Departamento de Matemática
CCET – UFRN
Laboratório de Apoio Computacional I
Apostila
Usando o software Maple
Profa. Marcia Maria de Castro Cruz
Departamento de matemática – UFRN
marcia@ccet.ufrn.br
Natal - RN – Janeiro de 2008
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Departamento de Matemática
CCET – UFRN
Laboratório de Apoio Computacional I
Apostila
Usando o software Maple
Profa. Marcia Maria de Castro Cruz
Departamento de matemática – UFRN
marcia@ccet.ufrn.br
Natal - RN – Janeiro de 2008
SUMÁRIO
- Introdução .........................................................................................................................
- Parte 1 – Iniciação ao Maple..........................................................................
- 1.1 O software Maple...............................................................................................................
- 1.2 Trabalhando com expressões numéricas.............................................................................
- 1.3 Trabalhando com expressões algébricas.............................................................................
- 1.4 Trabalhando com intervalos.............................................................................................
- 1.5 Alguns comandos básicos................................................................................................
- 1.6 Pacotes específicos do maple...........................................................................................
- 1.7 Atividades 1.....................................................................................................................
- Parte 2 – Funções e seus gráficos....................................................................
- 2.1 Atribuindo um nome a uma expressão ou função............................................................
- 2.2 Funções especiais..............................................................................................................
- 2.3 Funções definidas por mais de uma sentença.................................................................
- 2.4 Mais sobre gráfico de funções........................................................................................
- 2.6 Atividades 2....................................................................................................................
- Parte 3 – Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares..........
- 3.1 Vetores ...........................................................................................................................
- 3.2 Matrizes...........................................................................................................................
- 3.3 Determinante...................................................................................................................
- 3.4 Sistemas de equações lineares.........................................................................................
- 3.5 Atividades 3....................................................................................................................
- Parte 4 – Introdução a programação com maple........................................
- 4.1 Manipulando estruturas de dados básicas do maple.......................................................
- 4.2 Um jogo: Simulando Gambling......................................................................................
- 4.3 Procedimentos.................................................................................................................
- 4.4 Variáveis locais e globais................................................................................................
- 4.5 Comandos de repetição: for-do-od .................................................................................
- 4.6 O comando while com procedimento.............................................................................
- 4.7 Condicional: if – then [else] - fi ...............................................…………….………….
- 4.8 O comando while – do - od ............................................................................................
- 4.9 Atividades 4....................................................................................................................
- Parte 6 – Referências Bibliográficas .......................................................................
Parte 1 : Iniciando o Maple
A seguir, iniciaremos a utilização do Maple, apresentando os primeiros passos de seu conteúdo, para que a partir de então, o usuário possa fazer uso de seus inúmeros recursos de forma realmente eficaz, dentro de suas necessidades matemáticas.
1.1 O software Maple O Maple é uma linguagem de computação que possui quatro aspectos gerais que são:
- computação algébrica
- computação numérica
- computação gráfica
- programação
Estes aspectos, de uma certa forma estão integrados. Veja por exemplo que, a partir de um resultado algébrico, uma análise numérica ou gráfica pode imediatamente ser feita. Em geral, na análise de um problema, várias ferramentas são necessárias.
Os aspectos novos trazidos por esse software juntamente com outros sistemas algébricos são a computação algébrica e a programação simbólica. A computação algébrica é uma área que teve um forte desenvolvimento nas décadas de 60 e 70, quando foram encontrados importantes algoritmos para integração analítica e fatoração de polinômios.
MAPLE
sistema matemático simbólico interativo, possuindo recursos extraordinários para resolver questões como cálculo algébrico, interpretação de conceitos, visualização gráfica, modelagem de problemas, etc.
Para escrever textos vá na barra de ferramenta acima e clique com o cursor em " T ". Para escrever expressões matemáticas clique em Σ^. Para execução de comandos matemáticos clicar em [>.
Qualquer comando na utlização do Maple deve terminar com " ; ".
1.2 Trabalhando com Expressões Numéricas O Maple usualmente trabalha com os números de maneira exata.
(435 + 3/11)^2;*
Observe que o resultado é um número racional. Para obter uma aproximação decimal, devemos usar o comando evalf ( evaluate in floating point ):
evalf(123/71);
Observe que o resultado tem 10 dígitos (valor default ), porém é possível aproximar o resultado com quantos dígitos quisermos, por exemplo, com 40 dígitos:
Digits; Digits := 40; Obs. Maple reconhece vários tipos numéricos, dos quais destacamos os tipos integer , fraction , float e complex. Ao digitarmos no prompt do Maple uma expressão aritmética, por default , o valor numérico da expressão é calculado no tipo numérico mais abrangente usado na expressão. Exemplos: 23 + 67; 23 + 57.2; 1/2 + 5; 30/9; O Maple , por default , simplifica frações de inteiros Listamos a seguir os símbolos das operações aritméticas; um símbolo à esquerda de outro tem precedência na avaliação de expressões. O uso de parênteses é necessário para modificar a ordem de precedência.
! ^ ou ** / * + −−−− fatorial potenciação divisão multiplicação adição subtração
> 4+ 3! ; 3^(24); 23/3*6;
Um exemplo de função do Maple:
sqrt(28); Vemos como o Maple conserva o tipo numérico dos dados de entrada. Por outro lado, é possível provocar um retorno em um tipo numérico desejado. Uma forma é usar a função
convert.
convert(sqrt(28), float);
Vejamos agora o número de Euler com 40 dígitos:
exp(1.);
Números irracionais:
((2+sqrt(3))/2)^2;
Vamos ver agora um exemplo mais elaborado:
sin(2Pin)/5!;**
Pedimos para o Maple calcular sin(2 π n) e dividir por fatorial de 5. Podemos pensar que o resultado é zero, já que o seno de um múltiplo de π é zero. Porém, n é uma letra sobre a qual nada foi dito sobre ela. Para o Maple n é uma variável como qualquer valor real. Isso pode ser mudado com o seguinte comando:
assume(n,integer); sin(2Pin)/5!;** cos(Pin);*
-3<=x<=5; Para grafar intervalos deste tipo é necessário que utilizemos os conectivos lógicos and e or. Por exemplo, 3<=x and x<=5; x<=-3 or x>=5;
1.5 Alguns comandos básicos:
Expand : O comando "expand " serve para expandir expressões incluindo também expressões na forma trigonométrica, logarítmica etc. Exemplos:
(x-1)^5; expand( (x-1)^5 ); cos(alpha+beta) = expand(cos(alpha+beta)); ln(3x^2y^2) = expand(ln(3x^2y^2));**
Um outro efeito do comando expand se refere a expressões com denominador. Ele coloca o denominador embaixo de cada numerador, sem expandir o denominador:
expr := (x+y)^2/(a+b)^2; expand(expr);
factor : Fatora expressões
Ex.
factor( (x-1)^5 );
Simplify : O comando simplify é um comando geral de simplificação. É possível aplicar as regras de simplificação de determinadas funções de maneira selecionada. Para isso deve-se dar o nome da função em questão no segundo argumento do comando simplify, que pode ser um dos seguintes nomes: trig, hypergeom, radical, power, exp, ln, sqrt, etc.
Exemplos: **> simplify((x^2-16)/(x+4));
simplify((sin(x)^2-cos(x)^2)^2,trig);**
*> expr := (sin(x)^3 + cos(x)^3)exp(a)/exp(a+b);
simplify(expr);**
É possível também dizer ao comando simplify que as variáveis obedecem as certas restrições, que são as mesmas usadas no comando assume. Por exemplo, a raíz quadrada do produto de vários termos só é o produto das raízes quadradas se os termos forem reais e positivos. Vejamos:
expr := simplify(sqrt(x^2*y^2)); > simplify(expr, assume=nonneg);
Combine
o comando combine requer maior atenção que os comandos anteriores, pois para usá-lo com eficiência é necessário conhecer as opções que devem ser fornecidas como segundo argumento. A sintaxe é: combine( expressão, opção ). A opção pode ser: exp, ln, power, trig, Psi, polylog, radical, abs, signum, plus, atatsign, conjugate, plot, product ou range entre outras. A opção trig engloba todas as funções trigonométricas e a opção power, expressões que envolvem potenciação. Exemplos: > (x^a)^2x^b = combine((x^a)^2x^b, power);
4sin(x)^3 = combine(4sin(x)^3, trig); exp(x)^2exp(y) = combine(exp(x)^2exp(y), exp);**
Convert A sintaxe deste comando é: convert( expressão, tipo) onde tipo pode ser um dos seguintes nomes: trig, tan, ln, exp, expln, expsincos, rational, parfrac, radians, degree, GAMMA, factorial, entre outros, no caso de ser tratar de conversão de uma expressão algébrica em outra expressão algébrica. Vejamos alguns exemplos: > expr := (1+I)(exp(-Ix)-Iexp(Ix))/2;
convert(cosh(x),exp); convert(arcsinh(x),ln); binomial(n,k) = convert(binomial(n,k), factorial);**
Solve Com esse comando obtém-se a solução de equações A sintaxe é: solve(equação,variável) Ex.
solve(x^3-2x^2-x,x);* Com o comando solve você pode também solucionar sistemas de várias equações e várias incógnitas Exemplo: Nesse caso convém atribuir um nome as expressões, para depois pedir a solução eqns := {x+y+2z=1, 3x+2y=2, x-2y-z=0};** solve( eqns );
Do mesmo modo que o solve(exp.,var.) é utilizado para resolver equações (achando as suas raízes) ele também pode ser usado para resolver desigualdades. Por exemplo: **> solve(x-3>=5,x);
solve(x^2-1>=-1,x); solve(x^2-1>=0,x); solve(x^2-1>=0 and x^2-1<2,x); solve(x^2-1<-2,x);** Observe que no caso de não haver solução, ou seja, o conjunto solução ser o conjunto vazio, nada é produzido pelo Maple. Portanto, cuidado com a leitura das respostas obtidas
Subs : Esse comando serve para substituir subexpressões em expressões Exemplos:
- Use o comando solve para resolver as seguintes equações
a) x^3 − x^2 − 6 x = 0 ; b) 3 y^4 + 2 y^3 − 21 y^2 + 4 y + 12 = 0 ; c) x ( x^2 + 5 )^2 = 1. 5
Com o comando solve resolva o sistema dado pelas equações x − 2 y + 3 z = 5 ; 4 x + 5 y − z = 9 ; 2. 5 x + 4. 2 y − 7 z = 1
Com o comando subs encontre o valor da expressão ( y^3 + 5 )^2 ( 2 y − 1 )^3 para y = -
Com o maple descreva os seguintes intervalos:
a) [3, 7]; b) (-2,3]; c) (-10,12); ( −∞,^0 ]; (1, ∞^ )
Parte 2
Funções e seus Gráficos
2.1 Atribuição de um nome a uma expressão ou uma função
Uma expressão não precisa necessariamente ter nome, porém algumas vezes é melhor nomea-las, pois isso muitas vezes facilita o trabalho, principalmente quando precisamos utilizar-la diversas vezes. Exemplo
eq:= 3x^2 + 2x-1 = 0;
Ex. 1 Escrever a função f(^ x^ )=^3 x^5 −^2 x^3 +^ eeee x^ +^1
f(x):=3x^5 – 2x^3 + exp(x) + 1;
S: = ( t^2 − 4 )^22 t − 3
2.2 Funções especiais
Funções polinomiais
Um polinômio de grau n é uma função da forma
1 0
2 2
( 1 ) P ( x ) a x a 1 x ... ax ax a n n
n = (^) n + + + + + − −
onde os coeficientes a (^) 0 , a 1 ,..., an são números reais conhecidos com an ≠ 0 e n é um
número natural. Os exemplos mais simples de polinômios são as funções potências da
forma 1, x , x^2 , x^3 ,..., xn
Exemplos:
- Com o comando plot do maple maple, vamos esboçar os gráfico, em um mesmo sistema
de eixos dos polinômios de grau ímpar x , x^3 , x^5 e observar as características peculiares a
essas funções.
Agora vamos fazer o mesmo com os polinômios de grau par x^2 , x^4 , x^6
Consideremos o polinômio P ( x )= x ( x − 1 )( x + 3 )(− x + 5 )( 2 x − 3 )
a) Use o comando expand para expandir o polinômio P ; b) Use o comando solve para achar as raízes do polinômio;
- Observe os gráficos das funções x^9 e x^9 + 3 x 6 + 7 x^4 − x traçados na mesma janela.
plot([x^9,x^9+3x^6+7x^4-x],x=-3..3,y=-40..40);**
Observe agora o que acontece com estes gráficos quando os valores de x aumentam.
plot([x^9,x^9+3x^6+7x^4-x],x=-100..100);**
Funções Exponenciais e logarítmicas
Exponencial de base a : y^ = a
x
> y=3^(x)
Exponencial de base e : y^ =eeee
x
> y: exp(x) Logaritmo de base a: y =log ax
> y=loga; Logarítmo de base e: y =ln x
> y=ln(x)
Exemplos:
1 - Calcule o valor de e x para valores x =5; x = 17; x =295 ; x = -5; x = -123 e x =-3/11; 2 - Calcule o valor de ln( x ) para valores x =10; x = 27; x =300 ;
Funções Trigonométricas
Considere uma circunferência C centrada na origem e de raio unitário. Seja P um ponto pertencente a C situado a "t" radianos do ponto (1,0) medidos no sentido anti-horário se "t" for positivo e no sentido horário se "t" for negativo. Considere a projeção perpendicular Px do ponto P sobre o eixo dos "xx" e a projeção perpendicular Py de P sobre o eixo dos "yy". Definimos seno do número real "t" como sendo a medida orientada da origem (0, 0) ao ponto Py e definimos cosseno de "t" como sendo a medida orientada da origem (0, 0) até o ponto Px.
Na animação abaixo mostramos um ponto P na cor cinza percorrendo a circunferência unitária e completando um ciclo a cada 2 π radianos. Mostramos também a projeção Py em azul e a projeção Px em vermelho.
Compile o comando abaixo e execute a animação no modo cíclico. Caso necessário diminua a velocidade de exibição.
> with(plots):filme:=seq(display([
plot([cos(k),sin(k),k=0..2Pi],color=grey,axes=normal,thickness=1),*
pointplot({[cos(t2Pi/50),0]},symbol=box,color=red),**
pointplot({[cos(t2Pi/50),sin(t2Pi/50)]},symbol=circle,color=black), pointplot({[0,sin(t2Pi/50)]},symbol=box,color=blue)**
]),t=0..50):
display(filme,insequence=true,scaling=constrained);
Observando os deslocamentos de Py e de Px verificamos que as funções seno e cosseno têm domínio igual a R e suas imagens pertencem ao intervalo [-1, 1].
Para que o Maple mostre parte dos gráficos de seno e cosseno podemos compilar o comando abaixo.
> with(plots):plot([sin(x),cos(x)],x=0..2Pi,color=[red,blue]);*
2.3 Funções definidas por mais de uma sentença Para se escrever com o maple uma função definida por mais de uma sentença, usa-se o comando piecewise. Exemplos **> p:= piecewise(x<=0,x+2,x>0,3);
q:=piecewise(x<=2,-4x,x>2,-4x^2+x+1); s:=piecewise(x>0,x); f:= piecewise(x<>3,abs(x-3)/(x-3),x=3,1);**
Exercício: Escreva a seguinte função com o comando piecewise C = ( x < -4, 0, -4 <= x and x < -2, 4x + 16, x > -2 and x <= 1, 2x^2, 1 < x and x <= 4, 5
- sqrt(x + 3) - 8, 7);
2.4 Mais sobre gráfico de Funções Uma das grandes utilidades de software Maple, é sem dúvida plotar gráficos de funções, em duas e em tres dimensões. O esboço de um gráfico, em algumas vezes é um trabalho desgastante quando feito manualmente e em alguns casos até mesmo foge do nosso alcance obte-los. Usando o Maple podemos obter gráficos de duas ou três dimensões; plotar vários gráficos em um mesmo sistema de eixos, obter gráficos definidos por várias sentenças, gráficos com animação, etc.
A seguir, vamos apresentar alguns exemplos de como obter gráficos de funções de uma variável. Em geral, gráficos bi-dimensionais no Maple são obtidos através do comando "plot" e a sintaxe mais simples é: plot(expressão, x = a..b) ou plot(expressão, x = a..b,y = c..d) Exemplos:
- Obtenha o gráfico da função y^ = x −^ +^ −
(^3 6) x (^3 2) x (^2 3) x
Para obter o gráfico devemos considerar um intervalo de definição da função > plot(x^3-6x+2x^2-3x,x=-5..5);*
Observe que o gráfico pode ser melhor visualizado se especificarmos também um intervalo para o eixo y. > plot(x^3-6x+2x^2-3x,x=-5..5,-10..20);*
Observação. Conforme você viu, para plotar um gráfico com o Maple, é necessário que especifiquemos um intervalo para x. Algumas vezes isso é suficiente, porém, em alguns casos, se não especificarmos também uma janela (ou intervalo) para y, não teremos uma boa visualização do gráfico. Mas, ATENÇÃO! cuidado com esses intervalos, eles são fundamentais para uma boa visualização gráfica. Ex.2 Gráficos de funções trigonométricas *> plot(cos(3x+5), x=0..2Pi);
plot(tan(x), x=-Pi..Pi,-20..20);**
Ex. > implicitplot({x^2 - y^2 = 1,y = ln(x), y^2-exp(2x)=0},x = -Pi..Pi,y = -Pi..Pi);*
Importantes considerações
Quando plotamos gráfico com o maple, podemso usa a seguinte sintaxe:
plot( f(x), x = a .. b, opções) Essas opções variam de acordo com a necessidade do gráfico. Por exemplo,
plot([sin(x), x-x^3/6], x=0..2, color=[red,blue], style=[point,line]);
Podemos também colocar um título no gráfico. Por exemplo, vamos fazer o gráfico da funçao de ordem zero com o tátulo Função Esférica de Bessel", com o nome “j(0,x)" no eixo vertical e controlando o número de marcações no eixo x e no eixo y:
**> plot(j(0,x), x=0..15, j(0,x)= -0.5..1, xtickmarks=4,
ytickmarks=6, title=
Funcao Esferica de Bessel);**
Gráficos com animação Para obter gráficos com animação, devemos chamar o pacote with(plots) Exemplos:
Gráfico do seno com animação Ex. **> with(plots):
animate( sin(xt), x = -10..10, t =1..2, frames = 50);* Outro exemplo
A função y^ =eeee
( 2 x )
> animate(exp(2xt), x=-10..10,y=-20..20, t =1..2, frames=50);**
2.6 Atividades 2
- Escreva a função p(^ x^ )=
3 x^ +3 ( x^2 + 10 ) 3 − x e calcule o valor dela para x = -1/3, 0, 35/
e
π
- Para obter o resultado em decimal, use o comando evalf.
Escreva a expressão L(x): = ln(x); e com o comando subs calcule o valor de ln para x = 1, x = 3, x 10. O que acontece quando você tenta calcular o valor de ln(0)?
Com o comando evalf, calcule o valor de sen(
π 2
), cos(
π 4
), tg(
π 2
); sen(3).
- Escreva a função exponencial de base 5 e calcule alguns valores para x. x pode ser negativo? Se assim for, calcule valores da função para x negativo. O que você observa?
- Escreva a função f(^ x^ )=eeee +^ −
( − x ) 3
( 2 x )
x e use o comando subs para calcular o
valor da função para x^ =^2.
- Com o comando solve, resolva as equações:
(c) 7x^ = 1/2401 (d) 53x – 7= 25
(e) 26x + 7^ = 128 (f)3x +2^ – 3x + 1^ + 3x -2^ + 3x -3^ = 1494
- Considere a função f( x )=
10 x + 5 x^4 + x^3 + 2 x − 4
a) Com o comando solve resolva a equação do denominador; b) que relação tem o resultado acima com o domínio da função?
- Plote o o gráfico das funções das funções y = x^2 , y = x^2 + 3 e y = x^2 − 3 , em um
mesmo sistema de eixo com x variando de 0 a 2.
a) Defina a função x^ usando o comando piecewise e obtenha seu gráfico com maple. b) faça o mesmo com a função 2 x^ +^3.
Use o comando piecewise para escrever a função definida por x^2 − 1 se se x < 0 , x -1 se 0 ≤ x e x <1 e 2, se 1 ≤ x^.
Calcule o(s) ponto(s) de interseção entre as retas y^ =^1 − x
2 e y^ = x^ +^1 e visualize- os com maple.
Plot o gráfico das funções tangente, cotangente, secante e cossecante no intervalo de 0 a 2 π. Exemplo: > plot( sec(x), x= 0..2Pi,y= -3..3,title=
Secante);*Considere a função p(^ x^ )=−^7 x^3 −^2 x^4 +^2 x^2 +^13 x^ −^6 a) Com o comando factor, fatore p( x ); b) Com o comando solve, encontre suas raízes; c) Encontre os intervalos em que p( x ) > 0 e os intervalos em que p(x) < 0.
Com o comando piecewise, a) escreva uma função definida do seguinte modo:
Para x^ <-1^ e −^2 ≤ x^ ela vale −^ x +
; para -1^ ≤ x^ e x^ <^0 ela vale −^3 x^ ; para 0 ≤ x (^) e x < (^1) ela vale 3 x (^) ; para x entre 1 e 2 ela vale −^ x^2 +^4.
b) Invente uma função definida por três sentenças. Primeiro escreva-a manualmente, depois escreva-a com o Maple.
Com o comando plot, obtenha o gráfico a) do polinômio deo exercício 7 em uma janela em que seja possível visualizar as raízes; b) das funções que você criou no exercício 8 e 9 em janelas convenientes de x e de y.
Obtenha o gráfico das funções y^ = x
2 , y^ =(^ x^ +^1 )
2 , y^ =(^ x^ −^1 )
2 ;
- Use sua imaginação!!! a) Encontre duas retas que se interceptam em um ponto e duas que sejam paralelas. b) Escreva uma função quadrática que não possua raízes reais e cuja parábola tenha concavidade para cima e outra que possua duas raízes reais e que tenha concavidade voltada para baixo. c) Invente uma função racional cujo domínio seja x^ ≠^1.
Parte 3 :
Vetores, Matrizes, Determinantes
e Sistemas de Equações Lineares
3.1 Vetores Definindo vetores Para definirmos vetores utilizamos o comando array ou o comando vector :
E := array (1..5, [1,2,3,4,5]); define um vetor com 5 elementos; e
F := vector ([1,2,3,4,5]); também define um vetor com 5 elementos; e
G := vector (8, x -> x^3); define um vetor com 8 elementos onde cada posição recebe o cubo do nº da posição.
Exemplos: with(linalg): > v := vector([3,0,1]); v[3];
> u:=array(1..3,[1,-2,3]); u[2];
> w:=linalgvector;
Definindo um vetor 2D ou 3D dadas as suas coordenadas: **> a := vector( [3,4] );
b := vector( [2,3,4] );**
Obtendo uma das coordenadas: **> a[1];
b[3];** Definindo um vetor 2D ou 3D literal, para definição posterior das coordenadas: > b:= vector(3); print(b);
Obtendo o vetor G de 8 coordenadas, descrito acima > G:=vector(8,x->x^3);
3.2 Matrizes Definindo matriz Para definir matrizes utilizamos o comando matrix ou o comando array:
Do mesmo modo que vetores, existe mais de uma maneira de se definir uma matriz com o maple Exemplos: A := matrix ([[1,2],[3,4]]); define uma matriz quadrada de ordem 2 onde a 1ª linha tem os números 1 e 2 e a 2ª linha, os números 3 e 4;
B := matrix (2, 4, [1,2,3,4,5,6,7,8]); define uma matriz de duas linhas e quatro colunas;
C := array (1..3, 1..2, [[1,2],[3,4],[5,6]]); define uma matriz de três linhas e duas colunas; e
H := matrix (3, 3, (i,j) -> i * j); define uma matriz quadrada de ordem 3 onde cada elemento recebe o produto do nº da sua linha com o nº da sua coluna.
Lembrar que: Para trabalharmos com vetores e matrizes, devemos sempre chamar o pacote linalg.
Sendo A uma matriz qualquer, denotaremos um elemento da matriz A por a^ i j , onde i
corresponde a linha e j a coluna da matriz.
with(linalg): A:=matrix([[a[1,1],a[1,2]],[a[2,1],a[2,2]]]); A[2,1]; retorna o elemento que fica na linha 2 e coluna 1
A := matrix ([[a,b],[c,d]]); define uma matriz quadrada de ordem 2 Exemplo:
with(linalg): B:=matrix([[1,2],[3,5]]);
ou
C:=array(1..2, 1..2, [[2,0], [3,5]]); C:= matrix ([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]); define um matriz quadrada de ordem 3
Tipos de Matrizes
Matriz qualquer (ordem m x n) Uma matriz de ordem 3 x 2
R:=array(1..3,1..2,[[1,3],[0,-2],[2,1]]);
Uma matriz de ordem 4 x 3
J:=array(1..4,1..3,[[1,3,0],[0,1,6],[5,-3,2],[0,1,-1]]);
Matriz zero Matriz cujos elementos a^ i j , são todos nulos.
Exemplo
Z:=matrix([[0,0,0],[0,0,0]]);
Matriz identidade Matriz quadrada que tem todos os elementos da diagonal igual a 1.
L:=matrix([[1,0],[0,1]]);