CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FUNDAÇÃO
EDUCACIONAL DE BARRETOS
UNIFEB
MECÂNIC A DOS SÓLIDOS
(Notas de aulas)
ENGENHARIA CIVIL
ENGENHARIA AMBIENTAL
Prof. Paula Cacoza Amed Albuquerque
Barretos, 2011
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Apostila de Mecânica dos Sólidos 2011, Notas de estudo de Engenharia Civil
Apostila de mecanica dos solidos
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 34
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ENGENHARIA CIVIL
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Prof. Paula Cacoza Amed Albuquerque
Barretos, 2011
2
1 – TENSÀO MECÂNICA - CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1.1 - Definição de Tensão Mecânica Haste em equilíbrio estático quando sujeita a um sistema de forças axiais e centradas de intensidade F.
imaginando a separação da haste em 2 partes:
o equilíbrio é garantido pelas Forças Internas.
Definição: Tensao = Força interna no CorpoArea em que atua
O valor da tensão depende do ângulo do plano de corte (a área varia com o ângulo).
⇒ Tensão é um tensor e não um vetor. ∴ não valem as leis da álgebra vetorial para as tensões, mas somente para as suas resultantes. Considerando o equilíbrio de apenas uma parte do corpo deformável: ∑^ Fx^ =^ ⇒^ −^ F^ +^ ∫ t dA = →⊕
- 0 e admitindo tensão distribuída uniformemente na superfície de corte (t =cte): t = F A
4
M (^) A = ⇒ ae b − be a =
∴ = ′
∑ ⊕
Teorema de Cauchy)
τ τ τ τ
'
tensões de cisalhamento em planos perpendiculares são iguais, convergindo ou divergindo de uma mesma aresta.
1.3 - Tensão no Ponto Corpo em equilíbrio estático sob a ação de um sistema de forças espacial:
∆F → resultante da força interna que atua na área ∆S
S =lim^ Ft
S lim Fn
S t=lim F
S 0
S 0
S 0
∆
∆
∆ = ∆
∆
∆
∆ →
∆→
∆→
τ
σ
1.4 - Estado Triplo de Tensão Referindo as tensões a um sistema de coordenadas cartesianas tri-ortogonal, as tensões em torno de um ponto ficam:
Analisando um elemento de volume em torno do ponto A, têm-se o seguinte Estado de Tensão:
5
Apenas 6 tensões independentes
Do Teorema de Cauchy: (^) τxy = τ (^) yx τxz = τzx τyz = τzy
1.5 - Estado Duplo ou Plano de Tensões No caso mais comum, na prática, de considerar que as ações sobre os corpos atuam em um único plano, têm-se um caso particular do Estado Triplo de Tensões onde 2 faces paralelas estão isentas de tensões
Caso todas as ações estejam contidas no plano xy, vem: σz =^0 =^ τzx =^ τzy ″ ″ τxz =^ τyz O estado duplo de tensão fica determinado conhecendo-se apenas 3 tensões independentes em cada ponto: σx, σy e τxy = τyx = τ
7
No caso particular de Estrutura Plana, onde todas forças são aplicadas em um único plano, por exemplo, plano xy , são nulas as tensões paralelas a z , e restam:
σ σ τ τ
x xy =^
apenas 2 tensoes no plano de corte.
e apenas 3 componentes do Esforço Geral Solicitante, pois as distâncias paralelas a z também são nulas: N = .dS ; V = .dS; M = - .y.dS S S S ∫^ σ^ ∫τ^ ∫σ
Objetivo: Determinar σσσσ e ττττ a partir do conhecimento de N, V e M e das leis de variação das tensões.
2.2 Vinculação das Estruturas Planas 2.2.1 Definições
a) Estrutura plana: conjunto de elementos lineares cujas dimensões transversais são menores do que o seu comprimento de modo significativo.
b) Barra simples (barra): elemento linear com função estática de transmitir apenas N.
c) Barra geral (chapa) :elemento linear com função estática de transmitir N,V e M.
8
d) Vínculos (apoios): elementos de ligação entre chapas, barras e a “chapa-terra”. e) Nó: encontro de apenas barras simples (2 ou mais).
Uma chapa possui 3 graus de liberdade no plano ≡ 3 deslocamentos independentes.
Um nó possui 2 graus de liberdade no plano.
Os vínculos são utilizados para impedir esses movimentos.
2.2.2. Vínculos Planos Básicos
VÍNCULOS MOV. IMPEDIDOS
Apoio Móvel 1
Apoio Fixo 2
Engaste Fixo 3
Engaste Móvel 2
Rótulas (artic.) 2
Nó 0
Ressalvas:
Barra ⇒ impede 0 movimentos
Chapa ⇒ impede 2 movimentos
10
2.3.2 Problemas Propostos: Determinar estaticamente as estruturas abaixo 1) 2)
2.4 Convenção de Sinais para os Esforços Planos
Estrutura plana em equilíbrio estático
Separando a estrutura em 2 partes através de um corte normal ao seu eixo, podemos determinar os esforços solicitantes pela imposição do equilíbrio estático de cada parte separada.
N^ > 0< →→ compressaotracao 0
V^ <> 0 →^ → rotacao horariarotacao anti - horaria 0
11
M^ <> 0 →^ → traciona em baixotraciona em cima 0
Os esforços solicitantes são iguais e opostos em cada parte separada ⇒⇒⇒⇒ basta determinar apenas em uma parte. Conhecidas as ações e reações, os esforços solicitantes podem ser determinados através das Equações de Equilíbrio Estático.
2.5 Tipos de Ações
a) Cargas Concentradas
b) Cargas Distribuídas
uniforme
linear
qualquer
13
F H
H A
∑ 0 0
F
V V
V V
V
V kN
V A B
A B A A
∑ 0 110
110 110 60 50
M horario V V V kN
A B B B
× + × − × =
∑ 0 40 2 70 4 6 0 80 280 6 60
Exemplo 2) Determinar as reações de apoio da viga abaixo.
Determinação Estática:
c b b
nec exist
= × =
Isostatico ou Determinado
Aplicação das Equações de Equilíbrio:
F H H kN
H A A
∑ 0 30 0 30
F
V V
V V
V V
V
V kN
V A B A B
B A B B
∑ 0 40 100 0 140
140 140 66 67 73 33
M horario V V V kN
B A A A
× − × − × =
∑ 0 6 40 5 100 2 0 6 200 200 0 400 6 66 67
14
Problemas Propostos : Determinar as reações de apoio.
1)
16
Trecho II (1 ≤ x ≤ 3)
Condições de Equilíbrio: F N
H =^ → ⊕
∑ 0 0
F
V
V kN
V =^ ↑ ⊕
∑ 0 16 20 0 4
M horario x x M M x x M x kN m
S =^ ⊕
∑ 0 16 20 1 0 16 20 20 20 4
Trecho III (3 ≤ x ≤ 5) Chapa à esquerda da Seção S
Condições de Equilíbrio: F N
H =^ → ⊕
∑ 0 0
F
V
V kN
V =^ ↑ ⊕
∑ 0 16 40 0 24
M horario x x x M M x x x M x kN m
S =^ ⊕
∑ 0 16 20 1 20 3 0 16 20 20 20 60 80 24
Chapa à direita da Seção S (2 ≤ x’ ≤ 4)
Condições de Equilíbrio:
17
F N
H =^ → ⊕
∑ 0 0
F
V
V kN
V =^ ↑ ⊕
∑ 0 44 20 0 24
M horario x x M x x M M x kN m
S =^ ⊕
∑ 0 20 44 2 0 20 44 88 0 88 24
Trecho IV (0 ≤ x’ ≤ 2)
Condições de Equilíbrio: F N
H =^ → ⊕
∑ 0 0
F
V
V kN
V =^ ↑ ⊕
∑ 0 20 0 20
M horario x M M x kN m
S =^ ⊕
∑ 0 20 0 20
Representação gráfica dos Esforços
19
Problema Proposto 1)
2.6 Relações Diferenciais entre os Esforços
viga sob carga distribuída qualquer p=p(x)
Analisando o trecho entre duas seções distantes de um infinitésimo dx:
Fy = 0 V - p.dx - (V + dV) = 0 dV dx p (I) M M - (M + dM) + p.dx. dx 2 (V + dV).dx = 0
despresando diferenciais de 2ª ordem: V = dMdx (II)
Substituindo (II) em (I): d dx
dM dx p^
d M dx p (III)
esq
2 2
^
^ = −^ ⇒^ = −
↑⊕
→⊕
∑
∑ 0
20
Conclusões:
1
2
- Onde p 0 V = tem variaçao linearM = tem variaçao parabolica 2º grau
- Onde p = 0 V constanteM linear 3 - A funcao V e um grau acima da funçao p(carga) 4 - A funçao M e um grau acima da funçao V 5 - A funçao M e dois graus acima da funcao p(carga)
CORRESPONDÊNCIA ENTRE AÇÕES E ESFORÇOS
P V M
p=0 x^0 x^1
x^0 x^1 x^2
x^1 x^2 x^3 xn^ xn+1^ xn+