linear é um tipo de elo mecânico cuja massa e amortecimento são, de modo geral, considerados desprezíveis. Pela lei de Hooke , a força da mola é proporcional à quantidade de deformação e é dada por F=k x , onde F é a força aplicada, x a deformação linear e k é a rigidez da mola ou constante elástica.

(UFCG/CCT/UAEM)

Se keq denotar a constante elástica equivalente, então para a mesma deflexão estática, teremos,

Wkeq  (^) stk 1  1  k 2  2 (1.5)

Substituindo os valores de δ 1 e δ 2 da Eq. (1.5) na Eq. (1.4), obtém-se

1 2

keq k k

A equação pode ser generalizada para o caso de n molas em série:

keq k k kn

1 ...

1 1 1

1 2

    (1.7)

1.4.5 Elementos de amortecimento

Em muitos sistemas práticos, parte da energia de vibração é geralmente convertida ou dissipada na forma de calor ou som. Em virtude da redução da energia, a resposta do sistema, também diminui com o amortecimento. Admite-se que um amortecedor não tem massa nem elasticidade, e que a força de amortecimento só existe se houver uma velocidade relativa entre suas extremidades.

a) Amortecimento viscoso

É o mecanismo de amortecimento mais usado em análise de vibração. Nesse caso, a força de amortecimento é proporcional à velocidade do corpo em vibração. Exemplos típicos de amortecimento viscoso são: (1) película de óleo entre superfícies deslizantes; (2) fluxo de fluido ao redor de um pistão dentro de um cilindro; (3) película de óleo ao redor de um mancal de rolamento.

(UFCG/CCT/UAEM)

b) Amortecimento de Coulomb ou por atrito seco

Aqui, a magnitude da força de amortecimento é constante, mas no sentido oposto ao movimento do corpo vibratório, causado pelo atrito entre as superfícies em contato que estejam secas ou com lubrificação deficiente.

c) Amortecimento material ou por histerese

Quando um material é deformado, ele absorve e dissipa energia. O efeito deve-se ao atrito entre os planos cristalinos internos, que deslizam ou escorregam enquanto as deformações ocorrem. Quando um corpo com amortecimento material é sujeito à vibração, o diagrama tensão-deformação mostra um ciclo de histerese (Fig. 1.33a), cuja área desse ciclo denota a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao amortecimento (Fig. 1.33b).

Figura 1.33 - Ciclo de histerese para materiais elásticos.

1.5 Movimento Harmônico e Conceitos Básicos

1.5.1 Caracterização do fenômeno vibratório

Uma forma de modelar a vibração é pelo deslocamento da massa ao longo do tempo, resultando num movimento oscilatório, conforme ilustra a Fig. (1.34).

Figura 1.34 - Vibração pelo movimento harmônico subamortecido.

Se o movimento for repetido a intervalos de tempos iguais, é denominado movimento periódico. O tipo mais simples é o movimento harmônico simples com período de vibração T. O deslocamento x em relação ao tempo t pode ser representado conforme a Fig. (1.35a).

(UFCG/CCT/UAEM)

1.6 Vibrações Complexas e Análise Harmônica

1.6.1 Funções periódicas e o teorema de Fourier

“Qualquer função periódica x ( t ), não importa o grau de complexidade, pode ser

representada por uma combinação de um número de curvas senoidais e cossenoidais puras com freqüências harmonicamente relacionadas entre si”, dada pela equação de Fourier :

  1

1 2 1 2

( cos( ) ( )) 2

cos( ) cos( 2 ) ( ) ( 2 ) ... 2

n

n n

o

o

a n t b sen n t

a

a t a t bsen t b sen t a xt

onde ao é a amplitude média, a 1 , a 2 ,..., an eb 1 , b 2 ,..., bn são as amplitudes das

componentes cosenoidais e senoidais, e  , 2 ,..., n são as suas respectivas harmônicas.

1.6.2 Análise de sinais periódicos e séries de Fourier

Utilizando os conceitos da série de Fourier discreta, pode-se encontrar a descrição temporal de sinais periódicos, utilizando o seguinte procedimento:

 1

sin

cos

n

n n

o t

T

n

t b

T

n

a

a

xt

onde, as constantes podem ser calculadas por ( ver Exercício_03 ):

T o xtdt T

a (^) 0 ()

n ^ T t dt

T

n

xt

T

a 0

()cos

n ^ T t dt T

n xt T

b (^) 0

()sin

Pode-se ainda calcular os parâmetros de média, média quadrática e RMS:

T xt dt

T

x 0 ()

;   T^ x tdt

T

x^2 02 ()

; rms  (^)  Tx tdt T

x (^) 0 2 ()

1.6.3 Representações nos domínios do tempo e da frequência

A expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função periódica usando uma representação no domínio do tempo ou da frequência. Por exemplo, uma função harmônica dada por x ( t ) A 1 cos( t ) A 2 cos( 2t ), que ilustra a vibração típica de aceleração de um pistão automotivo no domínio do tempo ( ver Exercício_04 ), pode ser representada pela amplitude e pelas suas componentes de frequências através do seu espectro em frequência, que consiste de linhas discretas mostrando as principais componentes de frequências do sinal.

(UFCG/CCT/UAEM)

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Capítulo 1 - Fundamentos de Vibrações

Exercício_01 (P 2.3, Thomson)

Na figura (a) um peso de 44,50 N ligado à extremidade inferior de uma mola cuja extremidade superior é fixa, vibra com um período natural de 0,45 s. Determinar o período natural quando um peso de 22,25 N é ligado ao meio da mesma mola, com ambas as extremidades fixas, conforme a figura (b).

Solução:

Considerando a montagem da esquerda (a): (^) fn 1  1 T 1  10 , 45  2 , 22 Hz (E.1)

e calculando a respectiva frequência natural:  n 1  2  fn 1  13 , 96 rad / s (E.2)

Donde pode-se obter a rigidez da mola, a partir da relação:

k m N m m

k n (^ n ) (^4 ,^54 )(^13 ,^96 )^885 /

2 2

 1     1   (E.3)

Considerando a segunda montagem à direita (b), onde a mola suporta agora uma massa de 22,25 N ( m 2 =0,5m 1 ), passa-se a ter duas molas em paralelo, e devido à redução do seu comprimento à metade, as novas constantes de rigidez passam a ser: (^) k 1 (^)  k 2  2 k.

Calculando a rigidez equivalente, keqk 1  k 2  4 k  3540 , 40 N / m. (^) (E.4)

Logo, a nova frequência natural será: rad s m

keq n (^) 2 , 27 39 ,^5 /

2

 2    (E.5)

Consequentemente, s

f

f Hz e T

n

n

n

n^0 ,^159

2

2

(E.6)

(UFCG/CCT/UAEM)

Uma rotina no Matlab ilustra cada uma das funções e o resultado da soma, obtida através do método da superposição (curva de linha pontilhada).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

5

10

15

20

SINAL TEMPORAL

tempo (s)

x(t)

x1=10.cos(wt) x2=15.cos(wt+2) xt=x1+x

(UFCG/CCT/UAEM)

Exercício_03 ( Expansão de Fourier em sinais periódicos )

Dada a função periódica abaixo (onda retangular), descrever a expansão dos sinais no tempo na forma de séries de Fourier. Encontrar a equação geral e executar uma rotina de simulação no Matlab para número de termos crescentes: ex: n=5 ; n=10 ; n=.

Solução:

Calculando os coeficientes de Fourier através das integrais:

1 1 ( 1 ) ( 1 ) 2

2 () (^2 ) 0 0

2 0        

  

 

  

xtdt dt dt t t T

a (E.1)

( 1 )cos( ) ( 1 )cos( ) 2

()cos(

2

0

2 0 0

  ^  

 

n

sennt n

sennt n

a

tdt ntdt ntdt T

n xt T

a

n

T n

(E.2)

    n ímpar

n n

nt n

nt n

b

tdt senntdt senntdt T

n xt sen T

b

n

T n

cos( )

cos( )

2

0

2 0 0

  ^  

 

(E.3)

Com a substituição dos coeficientes na série da Eq. (1.13), abaixo, obtemos:

1

( cos( ) ( ))

n

n n

xt ao^ a n  t b sen n  t

(E.4)

0 .cos

1 1

xt sen t sen t sen t

n

sennt

t

n

sen

n

t

n

x t

n n

(E.5)

ω t

x(t) 1

- ^0^2 ^3  - 1

 ...

(UFCG/CCT/UAEM)

Exercício_04 ( P 1.89, Rao )

Um mecanismo típico de manivela cursor vertical (pistão automotivo) é mostrado na Fig. 1.96, representando um sistema de 1 GDL na coordenada xp.

Solução:

Considerando o ponto de referência O para o pistão na posição superior, e lembrando que o segmento BC é comum aos dois triângulos, pode-se obter as relações:

l sen   rsen  , o que resulta,

12 2 2

2

cos 1 

   sen 

l

r

Assim, a equação da posição, pode ser obtida na forma,

12 2 2

2

( ) cos cos cos 1 

          sen 

l

r

xpt r l r l r l r l^ (E.1)

Usando uma aproximação da série, para 2 termos: (^1)   1  21 , e após algumas manipulações algébricas, a Eq. (E1) acima fica,

  cos 2 t

4 l

r

r cos t

2 l

r

xp(t) r 1  ^ (E.2)

Assumindo ( r/l )<1/4, a equação geral da posição yp fica

   cos 2 t

4 l

r

r cos t

2 l

r

y p(t) xp(t) r 1  ^ (E.3)

Derivando a Eq. (E.3) em relação ao tempo, obtém-se a velocidade do pistão,

sen t

l

r

vpt r sen t 

2

 ^ (E.4)

Derive uma expressão para o movimento do pistão P em termos do comprimento da manivela r , comprimento da biela l e da velocidade angular constante da manivela ω.

a) Discuta a viabilidade de usar o mecanismo para geração de movimento harmônico e analise essa solução para velocidades e acelerações;

b) Determine o valor de l/r para o qual a amplitude da harmônica mais alta é menor que a primeira harmônica por um fator de no mínimo 25.

(UFCG/CCT/UAEM)

Analogamente, derivando mais uma vez a Eq. (E.4), obtém-se a aceleração do pistão,

t

l

r

ap t r t 

()  cos cos 2

2 2

^2 ^ (E.5)

Realizando a simulação no Matlab, para a relação r l0 , 33 tem-se as curvas abaixo:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.

0

10

20

30

SINAL DESLOCAMENTO

tempo (s)

x x xd

(^00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 )

5

10

15

20

FFT do Sinal

freguência (Hz)

Xf(w)

-2000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.

0

1000

2000

SINAL DE VELOCIDADE

tempo (s)

x x xv

-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.

-0.

0

1

1.5 x 10

(^5) SINAL DE ACELERAÇÃO

tempo (s)

x x xa

Obs : Analisando as curvas, percebe-se que para relações rl  0 , 3 , a presença da segunda

harmônica já se faz notar, especialmente distorcendo as curvas de velocidade e aceleração do pistão. (ver artigo anexo).