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TEORIA MODERNA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
É expressamente proibida a reprodução total ou parcial da presente obra, sem menção bibliográfica, autorização do autor, nos mesmos termos da Lei que disciplina os Direitos Autorais n° 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos desta edição reservados ao autor e à On Sapiens – tecnologia educacional.
Prof. Valter Roberto dos Santos Pereira
III.3 a definição de juros compostos
III.3 b fórmula para cálculo do montante ( FV )
III.3 c exemplo padrão
III.3 d comparação entre juros simples e juros compostos
III.3 e aplicação prática da fórmula de juros compostos
III.3 f “passeio” pela curva dos juros compostos
III.3 g equivalência das taxas de juros
III.3 h combinação de juros simples e juros compostos
VI.3 a pagamentos postecipados
VI.3 b pagamentos antecipados
VI.3 c programação da taxa interna de retorno na HP-12C
VI.4 APÊNDICE DE FUNÇÕES ELEMENTARES DA HP-12C
Este curso foi desenvolvido com o objetivo de permitir ao aluno compreender os conceitos fundamentais da matemática financeira e, só então, escolher as ferramentas disponíveis para obtenção das respostas aos desafios financeiros de seu dia a dia.
Essas ferramentas são as calculadoras financeiras, planilhas eletrônicas , tabelas de índices e, o que é mais importante, seus conhecimentos conceituais do assunto. Como nem todos os casos reais podem ser resolvidos através de máquinas e planilhas, nossa principal abordagem será a de consolidar esses conhecimentos e mostrar como pode ser fácil seu aprendizado.
A Matemática Financeira é o ramo da matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo.
São duas as maiores dificuldades enfrentadas na aplicação da matemática financeira. A primeira é a necessidade de alguns conhecimentos de matemática básica e, a segunda, é o cuidado que se deve tomar na compatibilidade dos dados financeiros.
No capítulo II apresentamos os principais conceitos de Álgebra que servirão de suporte ao entendimento das fórmulas dos cálculos financeiros. O domínio destes conceitos permite ao aluno não precisar “decorar” fórmulas - que fatalmente serão esquecidas rapidamente -, bem como correr riscos de introduzir dados incompatíveis em sua calculadora.
A utilização de calculadoras, sem o conhecimento dos conceitos financeiros adequados, pode levar a valores incorretos e decisões erradas, com conseqüentes prejuízos financeiros.
No capítulo III , a matemática financeira é apresentada como um raciocínio lógico, com apenas dois conceitos básicos: taxas de juros e juros compostos.
Apenas estes dois conceitos suportam todos os modelos de produtos financeiros conhecidos, uma vez que, o que corrige o dinheiro no tempo é a taxa de juros escolhida.
O capítulo IV é dedicado ao conhecimento e utilização da HP-12C. Por este motivo, e para fixar as fórmulas matemáticas, vamos adotar, em todo curso, a nomenclatura das teclas financeiras da HP-12C ( PV , FV , PMT , i , n , etc.). Vamos também introduzir noções de programação básica da HP-12C e desenvolver programas úteis de taxa interna de retorno e ICMS.
Praticamente todos profissionais, atualmente, já conhecem planilhas eletrônicas tipo EXCEL, que consideramos até mais seguras que as calculadoras, porque as planilhas permitem a
Você poderá obter essas respostas no site www.onsapiens.com.br
II NOÇÕES DE ÁLGEBRA ELEMENTAR
”NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO”
Os cálculos que faremos neste curso serão realizados com números pertencentes ao
conjunto dos NÚMEROS REAIS ( R ).
Este conjunto é formado pelos seguintes subconjuntos:
nomes exemplos Operação permitida
NATURAIS N = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;....; n ; (n+1) ; (n+2) ;..........} adição e
multiplicação
INTEIROS Z = {.....;− 4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3;..........} subtração
RACIONAIS Q = { ....;− 2 ; ;; − 0,15 ; 0 ; ,........ } divisão
IRRACIONAIS I = { ...− ; π ; 3 ; 0,12345..;...} radiciação
Conhecer as regras de fatoração é dispor de uma das principais ferramentas necessárias nos cálculos financeiros, já que fatorar significa transformar as parcelas de uma adição ou subtração em fatores, que é como são chamados os termos da multiplicação.
Por que é tão importante transformar em multiplicação?
Porque a multiplicação permite simplificações de números racionais, facilita a exponenciação e a radiciação, largamente utilizadas na matemática financeira.
Estuda-se fatoração através da observação de operações matemáticas já conhecidas e, então, procede-se da forma inversa como se poderá ver nos cinco casos mais elementares, mas também os mais usados na prática.
Antes de apresentar os casos de fatoração vamos relembrar a propriedade distributiva.
3 a ( 2 a + 4 b – c ) = 3 a 2 a + 3 a 4 b – 3 a c = 6 a² + 12 a b – 3 a c
( 2 a + 3 b ) ( a – 2 b ) = 2 a² – 4 a b + 3 a b – 6 b² = 2 a² – a b – 6 b
II. 4 a PRODUTOS NOTÁVEIS
São produtos que ocorrem com freqüência nos problemas de Álgebra e permitem, ao inverso, resolver alguns casos de fatoração
( a + b )² = ( a + b ) ( a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² + 2ab
( a – b )² = ( a –b ) ( a –b ) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b²
- 2ab
Podemos juntar os dois produtos notáveis sob a forma ( a ± b )² = a² ± 2ab + b² e enunciar:
(a ± b)² é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais duas vezes o primeiro multiplicado pelo segundo
( a + b ) ( a – b ) = a² – ab + ab − b² = a² – b²
II. 4 b CASOS DE FATORAÇÃO
Caso 1 fator comum em evidência
Caso 2 agrupamento
a b + a c + b d + c d = a ( b + c ) + d ( b + c ) = ( b + c ) ( a +d )
Caso 3 diferença de dois quadrados
m² – n² = ( m + n ) ( m – n )
Caso 4 trinômio quadrado perfeito
m² + 2 m n + n² = ( m + n )² e m² – 2 m n + n² = ( m – n )²
=
=
Definição de radiciação (potência de expoente racional)
=
Percebe-se facilmente que é apenas um símbolo
matemático , portanto basta saber as propriedades das
potências.
Definição de logaritmo
c b = onde
1ª a função log é a a função inversa da função exponencial
2ª quer dizer : ( e = número neperiano usado na HP-12C)
3ª quer dizer :
= 0
= m. transforma expoente em multiplicação
= ( muda a base do logaritmo)
= ( troca a base com o logaritmando)
Nestes casos podemos conseguir o resultado aproximado através da INTERPOLAÇÃO LINEAR
O conceito de interpolação linear está apoiado no teorema de Tales, da geometria plana e se aplica às relações entre 2 triângulos cujos lados correspondentes são proporcionais.
Vamos considerar um exemplo onde o payback de um fluxo está entre os anos 4 e 5 de um investimento
= 1000
1000 0 4 5
200
A interpolação linear também é utilizada para outros tipos de curvas gráficas, mas o resultado será melhor quanto mais a curva se aproximar de uma reta ou nos casos em que o período de interpolação for pequeno.
II.6 e aplicações da fórmula do termo geral da P A
E17) Numa PA cujo primeiro termo é 100 e a razão é 5, calcular o 3°, o 120° e o 286° termos .
termo é igual a 110.
Mas como encontrar o 120° e o 286° termos?
Neste caso devemos usar a fórmula do termo geral da PA
a n = a 1 + ( n − 1) r → a 120 = 100 + ( 120 − 1 ) × 5 → a 120 = 695
II.7 a definição de P G
Progressão Geométrica ( P G ) é uma seqüência numérica, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual à multiplicação do anterior por uma constante denominada razão.
II.7 b exemplos de P G
E18) ( 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; 486 ; 1458 ;............) → a 1 = 2 e q = 3
E19) ( −3; −1 ; −1/3 ; −1/9 ; −1/27 ; ..................) → a 1 = − 3 e q = 1/
E20) ( 2 ;−6 ; 18 ;− 54 ; 162 ; −486 ; ................) → a 1 = 2 e q =− 3
E21) ( 4 ; 4q ; 4q² ; 4q³ ; ...................................) → a 1 = 4 e q = q
A fórmula que vamos desenvolver abaixo é muito utilizada nos casos de pagamentos ou recebimentos parcelados (séries periódicas e uniformes) , como financiamentos de bens, Tabela Price, títulos de capitalização, depósitos em caderneta de poupança, etc.
Sendo uma PG cujo 1º termo é a e a razão é q temos :
n° termo a n a(n-1) q (^) a 1 a 1
S (^) n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +........a (^) n-2 + a (^) n-1 + a (^) n
→ S (^) n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 + a 1 q 4 +....+ a 1 a 1 + a 1 (1)
X (-q) → −q Sn = −a 1 q – a 1 q^2 − a 1 q 3 − a 1 q^4 −......− a 1 − a 1 a 1 (2) ──────────────────────────────────────────── (1)+(2) → S (^) n – q.S (^) n = – → Sn (1−) = .( 1 − )
S (^) n =
Um garotinho que recebia uma "mesada" de $ 60,00 guardava a metade em seu "porquinho". Para saber, sempre, quanto tinha no "porquinho" ele escrevia o seguinte:
mês mesada guardo porquinho total 1/
