MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición. 1
P O S I C I Ò N
Análisis Cinemático:
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Análisis cinemático: Posición - Análisis gráfico y numérico de posiciones en mecanismos, Resúmenes de Cinemática
Documento que presenta el análisis cinemático de la posición en mecanismos, con enfoque en el análisis gráfico y numérico de posiciones. Se estudian mecanismos con un solo bucle y se muestra cómo calcular las posiciones de puntos en función de la variable de entrada.
Qué aprenderás
- ¿Qué es una variable primaria en el análisis cinemático de la posición?
- ¿Cómo se determina la posición de un eslabón motor en el análisis cinemático de la posición?
- ¿Cómo se calculan las posiciones de puntos en mecanismos?
- ¿Qué es el análisis cinemático de la posición?
- ¿Cómo se realiza el análisis gráfico de posiciones en mecanismos?
Tipo: Resúmenes
2014/2015
1 / 22
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MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
P O S I C I Ò N
Análisis Cinemático:
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Índice
INTRODUCCION.
ANALISIS GRAFICO DE POSICIONES.^
Mecanismos con un único bucle. Mecanismos con varios bucles.
ANALISIS NUMERICO DE POSICIONES.^
Introducción: Ecuación Vectorial de bucle cerrado. Planteamiento general (Método de Newton-Raphson). Estudio de posiciones singulares: puntos muertos. Trayectoria de puntos del mecanismo.
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición. Introducción
►
Antes de acometer el problema del análisisde la posición, se debe:^
Conocer
la
geometría
de
los
diferentes
eslabones, así como el tipo de pares con los queestos están unidos. ^
Determinar cual de los eslabones es la bancada. ^
Calcular la movilidad del mecanismo. ^
En
función
de
la
movilidad
del
mecanismo,
conocer
la
posición
del
(o
de
los)
eslabón
motor. Esta posición viene determinada por lavariable primaria, de entrada o motor.
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
5
Análisis gráfico de posiciones.Mecanismos con un solo bucle.
►^
En la figura se representa de forma esquemática unmecanismo biela-manivela. Dicho mecanismoconsta de los siguientes eslabones:^ ^
Eslabón fijo o bancada coincidente con el eje x, einvariablemente unido al sistema de referencia fijoXOY. ^
Eslabón
OA, denominado manivela. Está unido a la
bancada por medio de un par giratorio. ^
Eslabón
AB, denominado biela. Se une por medio de
un par giratorio a la manivela y a través de otro pargiratorio al pistón. ^
El pistón se une por medio de un par prismático a labancada
►^
Los datos geométricos necesarios para definir estemecanismo son^ ^
La longitud de la manivela
OA.
^
La longitud de la biela
AB.
^
La dirección de la corredera (dirección deldesplazamiento del pistón).
Y
X
q
X
B
A
O
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Análisis gráfico de posiciones.Mecanismos con un solo bucle.
►^
Puede resultar interesanterealizar diagramas de posiciónen los que se muestre comovaría la posición de un puntoen función del valor de lavariable de entrada, estosdatos pueden extraerse de losgráficos de posición ytranscribirse a diagramascartesianos como elrepresentado en la figura. ►^
Es indudable que paraobtener una buena precisiónse ha de realizar un elevadonúmero de posiciones.
OA + AB AB - OA
O^
^
^
^
2
2
2
3
X
q
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Análisis gráfico de posiciones.Mecanismos con un solo bucle.
0
0
3
2
1
B C
A
O^
q^
B^ C
A O^
q
r=CB
r=AB
B^1
A^1
q^1
q 0
0
1
2
A
B
X C ^
C
B
A
1
0
0
X X
q
^1
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
A
nálisis numérico de posiciones.
Ecuación vectorial de bucle cerrado. ►^ En la figura se muestra una representación deun
mecanismo
de
biela-manivela.
Con
independencia
de
la
posición
en
la
que
se
represente dicho mecanismo (que será siemprefunción de la variable de entrada
q
), se puede
plantear la siguiente ecuación vectorial: ►^
Que no es sino una forma vectorial de constatarel^
condicionante
geométrico
que
tiene
que
cumplir
la
cadena
cinemática
del
mecanismo
para todas y cada una de la posiciones, dondecada vector está asociado a un eslabón y quedadefinido por los puntos (pares cinemáticos) porlos que dicho eslabón se une a los demás. Aesta ecuación, que define en cada momento laposición del mecanismo, se la denominará en losucesivo ecuación de bucle cerrado, al obtenersesiempre una suma vectorial cuyo resultado esnulo.
X
Y L
1 L^3
L
2
X
Y^ L
1 L^3
L
2
0 3 2 1
^
^
L L L
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
11
Análisis numérico de posiciones.
►
Ecuación de bucle cerrado:^
La ecuación de posición (bucle cerrado)por componentes es: Donde q es conocido, L1, L2 y
dependen de la geometría del mecanismo,y^
2 y L3 son variables a determinar. ^
Las ecuaciones de posición forman unsistema no lineal de 2 ecuaciones con dosincógnitas.
cos
cos
cos
3 3 2 2 1 2 3 3 2 2 1 1
sen L
sen L
senq L f
L
L
q
L f
X
Y L^1
^3 L^3
L^2 q
^2
X
Y L^1
^3 L^3
L^2 q
^2
3 2 2
3 2 1
^
L
q
f
L
q
f
^
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
►
Planteamiento general (Método de Newton-Raphson).^
Al plantear las ecuaciones de bucle cerrado seobtiene un sistema no lineal de n ecuacionescon n incógnitas del siguiente tipo:
f1(x1, x2,......., xn) = 0f2(x1, x2,......., xn) = 0. .. fn(x1, x2,......., xn) = 0
Análisis numérico de posiciones.
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
que escrito de forma abreviada tendrá la forma:
Análisis numérico de posiciones.
^
f^
x( )
^
0
para
la
resolución
del
sistema
por
métodos
de
aproximaciones sucesivas, se supondrá conocida laaproximación p-ésima de una de las n raíces de laecuación vectorial
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
p n
p
p
p
p^
x
x
x
x
x^
,^
3
2
1
^
^
^
p
p
x
x
^
por tanto la raíz exacta será:
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Análisis numérico de posiciones. Suponiendo que la matriz Jacobiana no es singular (sudeterminante es diferente de cero):
n^ n
n n
n n f x
f x f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
x J x f
2
1
2
2 2 2
1
1 2 1 1 1
^
^ ^
^
^ ^
p
p
p^
x f
x J^
^
.
(^1)
por lo tanto, el iterante de orden p+1 se obtendrá de:
^
^
^
^
^
^
^
^
^
.... 2, 1, 0, p x f x J x
x^
p
p
p
p^
^
^
^
.
1
1
Siendo el iterante de orden cero un valor aproximadode la raíz deseada.
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Análisis numérico de posiciones.
►^
Estudio de posiciones singulares: puntos muertos.^ ^
Al plantear la ec. de bucle cerrado para el mecanismo dela figura se obtiene: ^
Siendo el determinante de la matriz Jacobiana(considerando L
como variable primaria): 3
^
Que será nulo cuando:
(
- 2
) = k 1
^
para k = 1,2....,
que se corresponderá con los puntos muertos delmecanismo
.
f^
L^
L^
L
f^
L^
L^
L
1
1
1
2
2
3
3
2
1
1
2
2
3
3
0 0
cos
cos
cos
sen
sen
sen
^
1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
cos.
cos.
^
sen
L
L
sen
L
L
sen
L
L
x
J
Y O
^2 ^1
L
L
L
1
2 3
^3
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Análisis numérico de posiciones.
B
C
A^
r
r r
L^22 1
B^
c
A
L^1
^
Caso 1: El eslabón alque pertenece el puntoestá unido a labancada:
^
^
^
^
r^
r^
r^
r^
L
B^
A^
BA
A
^
^
^
^
1
x^
x^
L
y^
y^
L
B^
A B^
A ^
^
1
1
1
1
cossen
^
►
Trayectorias de puntos de definición delmecanismo: pares.
MECANISMOS. Análisis cinemático: Posición.
Análisis numérico de posiciones.
B
C
A^
r
r r
L^22 1
B^
c
A
L^1
^
Caso 2: El eslabón alque pertenece el puntoNO está unido a labancada:^
^
r^
r^
r
C^
B^
CB
^
x^
x^
L^
x^
L^
L
y^
y^
L^
y^
L^
L
C^
B^
A
C^
B^
A
^
^
^
^
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
cos
cos
sen
sen
sen
►
Trayectorias de puntos de definición delmecanismo: pares.