Análise funcional: introdução e aprofundimento , Notas de estudo de Matemática

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Notas

de

AN ´ALISIS FUNCIONAL

G. Corach E. Andruchov

El presente es un resumen de los apuntes de la materia An´alisis Funcional (materia obligatoria de la carrera Licenciatura en Cs. Matem´aticas, orientaci´on pura, del Depto. de Matem´aticas de la FCEyN, UBA), dictada por los profesores Dr Gustavo Corach y Dr Esteban Andruchov durante el primer cua-trimestre del a˜no 1996.

I

ESPACIOS NORMADOS

En este cap´ıtulo daremos las definiciones necesarias y algunas propiedades b´asicas de la teor´ıa de espacios normados, para tener una base s´olida sobre la cual trabajar luego en los casos m´as concretos.

I.1 Norma y seminorma

Consideremos un cuerpo IF (en general, C ´o IR), y tomemos sobre ´el un IF-espacio vectorial E

Definici´on I.1 (norma) Una norma es una funci´on sobre el espacio vectorial, que usualmente se denota ‖ ‖E : E → IR+^ (donde IR+^ =IR≥ 0 = {t ∈ IR : t ≥ 0 }) que tiene adem´as las siguientes tres propiedades:

|| x + y ||E ≤|| x ||E + || y ||E ∀ x, y ∈ E (I)

|| λ · x ||E =| λ | · || x ||E ∀ λ ∈ IF (II)

|| x ||E = 0 ⇒ x = 0. (III)

Definici´on I.2 (seminorma) Se define asimismo una seminorma como una funci´on sobre el espacio vectorial, a valores en el cuerpo, de manera que valen las propiedades (I) y (II) de una norma. Est´a claro que toda norma es una seminorma.

Definici´on I.3 (espacio normado) Un espacio normado es un par (E, ‖ ‖E ) formado por un espacio vectorial E sobre un cuerpo IF, y una norma a valores en el cuerpo IF.

Norma y seminorma 9

En presencia de una seminorma ‖ ‖ , podremos hablar de separabilidad (con un peque˜no abuso de lenguaje de por medio) de un espacio a´un sin tener una estructura de cerrados y un operador de clausura (para hablar de conjuntos densos), de la siguiente manera: diremos que un conjunto numerable {en} ⊂ E es denso, cuando para todo x ∈ E, y todo ε > 0 , existe un elemento del denso tal que

‖x − en‖ < ε.

Definici´on I.6 (base) Un subconjunto numerable B = {xn} ⊂ (E, ‖ ‖E ) , se llama base del espacio normado E, si es linealmente independiente y para todo x en E existe una sucesi´on {αn} ⊂ IFIN^ de escalares para los cuales vale el l´ımite ∥∥ ∥∥ ∥ x −

∑^ n i=

αixi

∥∥ ∥∥ ∥ E

−→n→∞ 0.

En ese caso es usual la notaci´on x = ∑ i αixi.

Notar la diferencia con la definici´on de base en el sentido habitual, es decir, alge- braico (base de Hamel); ver el Teorema II.25, en la secci´on II.6. Es inmediata la observaci´on de que todo espacio normado provisto de base B en el sentido anterior es separable, tomando como denso numerable al conjunto de las combinaciones lineales con coeficientes racionales (en el caso IF=IR) o coeficientes en Q+iQ (en el caso IF= C) de los vectores de B.

• NOTA: La rec´ıproca de la observaci´on anterior no es cierta. En 1973, P. Enflo [Enflo] dio el primer ejemplo de un espacio normado separable que no admite base de Schauder. La demostraci´on utiliza en esencia propiedades de operadores compactos, as´ı que volveremos a tratar el tema de bases de Schauder cuando nos ocupemos de ellos. Una versi´on simplificada del ejemplo de Enflo (debida A.M. Davie) puede hallarse en [Davie].

Definici´on I.7 (funciones coordenadas) Sea {xn} una base de un espacio normado E. ∑ Para cada n ∈ IN podemos definir una funci´on αn : E → IF, como αn(x) = αn si x =

i αixi.^ De las igualdades^ λx^ =^

∑ j (λaj^ )^ ej^ y^ x^ +^ y^ =^

∑ j (aj^ +^ bj^ )^ ej^ (si^ y^ =^

∑ j bj^ ej^ ) se deduce que cada αn es lineal, y se suelen llamar funciones coordenadas (por razones obvias).

Definici´on I.8 (base de Schauder) Si {xn} es una base del espacio normado E, y to- das sus funciones coordenadas {αn} son continuas, se dice que {xn} es una base de Schauder de E.

Volviendo a los comentarios sobre continuidad de la suma y el producto por es- calares, debe quedar claro que no necesariamente una seminorma define una m´etrica sobre el espacio, y por ende no podemos hablar en forma rigurosa de continuidad u otros conceptos topolog´ogicos con respecto a una seminorma si no tenemos una m´etrica (o al menos una estructura de abiertos) definida sobre el espacio. Sin embargo en un contexto m´as general las expresiones (I.1), (I.2) y (I.3) tienen su utilidad.

10 Espacios normados

Antes de ocuparnos de algunas de las propiedades b´asicas que mencionamos, demos un poco m´as de notaci´on, seguida de unos ejemplos:

Definici´on I.9 (traslaci´on) Dado un punto x ∈ E, y un subconjunto cualquiera A ⊂ E, llamamos x + A = {y ∈ E | ∃ a ∈ A con y = x + a}.

Es decir, la traslaci´on r´ıgida del conjunto A en la direcci´on del vector x. Puede notarse que si A es un subespacio, y x ∈/ A, entonces x + A es una variedad ”af´ın”, y viceversa. En el caso x ∈ A, es claro que x + A = A.

Definici´on I.10 (homotecias) Dado un n´umero real r, y un conjunto B ⊂ E, se define

r · B = {y ∈ E | ∃ b ∈ B con y = r · b}.

En este caso se trata de una homotecia o ”dilataci´on” del conjunto en un factor constante r. Un caso particular es el de la bola centrada en el origen: en ese caso es claro que r · B 1 = r · B(0, 1) = B(0, r) = Br.

Definici´on I.11 (el espacio producto) Si (E, ‖ ‖E ) y (F, ‖ ‖F ) son espacios nor- mados, se toma el producto E × F , que tiene estructura de espacio vectorial, y si (x, y) ∈ E × F, entonces la funci´on

‖ ‖E×F : E × F −→ IR+

‖ (x, y) ‖E×F = ‖ x ‖E + ‖ y ‖F

es una norma, y al espacio normado (E × F, ‖ ‖E×F ) se lo llama comunmente espacio normado producto.

I.1.1 Algunos ejemplos de espacios normados

M´as que nada a t´ıtulo ilustrativo, ya que volveremos sobre ellos (y otros) varias veces.

Ejemplo 1 (IR, | |) En este caso es sencillo ver que toda norma ‖ ‖ sobre IR es de la forma a· | | para un a > 0 , puesto que la propiedad (II) de la norma nos dice

|| r ||=|| r · 1 ||=|| 1 || · | r |.

Tambi´en est´a claro que toda funci´on de la forma a· | | con a > 0 es una norma sobre IR. Es conocido el resultado Q = IR que nos dice que este espacio es separable.

Ejemplo 2 (C, | |) Vale la misma observaci´on que en el ejemplo anterior, tomando Q+iQ como subconjunto denso numerable..

Ejemplo 3 M´as generalmente, en IRn^ y Cn^ podemos definir varias normas, entre ellas

12 Espacios normados

1. lp = {(x(n)) : ∑∞ n=1 |^ x(n)^ | p< ∞} si 1 ≤ p < ∞, y se toma el espacio normado ( lp, ‖ ‖p

) donde la norma se define como

‖x‖p =

  ∑

n≥ 1

| x(n) |p

 

(^1) p ,

o bien tomar

2. l∞ = {(x(n)) : ‖x‖∞ = supn∈IN | x(n) |< ∞}.
3. c = {(x(n)) : ∃ limn→∞ x(n)} y c 0 = {(x(n)) : limn→∞ x(n) = 0} , con la norma ‖ x ‖∞ como en 7b. Es claro que co es un subespacio de c; veremos m´as adelante que en realidad se trata de un subespacio cerrado de c (secci´on I.3.1). Es casi evidente de la definici´on que el subconjunto (numerable) de vectores de la forma

xk(n) =

  

1 k = n

0 k 6 = n

es una base (en realidad, una base de Schauder: ver la secci´on II.7) para

( lp, ‖ ‖p

) , si 1 ≤ p < ∞, y para c 0 , lo que prueba que estos espacios son todos separables. El espacio c tambi´en es separable (ver secci´on I.3.1). Por otra parte el espacio (l∞, ‖ ‖∞) no es separable, puesto que el subconjunto de vectores de la forma x(n) = 0 ´o 1

es claramente no numerable (su cardinal es 2 IN^ ), y si x 6 = y, entonces existe una coordenada tal que |x(n) − y(n)| = 1, lo que nos dice que ‖x − y‖∞ = 1 (es decir, son puntos aislados). Se tiene en cualquier caso la cadena de inclusiones

l 1 ⊂ l 2 ⊂... ⊂ l∞,

donde en general cada uno es un subespacio propio del otro. Demostraremos un s´olo caso, la inclusi´on estricta l 1 ⊂ l 2 : Tomemos entonces x ∈ l 1 ; esto implica que la sucesi´on xn = x(n) es sumable, y por ende convergente a cero. Esto asegura que a partir de un´ N 0 ∈ IN dado, todos los t´erminos ser´an (en m´odulo) menores o iguales a uno, y entonces la desigualdad

|x(n)|^2 ≤ |x(n)| ∀ n > N 0

Norma y seminorma 13

nos lleva a la cota ‖x‖ 2 =

∑ n∈IN |x(n)|

n≤N 0 |x(n)|

n>N 0 |x(n)|

2

∑ n≤N 0 |x(n)|

n>N 0 |x(n)|

≤ ∑ n≤N 0 |x(n)|

n∈IN |x(n)|

= ∑ n≤N 0 |x(n)|

(^2) + ‖x‖ 1

= K + ‖x‖ 1 < ∞

que prueba la inclusi´on. Por otra parte la sucesi´on x(n) = (^) n^1 prueba que la inclusi´on es estricta. Ahora podemos generalizar los ejemplos anteriores, considerando un espacio nor- mado E y tomando, dentro de EIN^ el subespacio

4. lp(E) = {(xn) :

∑ k ‖^ xk^ ‖p<^ ∞}^.^ M´as a´un: podemos considerar el producto T =

∏ k∈IN Ek, donde cada^ (Ek,^ ‖^ ‖k)^ es un espacio normado y tomar el subespacio

5. lp(T) =

{ (xk ∈ Ek) :

∑ k ‖^ xk^ ‖

p k<^ ∞

} , d´andole una estructura de espacio normado mediante la norma p (como en 1).

Ejemplo 8 Tomemos un espacio cualquiera X, y sobre ´el consideremos el espacio (X,

∑ , μ) un espacio de medida sobre

∑ = {σ-´algebra de conjuntos de X}, con medida μ :

∑ → IR+^ ∪ {+∞}, o bien μ :

∑ → C+^ ∪ {+∞} funci´ones σ-aditivas. Aqu´ı hay que tener un poco de cuidado ya que si dos funciones difieren sobre un conjunto de medida cero, entonces para cualquiera de las siguientes dos definiciones ser´an indistinguibles, con lo cual lo que tendremos son dos seminormas (esto se arregla muy f´acil utilizando los resultados de la secci´on Espacio cociente (secci´on II.5) del Cap´ıtulo II, m´as precisamente mediante la Proposici´on II.22, como mostraremos).

1. El primer caso es considerar el espacio

Lp(X,

∑ ,μ) =

{ ϕ : X → IF medible :

∫

X

| ϕ(t) |p^ dμ(t) < ∞

}

y tomar el espacio vectorial con seminorma (Lp, ‖ ‖p) donde

‖ ϕ ‖p=

(∫

X

| ϕ |p^ dμ

) (^1) p .

La demostraci´on de que se trata realmente de una seminorma (propiedad (I)) es la famosa desigualdad de Minkowski. Puede encontrarse en [Fava-Zo][Cap´ıtuloVII,5]. Sobre las condiciones para la separabilidad de estos espa- cios, ver la nota sobre el final de la secci´on II.5.1 (en el Cap´ıtulo II).

Norma y seminorma 15

Ejemplo 9 Dada cualquier funci´on ϕ : [a, b] → IR, y cualquier partici´on

Π ≡ {a = t 0 < t 1 < .... < tn = b} ,

se define V (ϕ, Π) = ∑n k=1 |^ ϕ^ (tk)^ −^ ϕ^ (tk−^1 )^ |,^ y entonces podemos considerar el espacio BV[a, b] = {ϕ : V (ϕ) = V ar(ϕ) = supΠ V (ϕ, Π) < ∞}, las funciones de variaci´on acotada sobre [a, b]. Se ve f´acilmente que V (ϕ) es una seminorma y se conoce como variaci´on de ϕ. Un caso trivial de funci´on de variaci´on acotada son las funciones mon´oto-nas, ya que en ese caso, para toda partici´on vale V (ϕ, Π) = |ϕ(b) − ϕ(a)| = V (ϕ). Observar que V (ϕ) = 0 si y s´olo si ϕ es constante, ya que V (ϕ) = 0 quiere decir que necesariamente para toda partici´on Π del intervalo [a, b], V (ϕ, Π) = 0; la existencia de dos puntos u, v ∈ [a, b], con u > v, donde ϕ (a) 6 = ϕ(b) nos dice que V (ϕ) > 0 tomando la partici´on

Π∗ ≡ {a = t 0 < t 1 = v < t 2 = u < t 3 = b}.

A partir de V es sencillo construir una norma, simplemente poniendo

‖ ϕ ‖BV =| ϕ(a) | +V (ϕ),

que verifica trivialmente ser una seminorma por ser la suma de dos de ellas; la observaci´on anterior nos dice que ‖ ϕ ‖BV = 0 implica ϕ constante, pero adem´as debe ser ϕ(a) = 0 y por ende ϕ es la funci´on nula. Un argumento similar al del ejemplo anterior (espacios L∞) nos dice que este espacio no es separable.

• NOTA: El siguiente es un resultado fundamental de las funciones de variaci´on acotada. Definamos V (ϕ) (x) como la vari´aci´on de ϕ en el intervalo [a,x], con x<b. Entonces ϕ se escribe como ϕ = V (ϕ) − (V (ϕ) − ϕ) , y se prueba que ambas funciones son mon´otonas no decrecientes. Se concluye que ϕ es derivable en casi todo punto.(ver [Kolmogorov][TeoremaVII.2.1,p.378]).

Ejemplo 10 Las funciones lipschitzianas de orden α (para 0 < α ≤ 1 ) son las fun- ciones ϕ : [a, b] →IF que satisfacen

‖ϕ‖Lα =| ϕ(a) | + sup t 6 =s

|ϕ(t) − ϕ(s)| |t − s|α^

Es claro que ‖ ‖Lα cumple las propiedades de una norma por las mismas razones que utilizamos en el ejemplo anterior. Por otro lado puede probarse que todas las funciones lipschitzianas de orden β, con β > 1 , son exclusivamente las funciones constantes (y por ende un caso sin inter´es), de las siguiente manera:

|ϕ(t) − ϕ(s)| |t − s|β^

≤ sup t 6 =s

|ϕ(t) − ϕ(s)| |t − s|β^

= Sϕ , (I.6)

16 Espacios normados

si t 6 = s, expresi´on de la que se deduce

|ϕ(t) − ϕ(s)| ≤ Sϕ · |t − s|β^. (I.7)

Con esto podemos probar que ϕ ∈ BV [a, b], poniendo β = 1 + r, y tomando

|ϕ(tk) − ϕ(tk− 1 )| ≤ (^) Sϕ · (tk − tk− 1 )β^ ≤ Sϕ · (tk − tk− 1 ) · (tk − tk− 1 )r

≤ Sϕ · (tk − tk− 1 ) · (b − a)r

con lo cual para cualquier partici´on Π se obtiene

V (ϕ, Π) = ∑n k=1 |^ ϕ^ (tk)^ −^ ϕ^ (tk−^1 )^ |^ ≤^ Sϕ^ ·^

∑ k (tk^ −^ tk−^1 )^ ·^ (b^ −^ a)

r

= Sϕ · (b − a) · (b − a)r

= Sϕ · (b − a)β^.

En el ejemplo anterior observamos que todas las funciones de variaci´on acotada son deriv- ables en casi todo punto. Con esto las lipschitzianas de orden β (con β > 1 ) son derivables en casi todo punto x 0 ∈ [a, b], con lo cual (nuevamente por (I.6))

|ϕ(xo) − ϕ(x 0 + h)| |h|

≤ Sϕ · |h|r^. ,

lo que nos dice, tomando l´ımite (el cual existe en casi todo punto por las consideraciones previas), que ∣∣ ϕ′(x 0 )

∣∣ = lim |h|→ 0

|ϕ(xo) − ϕ(x 0 + h)| |h| ≤ 0 c.t.p.

Ahora bien, esto nos dice que ϕ′^ = 0 c.t.p. Ahora probaremos que todas estas funciones son absolutamente continuas, con lo cual habremos probado que

ϕ(x) =

∫ (^) x

a

ϕ′(t)dt + ϕ(a) = ϕ(a) = cte

Para esto tomemos un n´umero ε > 0 y consideremos una familia arbitraria (finita) de intervalos {(xi, x′ i)}i=1...n que formen un cubrimiento del intervalo [a, b], de manera que

∑^ n

i=

∣∣ x′ i − xi

∣∣ <

ε Sϕ

Podemos suponer (sin p´erdida de generalidad) que |x′ i − xi| ≤ 1 para todo i en { 1 , ...., n}, ya que en su defecto partimos a los intervalos de di´ametro mayor en otros m´as peque˜nos hasta obtener esta cota, y una cota para esta subpartici´on ser´a tambi´en una cota para

18 Espacios normados

(que se demuestra en cualquier curso de c´alculo avanzado) que (C[0, 1], ‖ ‖∞) es un espacio completo. Como X es un subespacio cerrado, resulta que (X, ‖ ‖∞) es un espacio normado completo. Consideremos el subespacio M de X formado por todas las funciones g tales que (^) ∫ 1 0

g(t)dt = 0

Si tomamos un punto de acumulaci´on de este subespacio, y una sucesi´on de funciones {gn} en M , la desigualdad ∣∣ ∣

∫ (^1) 0 g(t)dt

∣∣ ∣ ≤

∣∣ ∣

∫ (^1) 0 g(t)^ −^ gn(t)dt

∣∣ ∣ +

∣∣ ∣

∫ (^1) 0 gn(t)dt

∣∣ ∣

∣∣ ∣

∫ (^1) 0 g(t)^ −^ gn(t)dt

∣∣ ∣

∫ (^1) 0 |g(t)^ −^ gn(t)|^ dt

≤ ‖g(t) − gn(t)‖∞ →n 0

prueba que se trata de un subespacio cerrado. Ahora supongamos que f 0 ∈ X, ‖f 0 ‖∞ = 1, y que vale d(f 0 , M ) = 1, y veamos que esto es imposible. De la definici´on de distancia se obtiene que ‖f 0 − g‖∞ ≥ 1 para todo g ∈ M. Para cada f ∈ X − M definamos

cf =

∫ (^1) ∫^0 f^0 (t)dt 1 0 f^ (t)dt

Entonces es trivial la verificaci´on de que f 0 − cf .f ∈ M, y con esto

‖f 0 − (f 0 − cf .f )‖∞ ≥ 1 ,

es decir |cf |. ‖f ‖∞ ≥ 1 , que en t´erminos de la definici´on de cf se escribe como ∣∣ ∣∣

∫ (^1)

0

f 0 (t)dt

∣∣ ∣∣. ‖f ‖∞ ≥

∣∣ ∣∣

∫ (^1)

0

f (t)dt

∣∣ ∣∣. (I.8)

Ahora consideremos la sucesi´on de funciones fn(t) = t n^1 en C[0, 1]. Por un lado se ve que fn(0) = 0 para todo n ∈ IN, (o sea fn ∈ X ∀ n ∈ IN); y por otra parte est´a claro que ninguna est´a en M. Adem´as es trivial la verificaci´on de que ‖fn‖∞ = 1 para todo n ∈ IN; reemplazando en la ecuaci´on (I.8) y tomando l´ımite para n → ∞ se obtiene

∣∣ ∣∣

∫ (^1)

0

f 0 (t)dt

∣∣ ∣∣ ≥

∣∣ ∣∣

∫ (^1)

0

fn(t)dt

∣∣ ∣∣ = t^

1 n + 1 n + 1^

|^10 =

1 n + 1^

→n 1

es decir que (^) ∣ ∣∣ ∣

∫ (^1)

0

f 0 (t)dt

∣∣ ∣∣ ≥ 1.

El lema de Riesz 19

Pero por otra parte la continuidad de f 0 y el hecho de que f 0 (0) = 0, junto con la cota |f 0 (t)| ≤ 1 nos asegura que debe ser ∣∣ ∣∣

∫ (^1)

0

f 0 (t)dt

∣∣ ∣∣ < 1 ,

lo cual es una contradicci´on. 2

Sin embargo, en cualquier caso subsiste una idea de ”cuasiortogonalidad” inducida por el siguiente lema

Lema I.12 (F. Riesz) Sea H un subespacio propio y cerrado de un espacio normado E, y tomemos un ε > 0 arbitrario. Entonces existe alg´un x ∈ E tal que ‖x‖ = 1 y la norma de x aproxima a menos de ε la distancia al subespacio, es decir

‖x‖ ≥ dist(x, H) ≥ 1 − ε = ‖x‖ − ε.

Demostraci´on:

De la misma definici´on de distancia se deduce la desigualdad 0 ≤ dist(x, H) ≤ ‖x‖ para todo x ∈ E. Como H es cerrado, y propio, existe por lo menos un x que hace la desigualdad estricta, es decir 0 < dist(x, H) ≤ ‖x‖. Vamos a suponer (sin p´erdida de generalidad) que 0 < ε < 1, y que H 6 = { 0 } (ya que en ese caso la prueba es trivial, puesto que todo da cero). Tomemos z ∈ E tal que dist(z, H) = δ > 0; nuevamente de la definici´on de distancia se deduce que existe un h 0 ∈ H tal que

‖z − h 0 ‖ <

δ 1 + ε < δ. (I.9)

Si llamamos y = z − h 0 , entonces resulta que dist(y, H) = dist(z, H) = δ puesto que

dist(y, H) = inf {‖y − h‖E : h ∈ H} = inf {‖z − h 0 − h‖E : h ∈ H}

= inf {‖z − h′‖E : h′^ ∈ H} = dist(z, H) ,

y si tomamos un escalar positivo cualquiera α, se deduce que dist(αy, H) = αδ con un argumento similar. Llamando x = (^) ‖yy‖ , est´a claro que ‖x‖ = 1; por lo que mencionamos

reci´en, dist(x, H) = (^) ‖δy‖. Pero de la ecuaci´on (I.9) se deduce la desigualdad (^) ‖^1 y‖ > 1+δ ε, lo que nos lleva a

dist(x, H) >

1 + ε

1 − ε (puesto que ε < 1). 2

Ejemplo 11 (b) Volviendo al ejemplo anterior al lema, se puede construir expl´ıcitamente una sucesi´on de vectores {fn}n∈IN en X, de norma uno, tales que d(fn, M ) →n 1. Esta es´ la siguiente

fn(t) =

  

n.t 0 ≤ t ≤ (^) n^1

(^1 1) n ≤ t ≤ 1

Los detalles quedan a cargo del lector.