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MECÂNICA PARA ENGENHARIA DINÂMICA SExTA EoIção | & | LTC IMECÂNICA PARA ENGENHARIA VOLUME êz DINÂMICA SEXTA EDIÇÃO 1. LL MERIAM L. G. KRAIGE Virginia Polytechnic Institute and State University Tradução e Revisão Técnica José Luís Lopes da Silveira, D.Sc. Professor da Universidade Federal do Rio de Janeiro — UFRJ Engenharia Mecânica, Escola Pulitécnica e COPPE LTC + fo Esta série de livros-texto [oi iniciada ex 1951 pelo falecido Dr. James L. Meriam. Naquela época, estes livros represen- taram uma transformação revolucionária na ensino de mecã- nica para a graduação. Eles sc tornaram os livros-texto defi- nitivos pelas décadas seguintes, como também modelos para outros Lextos de engenharia mecânica, que surgiram poste- riormente. Publicada com títulos ligeiramente diferentes an- teriores às primeiras edições de 1978, esta série de livros-texto sempre sc caracterizou pela organização lógica c pela apre- sentação clara e rigorosa da teoria, com exemplos instrutivos e uma rica exposição de problemas da vida real, todos com ilustrações de alto padrão. Além das versões em unidades do sistema americano, os livros foram publicados em versões com o Sistema Internacional — SI e foram traduzidos para muitos idiomas. Coletivamente, esses textos representam uma referência internacional para graduação em mecânica. As inovações e contribuições do Dr. Meriam (1917-2000) no campo da engenharia mecânica não podem ser sobrcs- timadas. Foi um dos principais educadores de engenharia da segunda metade do século XX, obteve seu bacharelado em engenharia, seu mestrado em engenharia e seu douto- rado na Yale University. Cedo, teve experiência industrial na Pratt and Whitney Aircraft e na (General Electric Com- pany. Durante a Segunda Guerra Mundial serviu na Guarda. Costeira americana, Foi Professor da University of Califor- nia, em Berkeley, Decano de engenharia na Duke Univer- sity, Professor da California Polytechnic State University, em San Luis Obispo, e Professor visitante na University of California, em Santa Barbara. Aposentou-se, finalmente, em. 1990. O Professor Meriam sempre se dedicon ao ensino e isso foi reconhecido por seus alunos em todos os lugares que ele lecionou. Em 1963, em Berkeley, foi 0 primeiro 2 receber o Outstanding Faculty Award da Tau Beta Pi, concedido prin- cipalmente devido à execlência no ensino. Em 1978, reecbeu o Distinguished Educator Award for Outstanding Service to Engineering Mechanics Education da American Society for lngineering Education (ASBE) e, em 1992, recebeu o Ben- jamin Garver Lamme Award, que é o prêmio nacional anual mais importante da ASEE. O Dr L. Glenn Kraige, co-autor da série Mecânica para Engenhario desde o início dos anos 1980, também deu con- tribuições significativas para a educação em mecânica. O Dr. Kraige obteve seu bacharelado, seu mestrado e seu douturado em ciências na University of Virginia, com ênfase em enge- nharia aeroespacial e, atualmente, é Professor de Mecânica e Ciência para Engenharia na Virginia Polytechnic Institute and State University. Em meados dos anos 1970, tive o pra- zer de presidir a banca de pós-graduação do Professor Kraige e tenho particular orgulho do fato de ele ter sido a primeiro dentre as minhas três dúzias de orientados de doutorado. O Professor Kraige foi convidado pelo Professor Meriam a se ENTRODUÇÃO juntar a ele e, com isso, garantir que q legado de excelência na autoria de livros-texto de Meriam fosse levado adiante para futuras gerações. Nas duas últimas décadas e meia, essa equipe altamente bem-sucedida teve um impacto glo- bal e enorme na educação de várias gerações de engenheiros. Além de sua pesquisa e publicações amplamente reconhe- cidas no campa de dinâmica. aeroespacial, o Professor Kraige dedicou sua atenção ao ensino da mecânica tanto em níveis introdutórios quante avançados. Sua excelência no ensino tem sido largamente reconhecida e o levou a receber prêmios de en- gino em níveis de departamento, faculdade, universidade, es- tado, região e país. Esses prêmios incluem o Francis d, Maher Award por excelência em educação no Department of neering Science and Mechanies, o Wine Award por excelência em ensino universitário e o Outstanding Educator Award do State Council of Higher Education for the Commonwealth of + Virginia. Em 1996, a Divisão de Mecânica da ASEE concedeu- lhe o Archie Higdon Distinguished Educator Award. A Carne- gie Foundation for the Advancement of Teaching e o Council for Advancement and Support of Education conferiram-lhe a distinção de Professor do Ano da Virginia em 1997. Em scus ensinamentos, o Professor Kraige valoriza o desenvolvimento da capacidade analítica, juntamente com o aprofundamen- to do discernimento físico e bom senso de engenharia. De: de o início dos anos 1980, trabalhou no projeto de softwear: para computadores pessoais, para melhorar o processo de ensino/aprendizagem em estática, dinâmica, resistência dos materiais e áreas especializadas de dinâmica e vibrações. A Sexta Edição de Mecânica pura Engenharia continua com o mesmo alto padrão das edições anteriores e acrescenta novos recursos de ajuda e estímulo aos estudantes. Contém um vasto conjunto de problemas interessantes e instrutivos. Os professores e estudantes que tiverem o privilégio de en- sinar ou estudar usando o livro Mecânica para Engenharia, dos Professores Meriam e Kraige, se beneficiarão de várias décadas de dedicação de dois educadores altamente compe- tentes. Seguindo q padrão das edições anteriores, este livro- texto enfatiza a aplicação da teoria em situações rcais de cn- genharia e, nessa importante tarefa, continua a ser o melhar. PÉ Qudesa «Iobn L. Junkins Distinguished Professor de Engenharia Acrocspacial Titular da Cátedra George d. Bppright de Ensino em Enge- nhuria Texas A&M University College Station, Texas Prefácia feito para mostrar tanto a coesão das relativamente poucas idéias [undamentais como a grande variedade de problemas que estas poucas idéias irão resolver, CaracrerístiCAS PEDAGÓGICAS A estrutura básica deste livro-Lexto consisto em uma se- ção que Lrala rigorosamente do assunto específico em ques- tão, com um ou mais Exemplos, que são seguidos por um gru- po de Problemas, Há uma Revisão do Capítulo, ao final dele, que resume os principais pontos, seguida de um conjunto de Problemas de Revisão. Problemas Os 121 Exemplos aparecem sobre um fundo sombreado. As soluções de problemas típicos de dinâmica são apresen- tadas em detalhe. Além disso, notas explicativas e de alerta (Sugestões Úteis) são numeradas e relacionadas à apresen- tação prineipal Existem 1.569 exercícios, dos quais aproximadamente 40% são novos na Sexta Edição. Os conjuntos de problemas são divididos em Problemas Introdutórios e Problemas Itepre- sentativos. À primeira seção consiste em problemas simples e sem dificuldades, destinados a ajudar o cstudante a ganhar confiança com o novo assunto, enquanto a maioria dos pro- blemas da segunda seção é de dificuldade e extensão médias. Os problemas estão geralmente organizados em ardem de di. ficuldade crescente, Fxercícios mais difíceis aparecem próxi- mos ao final dos Problemas Representativos e são marcados com o sírabolo b. Problemas para Resolução com o Auxílio do Computador, marcados com um asterisco, aparecem em uma seção cspceial na conclusão dos Problemas de Revisão ag final de cada capítulo. São dadas as respostas para todos os pro- blemas de número impar e para todos os problemas difíceis. As unidades SI são usadas em todo o livro, exceto em um número limitado de áreas introdutórias nas quais as unida- des do sistema americano são mencionadas com q propósito de generalização e de comparação com as unidades S1. Uma característica notável da Sexta Edição, como de tadas as edições anteriores, é a riqueza de problemas inte- ressantes c importantes que são aplicáveis a projetos de en- genharia. Independente de serem ou não diretamente identi- ficados como tal, virtualmente todos os problemas lidam com princípios e procedimentos inerentes ao projeto e análise de estruturas de engenharia c de sistemas mecânicos. Hustrações “Todos os elementos fundamentais de ilustrações técnicas, que têm sido uma parte essencial desta série de livros-texto em Mecônica para Engenharia, foram mantidos. O autor de- seja reafirmar a convicção de que um alto padrão de ilustra- cão é fundamental para qualquer trabalho escrito no campo da mecânica. Novas Caracteristicas desta Edição Embora mantendo as caracleríslicas especiais de todas as edições anteriores, incorporamos estas melhorias: * A ênfase principal nas cquações de trabalho-energia e impulso-quantidade de movimento está agora na for- ma da vrdem no tempo, tanto para partículas no Capí- tulo 3 quanto para corpos rígidos no Capítulo 6. * Nova ênfase fai colocada nus diagramas de impulso- quantidade de movimento em três partes, tanta para partículas quanto para corpos rígidos. Estes diagra- mas estão bem integrados com a forma da ordem no tempo das equações de impulso-quantidade de movi- mento. * Todas as seções teóricas foram reexaminadas para ma- ximizar o rigor, a clareza, a legibilidade e o nível de simplicidade. * Áreas com Conceitos-chave foram especialmente mar- cadas e destacadas na apresentação da teoria. * As Revisões dos Capítulos foram destacadas e contêm resumos dispostos em itens. * Aproximadamente 40% dos problemas são novos nessa Sexta Edição. 'Lodos os problemas novos foram resalvi- dos independentemente para assegurar um alto grau de precisão. + Novos ixemplos foram adicionados, incluindo aqueles. com soluções a serem obtidas com auxílio do computador. * Todos os Exemplos são destacados com um findo som- hreado para rápida identificação. * Foiografias foram adicionadas aos capítulos com a ob= jetivo de fornecer uma conexão complementar com si- tuações reais, nas quais a dinâmica desempenha um papel principal. ORcanização A divisão lógica entre dinâmica da partícula (Parte T) e dinâmica de corpo rígido (Parte TI) foi preservada, com cada parte tratando a cinemática antes da cinética. Este arranjo promove um progresso rápido e profundo em dinâmica de corpo rigido com o auxílio prévio de uma introdução abran- gente à dinâmica de partículas. No Capítulo 1, são estabelecidos os conceitos fundamen- tais necessários para o estudo de dinâmica. O Capítulo 2 trata da cinemática do movimento da partí- cula em diferentes sistemas de coordenadas, assim como os Lópicos de movimento relativo e restringido. O Capítulo 3, sobre cinética da partícula, se concentra nos três métodos básicos: força-massa-aceleração (Seção A), tra- balho-energia (Seção B) e impulso-quantidade de movimento (Seção 0). Os tópicos especiais sobre impacto, movimento de força central e movimento relativo estão reunidos em uma seção especial de aplicações (Seção D) e servem como mate- rial opcional a ser abordado de acordo com a preferência do professor e tempo disponível. Com esta organização, a aten- vão do estudante é mais fortemente focalizada sobre as três abordagens hásicas para cinética. O Capítulo 4, sobre sistemas de partículas, é uma exten- são dos princípios do movimento para uma única partícula é desenvolve as relações gerais que são fundamentais para a compreensão moderna da dinâmica. Este capítulo também inelui os tópicos de fluxo de massa constante e de massa va- riável, que podem ser considerados como material opcional. No Capítulo 5 sobre a cinemática de corpos rígidos em movimento plano, em que as equações de velocidade relativa e aceleração relativa são encontradas, a ênfase é colocada juntamente na solução pela geometria veturial e na solução pela álgebra vetorial. Esta duplo abordagem serve para re- forçar o significado da matemática vetorial. No Capítulo 6 sobre a cinélica de corpos rígidos, é dada wma grande ênfasc às equações básicas que governam todas Prefácio ix as categorias de movimento plano. Ênfasc especial também foi dada à formação da equivalência direta entre forças é binários reais aplicados e suas ma e Ja resultantes. Desta forma, a versatilidade do princípio da quantidade de movi- mento é enfatizada, e o estudante é encorajado a pensar dire- tamente em termos de efeitos dinâmicos resultantes. O Capítulo 7, que pule ser tratado como opcional, fornece uma introdução hásica à dinâmica em três dimensões que é suficiente para resolver muitos dos problemas mais comuns de espaço-movimento. Para os estudantes que mais tarde prosseguirem em trahalhos mais avançados na dinâmica, o Capítulo 7 fornecerá uma base sólida. O movimento giroscó- pico com precessão estacionária é tratado de duas maneiras. A primeira abordagem faz uso da analogia entre a relação de veiores de força e quantidade de movimento linear e a rela- ção de vetores de momento e quantidade de movimento an- gular, Com este tratamento, o estudante pode compreender o fenômeno giroscópico de precessão estacionária e manipular a maior parte dos problemas de engenharia sobre giroscó- pios sem um estudo detalhado da dinâmica tridimensional A segunda abordagem emprega as equações mais gerais de quantidade de movimento para rotação tridimensional em que todas as componentes da quantidade de movimento são levadas em consideração. O Capítulo 8 é dedicado ao tópico de vibrações. Iiste ca- pítulo inteiro de cobertura será particularmente útil para estudantes de engenharia cuja única exposição a vibrações será adquirida no curso básico de dinâmica. Momentos e prudulos de inércia de massa são apresenta- dos no Apêndice B. O Apêndice € contém wma breve revisão de tópicos selecionados de matemática elementar, bem como algumas técnicas numéricas que 9 estudante deve estar pre- parado para usar nos problemas resolvidos com auxílio do computador. Tabelas úteis de constantes físicas, centróides e momentos de inércia estão incluídas no Apêndice D. SUPLEMENTOS PARA PROFESSORES E ESTUDANTES Encontram-se disponíveis no site da LTC, www ltceditara. cnm.br, materiais suplementares. Para baixar esses mate- riais, na página do livro, clique na aba Suplementos. Vacê será automaticamente direcionado ao purtal de relaciona- mentos e receberá instruções de como proceder. AGRADECIMENTOS Um reconhecimento especial é devido ao Dr A. L. Hale, que trabalhou anteriormente na Bell Telephone Laborato ries, pela sua contínua contribuição na forma de sugestões valiosas e na revisão precisa do manuscrito. O Dr. Hale pres- tou serviços semelhantes em todas as versões anteriores desta série de livros de mecânica, desde os anus 1950, Ele revê todos os aspectos dos livros, incluindo todos os textos & figuras, novos e antigos. O Dr Hale obtém uma solução independente em cada novo exercício e fornece ao autor su- gestões e as correções necessárias às soluções que aparecem no Manual do Professor * O Dr. Hale é reconhecido por ser muito acurado em seu trabalho e seu conhecimento refinado *Muterial de uso exclusivo de professores. (N. E.) da língua inglesa é uma grande vantagem, que ajuda cada usuário deste livro-texto. Eu gosteria de agradecer aos professores da Department of Engineering Science and Mechanics da VPI&SU, que ofe- recem regularmente sugestões construtivas, Esses professo- res incluem Scott L. Hendricks, Saad A. Ragab, Norman E. Dowling, Michael W. Hyer e J. Wallace Grant. As contribui. ções de Wiltiam J. Palm, III, da University of Rhade Island para a Quinta Edição são novamente reconhecidas com gra- tidão, Além disso, reconhecemos a contribuição a esse projeto de livros-texto, ao longo de muitas anos, de minha assistente por 30 anos, Vanessa McCoy. As pessoas a seguir (listadas em ordem alfabética do so- brenome) forneceram: comentários sobre a Quinta Edição, revisaram partes da Sexta Edição ou contribuíram de outro modo para a Sexta Edição: Michacl Ales, U.S. Merchant Marine Academy Joseph Arumala. University of Maryland Eastern Shore Eric Austin, Clemson University Stephen Bechtel, Ohio State University Peter Birkemoe, University of Toronto Achala Chatterjee, San Bernardino Valley College Vi-chao Chen, University of Houston Mary Cooper, Cel Poly San Luis Obispo . Mukaddes Darwish, Texas Tech University Kurt DeGJoede, Elizabeihiown College John DesJardins, Clemsan University Larry DeVries, University of Utah Craig Downing, Southeast Missouri Staie University William Drake, Missouri State University Raghu Echempati, Keitering University Amelito Enriquez, Canada College Sven Esche, Síevens Institute of Technology Wallace Franklin, ULS. Merchant Marine Acaderay Bavxy Goodno, Georgia Institute of Lechnology Robert Harder, George Fox University Javier Hasbun, University of West Georgia Javad Ilashemi, Texas Tech University Scott Hendritks, Virginia Tech Robert Hyers, University of Massochusetts, Amherst Matthew Tkle, Adams Siate College Duane Jardine, University of New Orleans Qing Jiang, University of California, Riverside Jennifer Kadlowee, Rowan University Robert Kem, Milimonhee School of Engineering John Krohn, Arkansas Tech University Keith Lindler, United States Navol Academy Francisco Manzo-Robledo, Washingtun State University Geraldine Milano, New Jersey Institute of Technology Saced Niku, Cal Poly San Luis Obispo Wilfrid Nixon, University of Jowa Karim Nobra, University of South Florida Vassilis Panoskaltsis, Case Western Reserve University Chandra Putcha, California State University, Fullerton Blayne Roeder, Purdue University Bileen Rossman, Cul Poly San Luis Obispo Nestor Sanchez, University nf Texas, San Antonio Scott Schiff, Clemson University Sergey Smirnov, Texas Tech University Ertugrnl Taciroglu, UCLA Constantine Tarawnch, University of Lexas Jobm 'Purner, University of Wyoming Mohammed Zikry, North Curolina State University SUMÁRIO PaRTE i SEÇÃO € IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 138 a . 3/8 Introdução 138 DINÂMICA DE PARTÍCULAS T 3/9 Impulso Linear e Quantidade de Movimento Linear 138 a 3/10 Impuiso Angular e Quantidade de Caeíruio À Movimento Angular 149 Intropução À Dinâmica 3 . SEÇÃO D APLICAÇÕES ESPECIAIS 158 1/1 História e Aplicações Modernas 3 - 1/2 Conceitos Básicos a 3/1 Introdução 158 1/3 Leis de Newton a 3/12 Impacto 158 1/4 Unidades 5 3/13 Movimento com Força Central 167 1/5 Gravitação 6 3/14 Movimento Relativo 177 1/6 Dimensões 7 3/15 Revisão do Capítulo 185 1/7 Solução de Problemas em Dinâmica 8 1/8 Revisão do Capítulo 9 Capíruo 4 Cariruia 2 CiNEMáÁrTICA DE SISTEMAS DE PartíCULAS 195 Cinemárica DE PARTÍCULAS 15 9) Introdução . 195 4/2 Segunda Lei de Newton Generalizada 195 2/1 Introdução 15 4/3 Trabalho-Energia 197 2/2 Movimento Retilíneo 16 4/4 Impulso-Quantidade de Movimento 197 2/5 Movimento Curvilíneo Plano 29 4/5 Conservação da Energia e da Quantidade 2/4 Coordenadas Retangulares ten 3 de Movimento 200 : 2/5 Coordenadas Normal e Tangencial (n-1) 40 4/6 Escoamento Permanente de Massa 209 | 2/6 Coordenadas Polares (1-0) 49 4/7 Massa Variável 221 ! 2/1 Movimento Curvilineo Espacial 59 4/8 Revisão do Capítulo 230 i 2/8 Movimento Relativo (Eixos com Translação) [5] i 2/9 Movimento Restrito de Partículas Conectadas 73 Í 2/10 Revisão do Capítulo 7 Panre JE CaríruLo 5 DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS 237 Cinética DE PARTÍCULAS 87 s/t Introdução 8 CapírtuLo 5 SEÇÃO A FORÇA, MASSA E ACELERAÇÃO a; Cinemárica PLANA DE Corpos Rícibos 238 : 5/2 Segunda Lei de Newton 87 5/1 Introdução 239 | 3/3 Equação do Movimento e Solução 5/2 Rotação 240 de Problemas 89 5/3 Movimento Absoluto 249 3/4 Movimento Retílineo : 91 5/4 Velocidade Relativa 258 3/5 Movimento Curvilineo 101 5/5 Centro Instantâneo de Velocidade Nuta 268 . 5/6 Aceleração Relativa 276 i SEÇÃO B TRABALHO E ENERGIA 113 5/7 Movimento em Relação a Eixos i 3/6 Trabalho e Energia Cinética ns que Giram 286 3/7 Energia Potencial 127 5/8 Revisão do Capítulo 299 xii Sumário Capíruo 6 Cinérica PLANA pe Corpos Ricinos 305 6/1 Introdução 305 SEÇÃO A FORÇA, MASSA E ACELERAÇÃO 306 6/2 Equações Gerais do Movimento 306 6/3 Translação 30 6/4 Rotação em Torno de um Eixo Fixo 319 6/5 Movimento Plano Geral 329 SEÇÃO B TRABALHO E ENERGIA 342 6/6 Relações Trabalho-Energia sa 6/7 Aceleração a Partir da Relação Trabalho-Energia; Trabalho Virtual 355 SEÇÃO C IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 361 6/8 Equações de Impuiso-Quantidade de Movimento 361 6/9 Revisão do Capítulo 374 CaríruLo 7 Intropução À DINÂMICA TRIDIMENSIONAL DE Corpos Ricinos 383 71 Introdução 383 SEÇÃO A CINEMÁTICA 383 72 Translação 383 7/3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo 384 7/4 | Movimento em Planos Paralelos 384 75 Rotação em Relação a um Ponto Fixo 384 7/6 Movimento Geral 393 SEÇÃO B CINÉTICA 403 71 Quantidade de Movimento Angular 403 7/8 Energia Cinética 405 79 Equações de Movimento em Termos de Quantidade de Movimento e Energia au 7/10 Movimento em Planos Paralelos az 7/11 Movimento Giroscópico: Precessão Estacionária 416 7/12 Revisão do Capítulo 431 Caríruo 8 Vipração E Resposta No Domínio DO TEMPO 437 B/1 Introdução 431 B/2 Vibração Livre de Partículas 437 B/3 Vibração Forçada de Partículas 450 8/a Vibração de Corpos Rígidos 460 8/5 Metodos de Energia E 8/6 Revisão do Capitulo ”s ApPÊNDICES APÊNDICE A MOMENTOS DE INÉRCIA DE ÁREA aBi APÊNDICE BE MOMENTOS DE INÉRCIA DE MASSA 482 B/1 Momentos de Inércia de Massa em Relação a um Eixo 482 B/2 Produtos de Inércia 494 APÊNDICE € TÓPICOS SELECIONADOS EM MATEMÁTICA 502 c/1 Introdução 502 €/2 Geometria Plana 502 €c/3 Geometria Sólida 502 cm Álgebra 502 €/5 Geometria Analítica 503 €/6 Trigonometria 503 C/7 Operações Vetoriais 504 €Cja Séries 505 C/9 Derivadas 506 C/10 Integrais 506 €/1 Método de Newton para Resolução de Equações Intratáveis 508 C/72 Técnicas Selecionadas para Integração Numérica 509 APÊNDICE D TABELAS ÚTEIS at Tabela D/1 Propriedades Físicas 51 Tabela D/2 Constantes do Sistema Solar su Tabela D/3 Propriedades de Figuras Planas 512 Tabela D/4 Propriedades de Sólidos Homogêneos 514 ÍNDICE 518 PARTE I Dinâmica de Partículas DESCRIÇÃO DO CAPÍTULO História e Aplicações Modernas 1/2 Conceitos Básicos 1/3 Leis de Newton 1/4 Unidades 1/1 História E APLICAÇÕES MoDERNAS Dinâmita é o ramo da mecânica que trata do movimento dos corpos sob a ação de forças. O estudo da dinâmica na engenharia usualmente segue o estudo da estática, que trata dos efeitos das forças sobre as corpos em repouso. à dinâmica tem duas partes distintas: cinemática, que é o estudo do mo- vimento sem referência às forças que causam o movimento, € cinética, que relaciona a ação das forças sobre as corpos sos movimentos resultantes. Uma compreensão aprofundada de dinâmica irá fornecer uma das ferramentas mais úteis e po- derosas para análise em engenharia. História da Dinâmica A dinâmica é um assunto relativamente recente compa- rado com a estática. O início de uma compreensão racional da dinâmica é atribuído a Galileu (1564-1642), que fez ob- servações cuidadosas a respeito de corpos em queda livre, movimento em um plano inclinado, e movimento do pêndulo. Foi em grande medida o responsável por trazer um enfoque científico para a investigação de problemas físicos. Galileu sempre foi vítima de severas críticas por recusar-se 2 aceitar Galileu Galitei Retrato de Galileu Galilei (1564-1642) (álea sobre tela), Sustermêns, Justus (1597-1681) (escola de)/Galeria Palatina, Rorença, lália/fridgeman Art Library INTRODUÇÃO À DINÂMICA Gravitação 1/6 Dimensões 1/7 Solução de Problemas em Dinâmica 1/8 Revisão do Capítulo as crenças estabelecidas de sua época, tais como as filosofias de Aristóteles que afirmavam, por exemplo, que sorpos pe- sados caem mais rapidamente do que corpos leves. A falta de meios precisos para a medição do tempo foi uma grande desvantagem para Galileu, e outros desenvolvimentos im- portantes em dinâmica aguardaram a invenção do relógio de pêndulo por Huygens em 1657 Newton (1642-1727), guiado pelo trabalho de Galileu, foi capaz de elaborar una formulação precisa das leis do movi- mento e, consegientemente, colocar a dinâmica sobre uma base sólida. O famoso trabalho de Newton. foi publicado na, primeira edição do seu Principia,* que é geralmente reco- nhecido como uma das maiores entre Lodas as contribuições registradas para o conhecimento. Além de enunciar as leis que governam o movimento de uma partícula, Nevton foi o primeiro a formular corretamente a lei da gravitação uni- versal. Apesar de a sua descrição matemática estar correta, ele achava que o conceito de transmissão remota da força gravitacional sem o auxílio de um meio era uma idéia absur- da. Após a época de Newton, contribuições importantes para a mecânica foram feitas por Enter, D'Alembert, Lagrango, Laplace, Painsot, Cariolis, Einstein e outros. Mão robótica *As formulações aripir dução do seu Princiz Press, 1934, de Sir Isane Newton podem ser encontradas na tra- ia (1687), revisada por E, Cajori, University of Califaraia 4 Capítula 1 Aplicações da Dinâmica Desde que máquinas e estrituras passaram a operar em altas velocidades e com acelerações consideráveis tornon-se necessário realizar cálculos bascados nos princípios da di- nâmica em vez dos princípios da estática. O rápido desen- volvimento tecnológico nos dias atuais requer uma aplicação crescente dos princípios da mecânica, em particular da diná- mica. Estes princípias são básicos para a análise e projeto de estruturas em movimento, para estruturas estáticas sujeitas a cargas de impacto, para dispositivos robóticos, para siste- mas de controle automático, para foguetes, mísseis, e espa- conaves, para veículos de transporte terrestre c aúrco, para halística de elétrons em dispositivos elétricos, e para equipa- mentos de todos os tipas tais como turbinas, bombas, moio- ves alternativos, guindastes, máquinas ferramentas ete. Estudantes com interesses em uma ou mais destas e mui- tas outras atividades irão precisar constantemente aplicar os princípios fundamentais da dinâmica. 1/2 Concerros Básicos Os conceitos básicos de mecânica foram apresentados na Seção 1/2 do Vol. 1 Estática. Eles são resumidos a seguir jun- tamente cam comentários adicionais de especial relevância para o estudo da dinâmica. Espaço é a região geométrica ocupada pelos corpos. À po- sição no espaço é determinada em relação a algum sistema de referência geométrico por meio de medidas lineares e an- gulares. O sistema de referência básico para as leis da mecã- nica newtoniana é o sistema inercial primário ou referencial astronômico, que é um conjunto imaginário de eixos retangu- lares que se supõe não ter icanslação cu rotação no espaço. Medições mostram que as leis da mecânica newtoniana são válidas para este sistema de referência enquanto todas as velocidades envolvidas forem desprezíveis comparadas com à velocidade da luz, que é 300 000 km/s ou 186 000 milhas/s, Medições feitas em relação a esta referência são ditas abso- lutas, c este sistema de referência pode ser considerado “fixo” no cspaço. Um sistema de rettrência preso à superfície da Terra tem um movimento relativamente complicado no sistema primá- rio, é uma vurreção nas equações básicas da mecânica deve ser aplicada para medidas feitas em relação no reforencial da Terra. No cálculo de trajetórias de foguetes e de vôas espa- ciais, por exemplo, o movimento absoluto da Terra torna-se um parâmetro importante. Para a maioria dos problemas de engenharia envolvendo máquinas e estruturas que perm: necem na supertície da Terra, as correções são extremamen- te pequenas e podem ser desprezadas. Para estes problemas as leis da mecânica podem ser aplicadas diretamente com medidas feitas em-relação à Terra, c em um sentido prático tais medidas serão consideradas absolutos. Tempa é uma medida da sucessão de eventos e é conside- rada uma quantidade absoluta em mecânica newtoniana. Massa é a medida quantitativa da inércia ou resistência à mudança no movimento de um corpo. Massa tambéra pode ser corisiderada como a quantidade de matéria em um corpo, bem como à propriedade que dá origem a atração gravita- cional. Força é a ação vetorial de um corpo sobre outro. Às pro- priedades das forças foram tratadas minuciosamente no Vot 1 Estático. Uma partícula é um corpo de dimensões desprezíveis. Quando as dimensões de um corpo são irrelevantes para a descrição do scu movimento ou da ação das forças sobre ele, o corpo pude ser tratado como uma partícula. Um avião, por exemplo, pode ser tratado voruo uma partícula para a deseri- ção do trajeto de seu vôo. Um corpe rigido é um corpo cujas mudanças na for- ma são dosprezíveis comparadas com as dimensões gerais do corpo ou com as mudanças na posição do corpo como um todo. Como um exemplo da hipótese de rigidez, o pequeno movimento de flexão da ponta da asa de um aeroplano voaní do através de ar turbulento não tem, claramente, nenhuma consegiiência para a descrição do movimento do asroplano como um todo ao longo dlo seu trajeto de vão. Para este propó- sito, então, o tratamento do acroplano como um corpo rígido é uma aproximação aceitável, Por outro lado, se precisarmos examinar as tensões internas na estrutura da asa devido às variações das cargas dinâmicas, então as características de deformação da estrutura teriam que ser analisadas, e, para este propósito, o aeroplana já não poderia ser considerado um corpo rigido. - Vetur e escalar são quantidades que foram tratadas extensivamente no Vol. 1 Estútica, e sua diferença deve ser perfeitamente clara neste momento. Quantidades escalares são impressas em tipo itálico, e vetores são apresentados em negrito. Assim, V denota a módulo escalar do vetor V. É im- portante que usemos uma marca de identificação, tal como um sublinhado Y, em todos os vetores manuscritos para to- mar o lugar da indicação em negrito na impressão. Para dois vetores não paralelos lembre-se, por exemplo, de que V, + V, e V; + Va têm dois significados completamente diferentes. Presumimos que você está familiarizado cum a geometria e a álgebra de vetores por meio do estudo anterior de es- tática e matemática. Os estudantes que precisarem revisar cstes tópicos ixão encontrar um breve resumo dos mesmos no Apêndice C, juntamente com outras relações matemáticas que encontram uso fregúente em mecânica. A experiência tem mostrado que a geometria da mecânica frequentemente é uma fonte de dificuldade para os slunos. À mecânica pela sua própria natureza é geomélrica, e us estudantes deverão ter isto em mente enquanto revêem a sua matemática. Além da álgebra vetorial, a dinâmica requer o uso do cálculo veto- rial, e os elementos essenciais deste tema serão desenvalvi- dos no texto à medida que forem necessários. A dinâmica envolve o uso frequente de derivadas no tem- po tanto de vetores quanto de estalares. Como uma notação abreviada, am ponto sobre um símbolo será fregientemente utilizado para indicar uma derivada com respeito ao tempa. Assim, & significa dx/dt e X representa d2e/dt?. 1/3 Leis ve Newron - As três leis do movimento de Newton, apresentadas na Seção 1/4 do Vol. 1 Estática, são reapresentadas a seguir de- vida ao seu significado especial para a dinâmica. Em termi- nologia moderna elas são: 
