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11. TRANSFORMADOR IDEAL
11.1. INTRODUCCIÓN
Cuando el flujo magnético producido por una bobina alcanza una segunda bobina se dice que existe entre las dos bobinas un acople magnético, ya que el campo magnético variable que llega a la segunda bobina produce un voltaje inducido en esta, aun cuando la segunda bobina se encuentre en circuito abierto.
De acuerdo a la ley de Faraday el voltaje inducido en una bobina en función del flujo magnético es:
dt
d t V t N
En donde N es el número de vueltas de la bobina y φ ( t)es el flujo magnético.
El transformador es un dispositivo especialmente diseñado y fabricado para que el acople magnético entre dos bobinas sea el mejor posible y permita inducir un voltaje en la segunda bobina, llamada bobina secundaria, al aplicar una corriente variable en la bobina primaria. Las aplicaciones de los transformadores son múltiples: líneas de transmisión de alto voltaje, alimentación de equipos electrónicos, sistemas de audio, automóviles, aislamiento eléctrico, equipos médicos, etc.
El transformador está formado por un núcleo, que suele ser un material ferromagnético, para aumentar el acople magnético, y por las dos bobinas que en general se fabrican en cobre. Estas bobinas tendrán por supuesto una inductancia y una resistencia. El paso de la corriente por las bobinas produce por tanto pérdidas de potencia en las resistencias de las bobinas. De igual manera existen pérdidas de potencia asociadas al hecho de que no todo el flujo magnético producido por la primera bobina pasa por la segunda bobina. Existen otras pérdidas de potencia asociadas al calentamiento del material ferromagnético por fenómenos de corrientes de Eddy y por histéresis del material.
Un modelo que represente un transformador que tenga en cuenta todos estos fenómenos es muy complejo, de manera que para simplificar se suele utilizar el modelo ideal del transformador.
11. TRANSFORMADOR IDEAL
11.2. RELACIONES ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES EN EL TRANSFORMADOR
IDEAL
En el transformador ideal se asume que: a) no hay pérdidas de potencia de ningún tipo; b) todo el flujo magnético producido por la bobina primaria pasa por la bobina secundaria. Esto implica que la potencia que entra en el primario es la misma que sale en el secundario a una carga que esté conectada.
La Figura 11-1 muestra el símbolo del transformador ideal con el número de vueltas NP en la bobina primaria (izquierda) y N (^) S en la secundaria (derecha).
Figura 11-
Para encontrar las relaciones entre las magnitudes del voltaje en el primario y del voltaje en el secundario, así como la relación entre la corriente primaria y secundaria, usaremos el circuito de la Figura 11-2, y el hecho de que no tenemos pérdidas de potencia.
Figura 11-
Dado que entre el primario y el secundario el acople magnético es perfecto, pues
no tenemos pérdidas, los flujos por cada bobina son iguales: φ 1 ( t)= φ 2 (t).
φ 1 (t )= φ 2 (t )
Derivando respecto al tiempo tenemos:
dt
d t
dt
d φ 1 (t ) φ 1 ()
Reemplazando por la ley de Faraday:
S
S
P
P
N
V t
N
V (t ) ()
11. TRANSFORMADOR IDEAL
Para el caso de voltajes en forma fasorial VP =VP∠ θvp
→
y VS =VS∠ θvs
→ la
relación entre magnitudes es en ambos casos:
P
S S P N
N
V =V ⋅
La relación entre las fases será dependiente de la localización de los puntos. En el
caso de la Figura 11-4(a) la fase es la misma: θ vs= θvp, mientras que en el caso
de la Figura 11-4(b) será θ vs= θvp+ 180 °.
vp P
S S S vs P N
N
V =V ∠θ =V ⋅ ∠ θ
→ = ∠ = ⋅ ∠ ( + °)
→
vp^180 P
S S S vs P N
N
V V θ V θ
(a) (b)
Figura 11-
Ejemplo 11-1. Transformador Ideal y convención de puntos.
Para los transformadores con relación de vueltas N (^) P NS= 50 de la Figura 11-
encontrar el voltaje en el secundario si se conecta en el primario una fuente de voltaje AC con magnitud de 110V y ángulo de fase de 120°.
Solución
En los dos casos el voltaje del primario será:
→ VP 5 120
Para el caso de la figura (a) el voltaje en el secundario es:
vp P
S S P N
N
V =V ⋅ ∠ θ
→
→ 120 2. 2 120 50
VS 110
En los dos casos el voltaje del primario será:
11.4. IMPEDANCIA REFLEJADA EN EL TRANSFORMADOR IDEAL
→ VP 5 120
Para el caso de la figura (b) el voltaje en el secundario es:
= ⋅ ∠ ( + °)
→
vp^180 P
S S P N
N
V V θ
= ⋅ ∠ ( °+ °) = ∠− °
→ 120 180 2. 2 60 50
VS 110
11.4. IMPEDANCIA REFLEJADA EN EL TRANSFORMADOR IDEAL
Figura 11-
La impedancia vista por la fuente en el primario Zp y la impedancia vista por la salida del transformador en el secundario Zs se calculan con respecto a la Figura 11-5 como sigue:
→
→
P
P P I
V
Z
→
→
S
S S I
V
Z
Reemplazando las relaciones V contra I por las impedancias tenemos:
1
2
N
N
V
V
I
I
P
S
S
P = = →
→
→
→
P
S
S
P
P
S
S
P
S S
P P
S
P
N
N
Z
Z
N
N
Z
Z
V
V
V Z
V Z
I
I
→
→
→
→
→
→
1
2
P
S
P
S
S
P
N
N
Z
Z
N
N
De donde
11.5. ACOPLE DE IMPEDANCIAS
2
S
P th in C N
N
R R R
Despejando la relación de vueltas tenemos:
C
th
S
P
R
R
N
N
Como ahora la resistencia reflejada vista por el circuito equivalente de Thévenin es
igual a Rth está entregando la máxima potencia posible. Y como el transformador
es ideal toda esta potencia en el primario pasa al secundario sin pérdidas. Así tenemos la máxima transferencia de potencia a la carga.
A pesar de que hemos conseguido tener la máxima transferencia de potencia a la carga, algo debemos perder: por supuesto ahora el voltaje que existe en la carga no es el mismo que tendría sin el transformador, pues se ve afectado por la relación de vueltas del transformador. Lo mismo ocurre con la corriente.
Ejemplo 11-2. Impedancia reflejada.
Para el circuito de la Figura 11-8 con alimentación AC:
a. Encontrar la impedancia de la carga en el secundario Z^ Lreflejada en el lado
primario del modelo aproximado del transformador Z (^) P (entre los terminales
EF-GH se tiene un transformador aproximado con sus respectivas resistencias de los embobinados). Entre los terminales AB-CD se tiene un
transformador ideal con n = NP NS = 4.
b. Plantear las ecuaciones matriciales para las mallas I 1 e I^2 en función de
n (^) , V 1 , RP , RS y Z (^) L.
c. Calcular Z (^) in = V 1 I 1 y comprobar que el resultado es el obtenido en (a).
Para esto calcular I 1 a partir de la parte (b).
Figura 11-
11. TRANSFORMADOR IDEAL
Solución
Parte a)
( )
2 2
2
Z n R Z n N
N
Z Z S S L
S
P P S ⎟ = ⋅ = + ⋅
Z (^) in = RP+ZP=RP+n ( RS+ZL)
2
Parte b)
Por el transformador:
1 2 0 (^1 )
2 1 1
2
nI I
n I nI I
I
n V
V
S
P
Malla 1: − V 1 +I 1 RP +VP= 0 ( 2 )
Malla 2:
( )
( )
( ) ( 5 )
1
0 ( 4 )
1
0 ( 3 )
2
2
2
2 2
P S L
P S L
P S L
S S L
V nI R Z
V I R Z n
V I R Z n
V I R I Z
= +
= +
− + + =
− + + =
reemplazando (5) en (2): ( )
( ) 1 ( ) 2 1 ( 6 )
1 2 1
R I nR Z I V
IR nI R Z V
P S L
P S L
empleando las ecuaciones del transformador en (2): ( 7 ) 1 1 1 1 n
V IR V V IR nV V P P P S S
− = − = ⇒ =
reemplazando (7) en (3): ( )
( ) ( 8 )
0
0
1 1 2
2
1 1
2 2
1 1
n
V I R Z I n
R
I R Z n
V
n
IR
I R IZ n
IR
n
V
S L
P
S L
P
S L
P
− + + =
⎟+ + = ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ − −
11. TRANSFORMADOR IDEAL
11.6. SIMULACIONES
11.6.1. TRANSFORMADOR IDEAL
Figura 11-
Descripción
Esta simulación permite mostrar los conceptos transformador ideal con y sin carga, sus relaciones entre voltajes en el tiempo y en forma fasorial, así como la convención de puntos para las fases.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica. Una vez los estudiantes manejan los conceptos de transformador, transformador ideal, fasores y la notación o convención de puntos, el estudiante puede interactuar con la simulación para ver los efectos en el voltaje secundario al cambiar la relación de vueltas de los devanados. También puede observar los efectos de conectar y desconectar una carga (al abrir o cerrar el interruptor) y el efecto en la fase del voltaje secundario al cambiar el devanado secundario según la convención de puntos.
