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CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
8.1- A Integral Definida para Cálculo de Área
A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x.
b
a
f (x)dx
a+ x
a
f 1 dx
∆
a 2 x
a x
f 2 dx
∆
∆
∫ f 1 dx+ ∫ f 2 dx + ...
pois, o f (^) i para um dado retângulo é constante
= f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A 1 + A 2 + ... = A
f(x)dx A
b
a
= ∫
área sob a curva
Exercícios
- Determinar a área limitada pela curva 2 y = 5 x−x e pelo eixo x.
5 x x 0 2 − =
x ( 5 − x)= 0 2 y = 5 x−x
x 5
x 0
u.a. 6
x
2
x A 5 x x dx 5.
5
0
(^533)
0
2 3 2 ∫
2) Dada a função y = xcalcular a área sob o gráfico de x = 0 a x = 3.
A = ∫
3
0
f (x)dx =
3
0
x dx =
3
0
2
x
2
Por geometria
∆x
y
f (^1)
x
f(x)
f (^1)
y
y=x
3 x
A =
base × altura =
× 3 × 3 =
que é o mesmo resultado obtido por integração.
- Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva f(x) =
(x
2
- 2x + 8), entre x = -2 e x = 4.
O gráfico da curva é:
A = ( x 2 x 8 )dx 8
4
2
∫ −
4
2
2
3 x 8 x 3
x
8
4
2
3 2 x 8
x
24
x
−
3
2
3 2
24
- Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y = x
2
- 3x + 2 e o eixo x que é y = 0.
A 2 = + ∫
b
a
f (x)dx = + ( )
2
1
2
x 3 x 2 dx=
2
1
3 2 2 x 2
3 x
3
x
A 2 = +
×
unidades de área
8.1.1- A Integral Definida para Cálculo de Área de Funções Pares e Impares
Quando uma função é par ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área calculada no primeiro
quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existe uma simetria da função que
permite que a área ∫ −
=
a
a
A f(x)dx seja e dada por^ = ∫
a
0
A 2 f(x)dx.
Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão simetrias do tipo
y f(x)
x
Nos dois pontos y = 0 → x
2
0 fornece x 1 = 1 e x 2 = 2.
b
a
f (x)dx = A , então
y
f(x)
x
∫ ∫
=
−
a a
a
f x dx f x dx
0
( ) 2 ( )
y
f(x)=x
2
X
Y
− a a
Exercícios
- Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x – x
2 e y = 2x.
- Pontos de interseção - Área
- Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 4 – y
2
y 2
4 y 0
x 4 y
2
2
[ ]
u.a. 3
A
A 2.
A 24 x.
A 2. ( 4 x) .( 1 )dx
A 2. 4 xdx
4
0
2
3
4
0
2
1
A 1
4
0
∫
∫ 14243
ou
u.a. 3
A
A 2. 8
y A 2. 4 y
A 2 ( 4 y )dy
2
0
3
2
0
2
∫
y = 5x – x
2
y = 2x
y
x
x 3
x 0
x(x 3 ) 0
x 3 x 0
2 x 5 x x
y 2 x
y 5 x x
2
2
2
u.a. 2
A
A
x
2
3 x A
A ( 3 x x )dx
A ( 5 x x 2 x)dx
3
0
2 3
3
0
2
3
0
2
∫
∫
y = 4 − x
A
y
x
- Determinar a área limitada pelas curvas y
2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e “a” positivo.
- Pontos de interseção - Área
- Achar a área entre as curvas y = x 3
e y = x.
Solução: Primeiro resolva o sistema y = x
3
= x para achar os limites de integração.
x 6 = x → x(x 5
satisfazem a equação.
A =
x x dx
1
0
3
pode integrar e depois tomar o módulo.
A = (^ x x )dx
1
0
1 / 2 3
1
0
3 / 2 4
x
3
2 x
x y = 0
3a a
4 a
y x
2
x = 3 a− y
y
y' 6 a
y 2 a
4 a 8 a y
4 a 16 a 48 a y
y 4 ay 12 a 0
y 12 .a 4 ay 0
y 4 a( 3 a y)
x y 3 a x 3 a y
y 4 ax
2 2
2 2
2 2
2
2
u.a. 3
10 .a A
a 3
A 4 a
. 8 a 12 a
A 6 a 2 a
12 a
y
2
y A 3 ay
)dy 4 a
y A ( 3 a y
2
2 2
2 2 3
2 a
0
2 3
2 a
0
2
y = x
3
y = x ,
P
x
y
Exercícios Propostos
Calcule a área da curva com o eixo x nos intervalos:
- y =
x
entre x = 1 e x = 2,
- y = 4 – x
2 (só a parte acima de x)
- y = x 2
- Calcular a área entre a reta y = 4 e y = x
2 no intervalo de x = 0 a x = 2
A = ∫
a
0
f 1 (x)dx - ∫
a
0
f 2 (x)dx
- Achar a área entre as curvas y = x
3 e y = x
2 no intervalo x = 0 a x = 1.
A= ∫
a
0
f 1 (x) f 2 (x)dx
f 1 (x)
f 2 (x)
y
1 e x
y
x
y = x
3
y = x
2
A
y
x
Y
X
f(x )
8.1.3- A Integral Definida para Cálculo do Centróide O centróide de uma região plana (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o
ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar.
As coordenadas ( x^ ,^ y ) do centróide são dadas por
∫
2
1
x
x
[f(x) g(x)]xdx A
x
∫
2
1
x
x
2 2 [f (x) g (x)]dx 2 A
y
Exercícios
1) Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y
2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3].
Solução: Acha-se a área A
A = (^) ∫
3
0
2 xdx = 2
∫
3
0
1 / 2
x dx= 2 6
x A = (^) ∫ (^ − )
3
0
x 2 x 0 dx = 2
∫
3
0
3 / 2
x dx = 6
y A = (^) ∫
3
0
dx 2
y
2 x
0
2
∫
3
0
2 xdx=
3
0
2
x
2
- Achar o centróide da figura entre as duas curvas y=x
3 e
y = x
A = (^) ∫ (^ − )
1
0
3
x x dx=
y = 2 x (só a parte positiva)
x =
y =
y = x
3
y = x
x
y
1 2 3 x
y 2 = 2x
y
8.1.4- Centro de Gravidade de Áreas Planas
Momento Momento de uma área “A” em relação ao eixo x é por definição o produto da área pela distância até o eixo x. Momento em relação ao eixo y é o produto da área pela distância do centro de gravidade até o eixo y. Seja (x, y) as coordenadas do centro de gravidade de uma região plana “A”, então: Mx = A. y My = A. x
Seja y = f (x) contínua e derivável em [a, b].
∑
→∞
n
i 1
i
2 i n
i i i i
x 2
(x ) Mx lim f
x Mx f(x ).x.f
∫
b
a
2 dx 2
f(x) Mx = ∫
b
a
2 y dx 2
Mx
Para My, temos:
∫
∑
= →∞
b
a
n
i 1
i i i n
i i i
My f(x).x.dx
My lim f(x ).x.x
My f(x ).x.x
∫
b
a
My y.x.dx
x
y x
y
f (x (^) i / 2)
f (x (^) i)
∆x (^) i
a x (^) i b
x
y
Se Mx = A. y e My = A. x. Coordenadas do centro de gravidade de A (x, y)
A
My x = A
Mx y =
Se y = f (x); x = a; x = b; eixo x.
∫
∫
∫
b
a
b
a
b
a
2
A y.dx
My y.x.dx
y .dx 2
Mx
Exercícios
- Determinar as coordenadas do centro de gravidade da região limitada pelas curvas y = 6x – x 2 e o eixo x.
( )
x 6
x 0
x 6 x 0
6 x x 0
2
A
My My Ax x
A
Mx Mx A y y
Cálculo da área
( )
A 36 u.a.
x A 6 x x dx 3 x
6
0
3 2
6
0
2
∫
Cálculo de Mx
( )( )
( )
Mx 129 , 6
x
4
12 x
3
36 x
2
36 x 12 x x dx 2
Mx
6 x x 6 x x dx 2
Mx
6
0
(^6345)
0
2 3 4
6
0
2 2
∫
∫
Cálculo de My
( )
( )
My 108 , 0
x
3
6 x My 6 x x dx
My 6 x x .x.dx
6
0
(^634)
0
2 3
6
0
2
∫
∫
Determinação do CG
CG
y
x
x
3
16 x
2
Mx
2
0
3 7
My ( 4 x x )x .dx ( 4 x x )dx
2
0
2
0
3 2 4 ∫ ∫
x
3
4 x My
2
0
3 5
y
x
CG (1,06; 3,04)
- Determinar as coordenadas do CG da região limitada pelas curvas y 2 = x, x + y = 2 e y = 0 no primeiro quadrante.
Pontos de inflexão
( )
u.a. 6
A
y
2
y A 2 y
A 2 y y dy
2 desprezar
y y 2 0
y 2 y
x y 2 x 2 y
y x
1
0
2 3
1
0
2
2
2
2
∫
( )
[( ) ] ( )
y
3
y
2
4 y 4 y 2
My
4 4 y y y dy 2
2 y y dy 2
My
dy 2
2 y y My 2 y y
1
0
2 3 5
1
0
2 4
1
0
(^24)
(^12)
0
2
∫ ∫
∫
( )( )
( )
y
3
y
2
2 y Mx
Mx 2 y y y dy
Mx 2 y y ydy
1
0
2 3 4
1
0
2 3
1
0
2
∫
∫
x = = 14
y = =
CG
x + y = 2
y
2 = x
