Universidade Estadual de Campinas
An´alise Combinat´oria, Probabilidade
No¸c˜oes de Estat´ıstica
Tema 1 - Elementos da teoria de conjuntos e
estruturas de contagem
Prof. Laura Rifo
laurarifo at ime.unicamp.br
- 1o semestre 2017 -
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Análise combinatória, probabilidade e noções de estatística, Exercícios de Matemática
Livro de matemática, sobre analise combinatória, probabilidade e estatística, tudo sobre.
Tipologia: Exercícios
2021
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Universidade Estadual de Campinas
An´alise Combinat´oria, Probabilidade
No¸c˜oes de Estat´ıstica
Tema 1 - Elementos da teoria de conjuntos e
estruturas de contagem
Prof. Laura Rifo
laurarifo at ime.unicamp.br
- 1o semestre 2017 -
Conte´udo
Cap´ıtulo 1
Elementos da teoria de conjuntos
1.1 Conjuntos
A teoria de conjuntos ´e a base para todo o c´alculo de probabilidades, assim como para outras ´areas da matem´atica. Nesta se¸c˜ao, faremos uma pequena revis˜ao do material necess´ario para este m´odulo.
Lembremos que um conjunto ´e uma cole¸c˜ao de objetos, chamados os elementos do con- junto. Tipicamente, denotaremos os conjuntos por letras mai´usculas do come¸co do alfa- beto, A, B,... , e seus elementos por letras min´usculas do alfabeto, a, b, c, s, t, x, y,.... Alguns conjuntos ser˜ao denotados por s´ımbolos especiais, como veremos mais adiante.
A afirma¸c˜ao de que s ´e um elemento do conjunto A ´e escrita como s ∈ A. Como conceito primitivo, um conjunto fica completamente determinado por seus elementos, A = {a 1 , a 2 ,... }. Decorrente disto, dizemos que dois conjuntos A e B s˜ao iguais, A = B, se eles tiverem os mesmos elementos,
A = B se e somente se (s ∈ A ⇐⇒ s ∈ B).
Esta rela¸c˜ao entre pertinˆencia e igualdade ´e conhecida como o Axioma da Extens˜ao.
Dados os conjuntos A e B, dizemos que A ´e um subconjunto de B, A ⊂ B, se todo elemento de A for tamb´em elemento de B,
A ⊂ B se e somente se (s ∈ A ⇒ s ∈ B) ,
e diremos que A ⊂ B ´e um subconjunto pr´oprio de B se existe algum elemento b ∈ B que n˜ao pertence a A. Neste segundo caso, escreveremos explicitamente A ( B.
2 Elementos da teoria de conjuntos
Figura 1.1: Diagrama de Euler-Venn para dois conjuntos, A ⊂ B.
O conceito de inclus˜ao de conjuntos nos permite reescrever o Axioma da Extens˜ao da seguinte maneira A = B se e somente se (A ⊂ B e B ⊂ A).
Esta condi¸c˜ao equivalente ´e a comumente usada nas demonstra¸c˜oes de igualdade entre dois conjuntos: primeiro mostramos que A ⊂ B e depois que B ⊂ A.
Podemos representar conjuntos e rela¸c˜oes entre eles com desenhos esquem´aticos chama- dos diagramas de Euler - Venn. O diagrama da Figura 1.1, por exemplo, representa a rela¸c˜ao de subconjunto, com A ⊂ B.
Consideremos um conjunto Ω. Para cada elemento s ∈ Ω, um predicado q(s) ´e uma afirma¸c˜ao que ou ´e verdadeira ou ´e falsa. Assim, {s ∈ Ω : q(s) ´e verdadeira} define completamente um subconjunto de Ω: o conjunto de todos os elementos de Ω que satis- fazem q(s). Por exemplo,
A = {s inteiro : s = 2k, para algum k natural }
representa o conjunto dos n´umeros pares n˜ao-negativos.
A existˆencia de um conjunto a partir de um predicado ´e garantido pelo chamado Axioma da Especifica¸c˜ao.
Assumiremos agora a seguinte hip´otese de existˆencia: existe um conjunto. Com esta hip´otese e com o Axioma da Especifica¸c˜ao, podemos provar que existe um conjunto sem elementos.
De fato, dado um conjunto Ω, basta tomar {s ∈ Ω : s 6 = s}, ou qualquer outro predicado universalmente falso.
Daqui tamb´em, pelo Axioma da Extens˜ao, temos que este conjunto ´e ´unico: o chamado conjunto vazio, denotado por ∅.
Observe que o conjunto vazio ´e subconjunto de qualquer conjunto A. De fato, se isto n˜ao fosse verdade, deveria existir um elemento s ∈ ∅ que n˜ao pertence a A, o que n˜ao ´e poss´ıvel.
4 Elementos da teoria de conjuntos
Assim, se tivermos trˆes conjuntos A, B, C, a uni˜ao deles ´e
A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = {s ∈ Ω : s ∈ A ou s ∈ B ou s ∈ C} ,
e a interse¸c˜ao ´e
A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {s ∈ Ω : s ∈ A e s ∈ B e s ∈ C}.
Mais geralmente, seja A uma cole¸c˜ao de subconjuntos de Ω, A = {Ai ⊂ Ω : i ∈ I}.
A uni˜ao da cole¸c˜ao A ´e o conjunto que combina os elementos dos conjuntos em A, ⋃ A = {s ∈ Ω : s ∈ A para algum A ∈ A},
ou, escrito de outra maneira, ⋃ i∈I
Ai = {s ∈ Ω : s ∈ Ai para algum i ∈ I}.
A interse¸c˜ao da cole¸c˜ao A ´e o conjunto dos elementos em comum a todos os conjuntos em A, (^) ⋂ A =
i∈I
Ai = {s ∈ Ω : s ∈ Ai para todo i ∈ I}.
A Figura 1.2 mostra estes novos conjuntos a partir de uma cole¸c˜ao.
Figura 1.2: Diagrama de Euler-Venn para a uni˜ao e a interse¸c˜ao de uma cole¸c˜ao de conjuntos.
Dizemos que os conjuntos da cole¸c˜ao A s˜ao disjuntos dois a dois se a interse¸c˜ao de quaisquer dois conjuntos diferentes da cole¸c˜ao for vazia,
A ∩ B = ∅ para quaisquer A ∈ A e B ∈ A , com A 6 = B.
Dizemos que a cole¸c˜ao A forma uma parti¸c˜ao de um conjunto B se A for disjunta dois a dois e ⋃^ A = B. Por exemplo, se B = {a, b, c}, ent˜ao A = {{a}, {b, c}} ´e uma parti¸c˜ao de B.
Produto cartesiano 5
Dado um conjunto Ω, uma cole¸c˜ao importante ´e a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de Ω, chamado o conjunto das partes ou conjunto potˆencia de Ω, que denotaremos por P(Ω) ou 2Ω. A existˆencia desta cole¸c˜ao ´e garantida pelo Axioma das potˆencias.
Por exemplo, se Ω = ∅, ent˜ao P(Ω) ´e o conjunto {∅}. Se Ω = {a, b}, ent˜ao P(Ω) = {∅, {a}, {b}, Ω}. O conjunto potˆencia ´e tipicamente grande com rela¸c˜ao ao conjunto original: se Ω tem n elementos, ent˜ao P(Ω) tem 2n^ elementos. (Prove.)
1.4 Produto cartesiano
Dados dois conjuntos A, B, definimos o produto cartesiano entre A e B, e o denota- remos por A × B, como o conjunto de pares ordenados (a, b) tais que a ´e elemento de A, e b ´e elemento de B,
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
Observe que, em geral, A × B 6 = B × A. Mostre um exemplo onde a igualdade ´e v´alida e outro onde ela n˜ao ´e.
Em geral, consideremos os conjuntos Ω 1 , Ω 2 ,... , Ωn. Definimos o produto cartesiano entre eles como o conjunto
Ω 1 × Ω 2 × · · · × Ωn = {(s 1 , s 2 ,... , sn) : si ∈ Ωi para todo i ∈ { 1 , 2 ,... , n}}.
Se todos os conjuntos forem iguais, Ωi = Ω, denotamos o produto cartesiano como Ωn.
Podemos estender esta defini¸c˜ao para uma seq¨uˆencia enumer´avel de conjuntos (Ω 1 , Ω 2 ,... ) como ∏ i
Ωi = Ω 1 × Ω 2 × · · · = {(s 1 , s 2 ,... ) : si ∈ Ωi para todo i ∈ { 1 , 2 ,... }},
ou para uma fam´ılia n˜ao-enumer´avel, como, por exemplo, {Ωt, t ∈ [0, 1]}. Neste ´ultimo exemplo, podemos pensar o conjunto de ´ındices como o tempo, e Ωt como o conjunto considerado no instante t. No caso enumer´avel, esta interpreta¸c˜ao tamb´em se aplica, considerando o conjunto de ´ındices como as etapas de um processo e Ωn como o conjunto considerado da n-´esima etapa.
Denotaremos os elementos de um produto cartesiano com a nota¸c˜ao vetorial usual (s 1 , s 2 ,... , sn) ou simplesmente como letras de uma palavra s 1 s 2... sn.
Alguns produtos do portal Matem´atica Multim´ıdia [10] lidam com teoria de conjuntos, podendo ser utilizado como material auxiliar com os alunos. Os v´ıdeos Alice, os parado- xos e a formaliza¸c˜ao e A revanche de Alice mostram alguns dos paradoxos em teoria de
M˜aos `a obra 7
- Dados os conjuntos A, B, X, Y , prove que (A ∪ B) × X = (A × X) ∪ (B × X) e (A ∩ B) × (X ∩ Y ) = (A × X) ∩ (B × Y ).
- Seja Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 } × { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Este conjunto pode ser interpretado como o conjunto de resultados do lan¸camento de uma dado de 4 faces e um dado de 6 faces. Considere os conjuntos A = {(x, y) ∈ Ω : x ´e par } e B = {(x, y) ∈ Ω : x + y = 5}. Interprete e liste os elementos de cada um dos conjuntos a seguir: Ω, A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
- Seja Ω = { 0 , 1 }^3. Este conjunto pode ser visto como o conjunto de resultados de trˆes lan¸camentos de uma moeda (0 denotando coroa e 1, cara, por exemplo). Defina os conjuntos A = {(s 1 , s 2 , s 3 ) ∈ Ω : s 2 = 1} e B = {(s 1 , s 2 , s 3 ) ∈ Ω : s 1 + s 2 + s 3 = 2}. Interprete e liste os elementos de cada um dos conjuntos a seguir: Ω, A, B, AC^ , BC^ , A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
- Seja Ω = { 0 , 1 }^2 , o conjunto de resultados em dois lan¸camentos de uma moeda. Liste os elementos do conjunto das partes de Ω, P(Ω).
- Podemos denotar um conjunto de cartas de baralho como o conjunto produto
Ω = {As, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , J, Q, K} × {♣, ♥, ♦, ♠},
onde o primeiro elemento do par ordenado indica o valor da carta e o segundo indica o naipe. Denotemos por A o conjunto de cora¸c˜oes, e por B o conjunto de cartas com personagens. Interprete e liste os elementos dos conjuntos A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
- Considere a seq¨uˆencia de conjuntos An = [0, 1 − 1 /n], para n ∈ { 1 , 2 ,... }. Deter- mine ⋂^ An, ⋃^ An, ⋂^ ACn , ⋃^ ACn.
8 Elementos da teoria de conjuntos
10 Medida de contagem
Em geral, sejam A 1 , A 2 ,... , An uma cole¸c˜ao finita de subconjuntos disjuntos dois a dois de Ω. Ent˜ao
( (^) ⋃n
k=
Ak
∑^ n k=
#(Ak).
A visualiza¸c˜ao deste axioma ´e imediata: sejam A = {a, b} e B = {c, d, e}, conjuntos com #A = 2 e #B = 3; ent˜ao #(A ∪ B) = #{a, b, c, d, e} = 5 = 2 + 3. Do mesmo modo, a necessidade de serem conjuntos disjuntos tamb´em ´e clara: se A = {a, b} e B = {b, c, d}, com #A = 2 e #B = 3; ent˜ao #(A ∪ B) = #{a, b, c, d} = 4 6 = 2 + 3.
Uma conseq¨uˆencia imediata desta propriedade ´e que, dados dois conjuntos A e B tais que A ⊂ B, ent˜ao #A ≤ #B (mostre isto). Dizemos, ent˜ao, que # ´e uma fun¸c˜ao crescente relativa a ordem parcial dos subconjuntos de Ω ea ordem usual dos n´umeros reais.
2.2 Algumas desigualdades
As seguintes desigualdades nos permitem obter limitantes para o n´umero de elementos de um conjunto formado a partir da uni˜ao ou da interse¸c˜ao de outros conjuntos.
Desigualdade de Boole
Sejam A 1 , A 2 ,... , An uma cole¸c˜ao finita de subconjuntos disjuntos de Ω. Ent˜ao
( (^) ⋃n
k=
Ak
∑^ n k=
#(Ak).
Demonstra¸c˜ao. Vejamos inicialmente o caso n = 2, para entender o argumento da prova.
Dados os conjuntos A 1 e A 2 , consideremos os conjuntos B 1 = A 1 e B 2 = A 2 \ B 1 = A 2 \ A 1. Ent˜ao B 1 ∪ B 2 = A 1 ∪ A 2 , ou seja, #(B 1 ∪ B 2 ) = #(A 1 ∪ A 2 ). Como B 1 e B 2 s˜ao disjuntos, pelo princ´ıpio da adi¸c˜ao, #(B 1 ∪ B 2 ) = #B 1 + #B 2. Finalmente, como B 1 ⊂ A 1 e B 2 ⊂ A 2 , temos #B 1 ≤ #A 1 e #B 2 ≤ #A 2. Assim,
#(A 1 ∪ A 2 ) = #(B 1 ∪ B 2 ) = #B 1 + #B 2 ≤ #A 1 + #A 2.
Para n qualquer, dados os conjuntos A 1 , A 2 ,... , An, definamos os conjuntos B 1 = A 1 , B 2 = A 2 \ B 1 , B 3 = A 3 \ B 2 , e assim por diante, ou seja, Bk = Ak \ (A 1 ∪ · · · ∪ Ak− 1 ) para k ∈ { 2 ,... , n}.
Algumas desigualdades 11
Figura 2.1: Constru¸c˜ao da prova da desigualdade de Boole.
Observe que os elementos de B 2 s˜ao os elementos de A 2 que n˜ao est˜ao em A 1. Do mesmo modo, os elementos de B 3 s˜ao os elementos de A 3 que n˜ao est˜ao nem em A 1 nem em A 2 , e assim por diante. A Figura 2.1 mostra o caso para 3 conjuntos.
Portanto, os conjuntos B 1 , B 2 ,... , Bn s˜ao disjuntos dois a dois e tˆem a mesma uni˜ao que A (Prove estas afirma¸c˜oes formalmente dentro da teoria de conjuntos). Desta forma #(∪Ak) = #(∪Bk).
Pela regra da adi¸c˜ao, #(∪Bk) =
#Bk.
Finalmente, como Bk ⊂ Ak, temos que
(∪kAk) = # (∪kBk) =
#Bk ≤
#Ak,
como quer´ıamos provar.
Em palavras, o total de elementos da uni˜ao de conjuntos ´e menor ou igual que a soma dos totais de elementos de cada conjunto, j´a que se houver interse¸c˜ao n˜ao-vazia, contaremos os elementos da interse¸c˜ao mais de uma vez.
Princ´ıpio da multiplica¸c˜ao 13
Exemplo Quantos inteiros entre 1 e 1000 s˜ao divis´ıveis por 3 ou 7?
Denotemos por A e B os conjuntos A = inteiros entre 1 e 1000 divis´ıveis por 3; B = inteiros entre 1 e 1000 divis´ıveis por 7.
Queremos calcular #(A ∪ B).
Como #A =
#B =
#(A ∩ B) =
onde bxc ´e a parte inteira de x, pelo princ´ıpio de inclus˜ao-exclus˜ao, temos que
#(A ∪ B) = 333 + 142 − 47 = 428.
2.4 Princ´ıpio da multiplica¸c˜ao
O princ´ıpio da multiplica¸c˜ao, tamb´em conhecido como a regra do produto em contagem, se baseia na formula¸c˜ao de um procedimento ou algoritmo sequencial que permita gerar os objetos que devem ser contados.
Em outras palavras, suponha que o procedimento de contagem pode ser visto como um processo com duas etapas. Se a primeira etapa puder ser realizada de n 1 maneiras dife- rentes, e a segunda, de n 2 maneiras diferentes, independentemente da maneira escolhida na etapa anterior, ent˜ao o total de maneiras de realizar o processo ´e n 1 × n 2.
Por exemplo, considere um grupo com 3 meninos e 4 meninas, do qual escolheremos uma dupla menino-menina. Podemos ver este procedimento como o processo de escolher um menino e, depois de ter escolhido o menino, escolher uma menina. Para o primeiro passo, temos 3 possibilidade de escolha, e para o segundo, temos 4 possibilidades, inde- pendentemente do menino escolhido. Assim, podemos formar esta dupla de 3 × 4 = 12 formas diferentes.
Observe que poder´ıamos ter escolhido primeiro a menina e depois o menino, obtendo o mesmo resultado final.
Em geral, suponha que o procedimento pode ser visto como um processo com k passos, a serem realizados sucessivamente, e que cada passo j pode ser realizado de nj formas diferentes, independentemente das escolhas feitas previamente.
14 Medida de contagem
Ent˜ao o n´umero total de formas de realizar o procedimento ´e igual a n 1 × n 2 × · · · × nk, que ´e tamb´em o n´umero total de poss´ıveis objetos gerados.
Podemos visualizar este algoritmo em uma ´arvore de contagem. Consideremos uma ´arvore com k n´ıveis de galhos, de modo que cada galho do n´ıvel i se divida em ni+ novos galhos no n´ıvel i + 1, para i = 1,... , k − 1, como mostrado na Figura 2.3.
Figura 2.3: Diagrama de ´arvore de contagem.
O total de nodos no lado direito da ´arvore ´e igual ao produto n 1 n 2... nk.
Em particular, se em cada passo do algoritmo tivermos o mesmo n´umero de possibili- dades, n, ent˜ao o procedimento completo pode ser realizado de nk^ maneiras poss´ıveis.
Exemplo A placa de um carro consiste em 3 letras e 4 d´ıgitos. Quantas placas dife- rentes podem ser licenciadas? Considerando um total de 26 letras e 10 d´ıgitos, temos 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175 760 000 placas diferentes.
O fundamental para a correta aplica¸c˜ao deste princ´ıpio em um problema de contagem ´e fazer uma formula¸c˜ao clara do algoritmo que gera os diversos poss´ıveis objetos, de modo que cada objeto seja contado e que seja contado uma ´unica vez.
16 Medida de contagem
de contagem deve ser analisado separadamente levando em conta estas condi¸c˜oes, como no exemplo seguinte.
Exemplo Quantos n´umeros pares de trˆes algarismos podemos escrever com algarismos diferentes?
Daremos trˆes solu¸c˜oes para este problema.
solu¸c˜ao 1 O ´ultimo algarismo pode ser escrito de 5 modos: 0, 2, 4, 6, 8. O primeiro depender´a de qual algarismo foi usado no passo anterior. Se foi zero, ent˜ao o primeiro pode ser escolhido de 9 modos; se o zero n˜ao foi usado, temos 8 modos. Precisamos assim contar quantos casos tˆem o zero e quantos n˜ao o tˆem como ´ultimo algarismo.
Terminando em zero, temos 1 modo de escolher o ´ultimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiro, e 8, o segundo: 9 × 8 × 1 = 72 n´umeros.
N˜ao terminando em zero, temos 4 modos para o ´ultimo algarismo, 8 para o primeiro e 8 para o segundo: 8 × 8 × 4 = 256.
Finalmente, pelo princ´ıpio da adi¸c˜ao, o total de n´umeros satisfazendo a condi¸c˜ao ´e 72 + 256 = 328.
solu¸c˜ao 2 Podemos ignorar uma das restri¸c˜oes. Por exemplo, ignoremos que o pri- meiro algarismo n˜ao pode ser zero. Temos assim 5 modos de escolher o ´ultimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8, o segundo: 9 × 8 × 5 = 360 n´umeros. Estes n´umeros incluem aqueles com 0 no primeiro algarismo, que tem que ser descontados. Come¸cando em zero, temos 1 forma de escolher o primeiro, 4 de escolher o ´ultimo, e 8, o segundo: 1 × 8 × 4 = 32.
Portanto, temos 360 − 32 = 328 n´umeros com a condi¸c˜ao pedida.
solu¸c˜ao 3 Similarmente `a estrat´egia anterior, consideremos todos os n´umeros com 3 algarismos diferentes: 9 × 9 × 8 = 648. Destes, descontamos os n´umeros ´ımpares com 3 algarismos distintos: 8 × 8 × 5 = 320, obtendo 648 − 320 = 328 n´umeros.
O v´ıdeo Desejos e o software Geometria do T´axi, dispon´ıveis no site do projeto Mate- m´atica Multim´ıdia [10] tratam de algumas regras de contagem, podendo ser utilizados como material auxiliar em sala de aula.
M˜aos `a obra 17
Uma referˆencia bibliogr´afica cl´assica ´e o livro de Feller [2], que aborda este t´opico nos primeiros cap´ıtulos, com problemas que podem ser verdadeiros desafios. Um texto muito claro ´e o de An´alise Combinat´oria [1] da Cole¸c˜ao do Professor de Matem´atica, da SBM.
Os seguintes exerc´ıcios s˜ao importantes para perceber diferentes abordagens do princ´ıpio de adi¸c˜ao.
2.5 M˜aos `a obra
Para os seguintes exerc´ıcios, considere os subconjuntos A, B, C, A 1 , A 2 ,... , An ⊂ Ω, com Ω finito.
Dica: antes de fazer as demonstra¸c˜oes, construa pelo menos um exemplo, atribuindo valores para as quantidades e conjuntos envolvidos.
- Mostre que #AC^ = #Ω − #A.
- Mostre que #(B \ A) = #B − #(B ∩ A).
- Mostre que se A ⊂ B ent˜ao #(B \ A) = #B − #A.
- Suponha que Ω ´e um conjunto de seq¨uˆencias de comprimento k, com elementos da forma (x 1 , x 2 ,... , xk). Mostre que se cada coordenada j tiver nj poss´ıveis valores, independentemente das demais coordenadas, ent˜ao
#Ω = n 1 × n 2 × · · · × nk.
- Mostre que se Ω tem n elementos, ent˜ao Ωk^ tem nk^ elementos.
- Mostre que o n´umero de amostras ordenadas de k elementos que podem ser sele- cionadas com reposi¸c˜ao de uma popula¸c˜ao de n objetos ´e igual a nk.
- Mostre que o n´umero total de fun¸c˜oes de um conjunto A com n elementos em um conjunto B com m elementos ´e mn. Este resultado ´e uma motiva¸c˜ao para usar a nota¸c˜ao BA^ para o conjunto de todas as fun¸c˜oes de A em B.
- Suponha que Ω tem n elementos. Mostre que o conjunto das partes de Ω tem 2 n^ elementos. Dica: para cada subconjunto A de Ω, defina a fun¸c˜ao sobre Ω que atribui o valor 0 se o elemento n˜ao pertencer a A, e 1, se pertencer. Mostre que esta fun¸c˜ao determina unicamente o subconjunto A. Quantas fun¸c˜oes deste tipo existem?