DIRETORIA ACADÊMICA DE CONSTRUÇÃO CIVIL
Tecnologia em Construção de Edifícios
Disciplina: Construções em Concreto Armado
TENSÕES DE FLEXÃO E DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Notas de Aula:
❑ Edilberto Vitorino de Borja
2019
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Momento de Inércia: Determinação e Aplicação em Figuras Simples e Compostas, Resumos de Resistência dos materiais
Este documento aborda o conceito de momento de inércia, explicando sua definição, como é calculado para figuras simples e compostas, e sua importância na análise de estruturas submetidas a esforços. O texto também inclui exemplos de cálculo e aplicações práticas.
Tipologia: Resumos
2020
1 / 28
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DIRETORIA ACADÊMICA DE CONSTRUÇÃO CIVIL
Tecnologia em Construção de Edifícios
Disciplina: Construções em Concreto Armado
TENSÕES DE FLEXÃO E DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Notas de Aula:
❑ Edilberto Vitorino de Borja
Prof. Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento
1. MOMENTO DE INÉRCIA – Aspectos Gerais
1.1. Momento de Inércia de Massa
O conceito de Momento de Inércia, em termos práticos, pode ser definido como
sendo “a resistência que um corpo (em rotação) apresenta a uma mudança em sua
velocidade de giro”. Alguns autores costumam dar a esse conceito a denominação de
Inércia Rotacional. O momento de inércia desempenha, na rotação, um papel
equivalente ao da massa no movimento linear.
Para fins comparativos, pode-se citar, como exemplo, o lançamento de duas
pedras, de tamanhos distintos, por uma catapulta com aplicação da mesma força a
cada uma. A pedra “pequena” terá uma aceleração muito maior que a da pedra
“grande”.
De modo similar, se é aplicado um mesmo par de forças a uma roda com um
momento de inércia pequeno e a outra com um momento de inércia grande, a
velocidade de giro da primeira roda aumentará muito mais rapidamente que a da
segunda. Por dedução, pode-se afirmar que o momento de inércia de um objeto
depende de sua massa e da distância da massa ao seu eixo de rotação (eixo
considerado).
Considere dois volantes de massas iguais (1 kg), como ilustrado na Figura 1.
Figura 1. Volantes de massas iguais.
O volante da esquerda tem sua massa distribuída distante do seu eixo de giro,
bem como o volante da direita tem sua massa distribuída próximo ao seu eixo de giro.
Desse modo, pode-se concluir que o volante da direita possui um momento de inércia
menor.
O momento de inércia de um corpo não é uma quantidade única e fixa. Se um
objeto é girado em torno de eixos diferentes, também terá momentos de inércia
diferentes, uma vez que a distribuição de sua massa em relação ao novo eixo é
normalmente distinta do que era no anterior.
Prof. Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento
Para a placa retangular, aplicamos a integral variando 𝑥 de (
𝑏
2
até −
𝑏
2
2
. 𝑑𝑥 =
2
. 𝑑𝑥 =
3
−
𝑏 2
𝑏 2 =
. [
2
2
] =
𝑏 2
−
𝑏 2
𝑏 2
−
𝑏 2
. [
3
8 × 3
3
8 × 3
] =
2
1
12
2 ..... Equação 1.
1.3. Momento de Inércia de área
Momento de Inércia de Área ou Momento de Segunda Ordem de Área é uma
propriedade de uma seção plana de um corpo, que tem relação com a resistência à
deformação. O momento de inércia de uma área tem origem sempre que é feita a
relação entre a tensão normal, (sigma), ou por força por unidade de área que atua
na seção transversal de uma viga elástica, e o momento externo aplicado 𝑀, que
causa curvatura da viga, como ilustrado na Figura 3.
Figura 3. Curvatura de viga (fletida) submetida a momento fletor externo aplicado.
Apesar da semelhança em formulação e em alguns teoremas, não deve ser
confundido com momento de inércia de massa, que é usado no estudo da rotação de
corpos rígidos. É comum o mesmo símbolo (𝑰) para ambos os temas, mas a distinção
fica normalmente clara no contexto e nas unidades físicas. Em Engenharia, é usual o
emprego da expressão “momento de inércia” para designar o momento de inércia de
área.
Seja, conforme Figura 4 , uma superfície plana genérica de área 𝑺 e um sistema
de coordenadas ortogonais 𝒙𝒚. Os momentos de inércia em relação a cada eixo são
dados por:
Prof. Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento
Figura 4. Placa de superfície genérica de área S.
2
. 𝑑𝑠
2
. 𝑑𝑠
Note que a derivada neste caso é em relação à (𝒅𝒔), ou seja, a derivada é em
função da área, e não da massa como visto anteriormente. Em algumas literaturas se
encontra também a notação conforme as equações 2 e 3:
2
. 𝑑𝑎 ..... Equação 2.
2
. 𝑑𝑎 ..... Equação 3.
1.4. Momento de Inércia de área de placa retangular
Tomamos uma derivada de área (Figura 5 ), o elemento é um retângulo de
comprimento 𝒅𝒚 e a de largura 𝒃.
Figura 5. Momento de Inércia de Área de placa retangular.
A área desse retângulo é dada por:
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𝐼𝑥´ = (𝐼 1 + 𝐴 × 𝑑 1 ²) + (𝐼 2 + 𝐴 × 𝑑 2 ²) ..... Equação 5.
1.6. Procedimentos para Análise – Resumo Geral
O momento de inércia de uma área composta em relação a um eixo de referência
pode ser determinado utilizando-se os procedimentos a seguir:
- A partir de um esboço, divida a área nas partes que a compõe e indique a
distância perpendicular do centroide de cada parte em relação ao eixo de
referência;
- Deve-se determinar os momentos de inércia de cada uma das partes do
composto em relação aos eixos que passam pelos seus centroides, que são
paralelos ao eixo de referência.
- Se o eixo que passa pelo centroide de uma das partes não coincide com o eixo
de referência, deve-se aplicar o teorema dos eixos paralelos, 𝐼 = 𝐼 ̅+ 𝐴. 𝑑
2 ,
para determinar seu momento de inércia em relação ao eixo de referência;
- O momento de inércia de toda a área em relação ao eixo de referência é
determinado pelo somatório dos resultados de suas partes constituintes;
- Caso uma parte do composto tenha uma “área faltante”, o momento dessa
parte é encontrado subtraindo-se o momento de inércia da área faltante do
momento de inércia da área composta total, incluindo a área que falta.
Prof. Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento
Exercícios
- Calcule o momento de inércia da área composta ilustrada na Figura 8 em
relação ao eixo 𝑥´.
Figura 8. Figura composta.
- Determine os momentos de inércia da área da seção reta da viga mostrada na
Figura 9 em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 que passam pelo seu centroide.
a)
b)
Figura 9. Viga com geometria no formato “z”.
- A viga ilustrada na Figura 10 é construída a partir de dois perfis U e duas chapas
de cobertura. Se cada perfil tem área de seção reta igual a 𝐴𝑐 = 76 𝑐𝑚² e momento
de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo próprio centroide, 𝐶𝐶, igual a
4 , determine o momento de inércia da viga em relação ao eixo 𝑦.
Prof. Borja Tensões de Flexão e de Cisalhamento
Figura 12. Viga em “T”.
- Localize o centroide 𝑦̅ da área da seção transversal do perfil na Figura 13 e
determine o momento de inércia em relação ao eixo 𝑥´ que passa pelo centroide.
Figura 13. Viga composta.
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2. TENSÃO (para qualquer elemento estrutural)
Resposta dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações), aos
esforços internos aplicados - força normal (𝑁) que dá origem à tração ou à
compressão, momento fletor (𝑀) que dá origem à flexão, momento torçor (𝑀𝑡) que dá
origem à torção e força cortante (𝑉) que dá origem ao cisalhamento.
A fórmula geral para qualquer que seja a tensão (Normal, flexão, torção ou
cisalhamento) é:
CaracterísticaGeométricadaSeçãoTransversal
EsforçoInternoAplicado Tensão =
- Esforço interno:
Normal;
Momento Fletor;
Momento Torçor;
Esforço Cortante
- Característica geométrica da seção transversal:
Área (A);
Momento de Inércia (I);
Momento Estático (Q);
Base (b);
Altura (h);
2.1. Tensão de Flexão em uma viga
Em vigas, quando submetidas a esforços externos (carregamentos transversais
com relação ao seu eixo longitudinal), ocorrem deformações de flexão (Figura 14)
devido ao esforço de momento fletor, surgindo desta forma as tensões de flexão.
Figura 14. Viga submetida a momento fletor positivo.
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Colocando-se os esforços de compressão nas fibras superiores, tração nas
fibras inferiores e ainda nenhum esforço na fibra central, pode-se obter o diagrama de
tensões, conforme ilustrado na Figura 17 (lembrando que a viga está submetida a
esforço de momento fletor positivo).
Figura 17. Diagrama de tensões de flexão.
2.3. Hipótese fundamental da teoria da Flexão - LEI DE NAVIER
As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem
planas após a viga ser submetida à flexão. Essa conclusão é válida para vigas de
qualquer material, seja ele elástico ou inelástico, linear ou não-linear.
As propriedades dos materiais, assim como as dimensões, devem ser
simétricas em relação ao plano de flexão.
As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas),
enquanto aquelas na parte superior são diminuídas (comprimidas).
2.4. Superfície Neutra
É uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em que as linhas
longitudinais não mudam de comprimento.
Linha Neutra – é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de
seção transversal. Na LN, não há esforço, nem de tração, nem de compressão.
Para materiais homogêneos (aço, madeira, concreto simples), a LN passa no
centro de gravidade (CG) da seção transversal (Figura 18 ).
Compressão
Tração
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Figura 18. Identificação da superfície e linha neutra.
2.5. Análise das distâncias das fibras em relação a L.N.
Façamos agora a análise das distâncias entre as seções transversais e
consequentemente dos esforços nas fibras superiores, inferiores e na LN em alguns
pontos da viga ilustrada na Figura 19.
Figura 19. Seções planas em vigas.
Sobre o apoio Meio do vão
Fibras superiores Fibras se afastam: tração Fibras se aproximam: compressão
Linha Neutra Não há alteração Não há alteração
Fibras inferiores Fibras se aproximam: compressão Fibras se afastam: tração
2.6. Determinação das Tensões de Flexão
Esta tensão é a resposta da viga decorrente do esforço de flexão (Momento
Fletor). Como consequência desse esforço, a viga se deforma, fletindo, sobre seu eixo
longitudinal.
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Figura 21. Momentos Fletores nas seções 𝐷 e 𝐸 e seção transversal de viga.
Resolução:
▪ Ponto D:
Momento de Inércia (em rel. à LN) :
4
3 3
LN 104167 cm 12
b.h I =
Fibras acima da LN:
Fibra 1
0,36kN/cm² 104167
30 12,5 (100)
LN
I
M.y
f
=
= =
Fibra Superior
0,72kN/cm² 104167
30 25 (100)
LN
I
M.y
f
=
= =
Obs.: o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor
de kNm para kNcm. O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra superior
no ponto 𝐷 (meio do vão) é de compressão.
Fibras abaixo da LN:
Fibra 2
- 0,36kN/cm² 104167
30 (12,5) (100)
LN
I
M.y
f
=
− = =
Fibra Inferior
- 0,72kN/cm² 104167
30 ( 25) (100)
LN
I
M.y
f
=
− = =
O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto 𝐷
(meio do vão) é de tração.
Diagrama das tensões de flexão no ponto 𝑫 (Figura 22 ):
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Figura 22. Diagrama das tensões de flexão no ponto 𝐷.
▪ Ponto E:
Fibras acima da LN:
Fibra 1
- 0,24kN/cm² 104167
(-20) 12,5 (100)
LN
I
M.y
f
=
= =
Fibra Superior
- 0,48kN/cm² 104167
(-20) 25 (100)
LN
I
M.y
f
=
= =
Obs.:O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto
𝐸 (apoio) é de tração.
Fibras abaixo da LN:
Fibra 2
0,24kN/cm² 104167
(-20) (-12,5) (100)
LN
I
M.y
f
=
= =
Fibra Inferior
0,48kN/cm² 104167
(-20) (-25) (100)
LN
I
M.y
f
=
= =
O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto 𝑬
(apoio) é de compressão.
2.9. Verificação da Estabilidade
Para não haver rompimento, ou para que haja estabilidade , é necessário
que a seguinte inequação seja verificada:
Tensão admissível Tensão máxima. Coeficiente de segurança
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Figura 23. Viga “𝑇”.
2.11. Exemplo – Verificação da estabilidade à flexão (de uma viga)
Analise a Figura 24.
Figura 24. Momento Fletor máximo e seção transversal de viga isostática.
Com base nas informações contida nessa figura e nas tensões admissíveis de
flexão de tração e de compressão dadas a seguir, verificar a sua estabilidade.
fc =2,00kN/cm² ft =1,75kN/cm²
Resolução:
Características geométricas da seção transversal – Momento de Inércia (seção
retangular):
4
3 3
LN
104167 cm 12
b.h I =
▪ Flexão:
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Fórmula
LN
sup.ouinf
ou máx máx I
M
Tou C
y
f
- −
Para
máx
M = 50 kN
Fibras superiores:
1,20kN/cm² 104167
I
M
LN
máx sup
TouCmáx^ =
y
f (compressão)
f c max = 1,20 kN/cm²
Fibras inferiores:
- 1,20kN/cm² 104167
I
M
LN
máx inf
TouCmáx
y (
f
(tração)
(^) f T max = - 1,20 kN/cm²
Verificação (utiliza-se os valores das tensões em módulo, pois não teria
sentido comparar uma tensão máxima com valor negativo com uma tensão admissível
que é sempre positiva).
Comparação
Compressão
f C max. 1,4 2,00 1,20. 1,4 2,00 1,68 verifica
Tração
f T max. 1,4 1,75 1,20. 1,4 1,75 1,68 verifica
Conclusão
Como as inequações relativas à flexão se verificaram, chega-se a conclusão de
que a viga é estável considerando-se a flexão.
2.12. Exemplo – determinação das Tensões de Flexão
A viga representada na Figura 25 tem seção transversal circular constante.