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FUNÇÕES – Exercícios
Exemplo 1
Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão: N(t) = 60020,4t Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 9 600 bactérias?*
SOLUÇÃO:
N(t) = 600*2 0,4t
N(t) = 9 600
600*20,4t^ = 9 600 2 0,4t^ = 9 600/ 2 0,4t^ = 16 2 0,4t^ = 2 4
0,4t = 4 t = 4/0, t = 10 h
A cultura terá 19200 bactérias após 10 h.
Exemplo 2
A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante seis anos em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos. a) Qual será o saldo no final de 12 meses? b) Qual será o montante no final do período da aplicação?
M = C(1+i) t^ (Fórmula dos juros compostos) onde: C = capital M = montante ou valor futuro i = taxa t = período de aplicação (que deve coincidir com o período ao qual a taxa se refere)
a) Após 12 meses.
Resolução: M =? C = 1200 i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)
t = 12 meses
M = 1200(1+0,015) 12
M = 1200(1,015) 12
M = 1200*(1,195618)
M = 1.434,
Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,.
b) Montante no final de seis anos
Resolução: M =? C = 1200 i = 1,5% ao mês i = 0,015 (taxa unitária) 6 anos implicam em t = 72 meses
M = 1200(1+ 0,015)^72 M = 1200(1,015) 72 M = 1200(2,921158) M = 3.505,
Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,
Exemplo 3
Um determinado ser vivo microscópico, sob certas condições, se multiplica de tal forma que a cada 12 h a sua quantidade é duplicada. No instante em que se começou a observar essa população - hora zero, a quantidade Q 0 desses seres era igual a 1000.
a) Identifique a função exponencial, em função do tempo t medido em horas, que nos permite calcular a quantidade de elementos nessa população num instante t qualquer.
b) Calcule o número desses seres 4 dias após a hora zero?
SOLUÇÃO:
a) Q(t) = 1000. 2t/
Resolução:
A função exponencial Q(t) = K. 2 - 0,5 t passa pelos pontos (0, 2048) e (a, 512) e. Substituindo esses pontos na função, temos:
Q(t) = K. 2 - 0,5 t
Q(0) = K. 2 - 0,5. 2048 = K. 2 0
K = 2048
Q(t) = K. 2 - 0,5 t
Q(a) = K. 2 - 0,5.a 512 = 2048. 2 -0,5 .a
2 9 = 2^11 .2 -0,5 .a
2 9 = 211-0,5 .a
9 = 11 – 0,5.a
0,5 a = 11 – 9
0,5 a = 2
a = 2 / 0,
a = 4
Exemplo 6
Quando se analisa uma população de bactérias, cultivada em laboratório em meio apropriado, verifica-se que o número de indivíduos dessa população, em qualquer momento, pode ser obtido pela lei exponencial:
P(t) = P 0. e r t^ , em que:
- P(t) é o número de bactérias da população no instante t,
- P 0 é o número de bactérias no início do estudo (população inicial),
- e é o número de Euler ( e ≈ 2,72),
- r é uma constante positiva (taxa de crescimento da população),
- t é o tempo (medido em horas, minutos, etc.)
Suponha que em um estudo se tenha r = 1 e P 0 =100.
Usando e 0,69^ = 2, faça o que se pede:
a) Esboce o gráfico da função P
b) Determine o tempo necessário para dobrar a população.
Resolução:
a) Substituindo os dados na função exponencial P(t) = P 0. e r t^ , obtemos que:
P(t) = 100. e 1. t^ => P(t) = 100. e t Tabelando valores convenientemente, podemos traçar o gráfico de P :
t 0 0, P 100. e^0 = 100 100. e 0,69^ = 200
b) t =? para que P(t) = 2. P 0 = 200
P(t) = 100. e t^ => 200 = 100. e t^ => e t^ = 2 => t = 0,69 ano => t = 8,28 meses => t ≈ 8 meses 8 dias
