¡Descarga Transformadas de fourier y más Apuntes en PDF de Centrales Eléctricas solo en Docsity!
Capítulo 2
Series y transformadas de
Fourier
Las series de Fourier son series de términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como apli- cación constituyen una herramienta muy importante en la solución de prob- lemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La teoría de las series de Fourier es bastante complicada, pero la apli- cación de estas series es simple. Las series de Fourier son, en cierto sentido, más universales que las series de Taylor, ya que muchas funciones periódicas discontinuas pueden desarrollarse en serie de Fourier, pero, desde luego, no tienen representaciones en serie de Taylor. La introducción de las series de Fourier (y de las integrales de Fourier) fue uno de los mayores avances jamas realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería, ya que las series de Fourier (y las integrales de Fourier) son probablemente la herramienta más importante en la solución de problemas con valores en la frontera. Esto se explicará en el capítulo siguiente. La transformada de Laplace es con mucho la transformada integral más importante en ingeniería. Desde el punto de vista de las aplicaciones, las si guientes en importancia serían quizás la transformada de Fourier, aún cuan- do su manejo resulta un tanto más difícil que la transformada de Laplace
2.1. Series trigonométricas
Diremos que una función () es periódica, o —periódica, si está definida para todo ∈ R y si existe 0 , tal que
( + ) = () para todo ∈ R. (2.1)
1
2 Domingo Alcaraz Candela
Al número lo llamaremos periodo de (). La gráfica de esta función se obtiene por repetición periódica de su gráfica en cualquier intervalo de longitud .
Ejemplo 1 Las funciones sin y cos son funciones periódicas de periodo 2 . Las funciones constantes son funciones periódicas de cualquier periodo (en el sentido de la definición). Ejemplo de funciones que no son periódicas son , ^2 , ^ y ln .
Si () y () tienen periodo , entonces la función
() = () + ()
con ∈ R, también tiene periodo . Por (2.1) se tiene que para cualquier ∈ Z ( + ) = () para todo ∈ R
por tanto, 2 3
también son periodos^1 de (). El problema principal de este capítulo será la representación de varias funciones de periodo = 2 en términos de las funciones simples, de periodo 2 , { 1 cos sin cos (2) sin (2) cos () sin () }
llamado sistema trigonométrico.
-3 -2 -1 1 2 3
-1.
-0.
x
y
cos
-3 -2 -1 1 2 3
-1.
-0.
x
y
cos 2
-3 -2 -1 1 2 3
-1.
-0.
x
y
cos 3 (^1) Si una función periódica () tiene un periodo 0 que es el más pequeño de todos, este se denomina el periodo primitivo de (). Por ejemplo, el periodo primitivo de sin es 2 y el periodo primitivo de sin (2) es . Una función periódica sin periodo primitivo es ≡ .
4 Domingo Alcaraz Candela
donde 0 1 2 1 2 son constantes reales. Estas series se llaman se- ries trigonométricas^3 y a los coeficientes {}+ =0∞ y {}+ =1∞ se les llama coeficientes de la serie. Cada término de la serie (2.6) tiene periodo 2 . Por tanto si la serie (2.6) converge, su suma será una función de periodo 2 .
2.2. Serie de Fourier
Las funciones periódicas que se presentan en problemas prácticos con fre- cuencia son bastante complicadas y es deseable representarlas en términos de funciones periódicas simples. Se verá que casi cualquier función periódi- ca () de periodo 2 que aparezca en las aplicaciones (por ejemplo, con relación a vibraciones) puede representarse por una serie trigonométrica la cual se denominará serie de Fourier de . Las series de Fourier surgen de la tarea práctica de representar una función periódica () dada en términos de funciones coseno y seno. Estas series son trigonométricas cuyos coeficientes se determinan a partir de () mediante ciertas fórmulas (fórmulas de Euler), las cuales se establecerán primero. Después se considerará la teoría de las series de Fourier.
2.2.1. Fórmulas de Euler para los coeficientes de Fourier
Supongamos que () es una función periódica de periodo 2 que puede representarse por una serie trigonométrica
X^ +∞
=
( cos () + sin ()) , (2.7)
es decir, se supone que esta serie converge y que tiene a () como su suma. Dada una función () como esta, quieren determinarse los coeficientes y de la serie trigonométrica correspondiente. Determinemos 0. Al integrar ambos miembros de (2.7) se obtiene Z (^)
−
Z
−
X^ +∞
=
( cos () + sin ())
(^3) Recordar que cualquier situación en la que está involucrada una serie funcional su convergencia requiere preocuparse por el comportamiento de sus sumas parciales
() = 2 0 +
^ =
( cos () + sin ()).
2.2 Series de Fourier 5
Si es posible realizar la integración término a término de la serie^4 , se obtiene Z (^)
−
Z
−
+X∞
=
μ
Z
−
cos () +
Z
−
sin ()
Claramente el primer término del segundo miembro
0 2
Z
−
Además sabemos de (2.2) que las integrales del segundo miembro son cero. Consecuentemente, (^) Z −
es decir,
0 =
Z
−
Determinemos ahora 1 2 y 1 2 Multipliquemos (2.7) por cos (), donde ∈ Z+, e integremos de − a :
Z (^)
−
() cos () =
Z
−
Ã
+X∞
=
( cos () + sin ())
cos ()
Al integrar término a término, se observa que el segundo miembro queda
Z
−
cos ()
μ
Z
−
cos () cos () +
Z
−
sin () cos ()
Sabemos de (2.2) que la primera integral es cero. Además de (2.4) +X∞
=
Z
−
cos () cos () =
y de (2.3) +X∞
=
Z
−
sin () cos () = 0.
(^4) La idea consiste en suponer que la serie es uniformemente convergente, lo que permite integrar término a término.
2.2 Series de Fourier 7
de Fourier de esta serie son
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
x
y
sen
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
x
y
μ sen +
sen 3
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
x
y
P^2
=
1 2 +1 sen (2^ + 1)^
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
x
y
P^3
=
1 2 +1 sen (2^ + 1)^
2.2.2. Convergencia de la serie de Fourier
Supongamos que () es cualquier función periódica dada de periodo 2 para la que existen las integrales de (2.8); por ejemplo, () es continua o tan sólo continua a trozos. Entonces pueden calcularse los coeficientes de Fourier (2.8) de () y utilizarlos para formar la serie de Fourier (2.9) de (). Sería muy conveniente que la serie así obtenida convergiera y tuviera la suma^6 (). La mayoría de las funciones que se presentan en las aplica- ciones son tales que esto se cumple (salvo en los saltos de (), los cuales discutiremos a continuación). En este caso, cuando la serie de Fourier ()
(^6) Pero no siempre ocurre así, pues existen muchas funciones integrables e incluso con- tinuas, cuya serie de fourier converge en uno o más puntos.
8 Domingo Alcaraz Candela
de () representa a (), se escribe
() = ()
con un signo de igualdad. Si la serie de Fourier de () no tiene la suma () o no converge, escribiremos
() ∼ ()
con una tilde ∼, lo que indica que la serie trigonométrica del segundo miem- bro tiene los coeficientes de Fourier de () como coeficientes^7 , por lo que se trata de la serie de Fourier de () El siguiente paso es plantear el problema de la convergencia de la serie de Fourier: hasta qué punto la serie de Fourier de una función es una rep- resentación válida de la misma. Nuestro propósito es presentar de manera adecuada un conjunto de condiciones que garanticen que la serie de Fourier de una función no solamente converja, sino que además converja a la función considerada.
Teorema 2.2.1 Condición suficiente de convergencia puntual de una serie de Fourier Sea () una función 2 -periódica^8 , continua a trozos en el intervalo [− [ y que tiene derivada por la izquierda y por la derecha en todo punto de dicho intervalo. Entonces la serie de Fourier de () converge y su suma^9 es 0 2
X^ +∞
=
( cos () + sin ()) =
Ejemplo 3 Onda cuadrada
(^7) Empezaremos por poner de manifiesto que la serie de Fourier de una función integrable en el intervalo [− ] no está determinada biunívocamente por la función. Por ejemplo, dos funciones que coinciden en todo el intervalo [− ], salvo en un número finito de puntos, definen la misma serie de Fourier. (^8) Por tanto al considerar series de Fourier, asumiremos que la función está definida en el intervalo − ≤ (o bien en el intervalo − ≤ ) y que para los otros valores de la variable , viene determinada por la condición
( + 2) = ().
(^9) Observar que si () es continua en 0 , entonces − 0 ^ = + 0 ^ = ( 0 ) y la serie de Fourier converge a ( 0 ) ya que
(+ 0 ) + (− 0 ) 2 =^
( 0 ) + ( 0 ) 2 =^ ^ (^0 )^.
10 Domingo Alcaraz Candela
con coeficientes de Fourier
R
− ^ () cos ()^ ^ para todo^ ^ ≥^0.
R
− ^ () sin ()^ ^ para todo^ ^ ∈^ N.
entonces, como = (^) sustituyendo en (2.10) y (2.11) se obtiene
μ
+X∞
=
μ cos
μ
μ
y
R
− ^ () cos
μ
para todo ≥ 0.
R
− ^ () sin
μ
para todo ∈ N.
Generalmente se escribe 0 = (^) , y por lo tanto,
+X∞
=
( cos ( 0 ) + sin ( 0 )) ,
con
R
− ^ () cos (^0 )^ ^ para todo^ ^ ≥^0.
R 2
− 2 ^ () sin (^0 )^ ^ para todo^ ^ ∈^ N.
Ejemplo 4 Onda cuadrada periódica Determinar la serie de Fourier de la función
0 si − 2 − 1
si − 1 1
0 si 1 2
con = 2 = 4, = 2.
2.3 Otras formas de las series de Fourier 11
2.3.2. Series de Fourier de funciones pares e impares
A continuación pasamos a considerar el desarrollo en serie trigonométrica de funciones pares e impares. En principio los conceptos desarrollados hasta ahora podrían haberse realizado en cualquier intervalo de longitud 2 . No obstante, el intervalo − ≤ ≤ tienen importantes ventajas a la hora de aprovechar las propiedades simétricas de las funciones. Recordemos que una función (), definida en un intervalo [− ] con 0 , es una función par^10 si (−) = () para todo ∈ [− ]. Diremos que es una función impar^11 si (−) = − () para todo ∈ [− ]. Las funciones cos () son pares y las funciones sin () son impares. También sabemos que si es par, entonces Z (^)
−
Z
0
y si es impar, entonces Z (^)
−
Además es obvio que el producto = de una función par y una función impar es impar, ya que
(−) = − ().
Consecuentemente, si () es par, entonces el integrando () sin
μ
en
(2.12) es impar, y = 0. De manera similar, si () es impar, entonces
() cos
μ
en (2.12) es impar, y = 0. De esto deducimos el siguiente
resultado
Teorema 2.3.1 Serie de Fourier de funciones pares e impares Sea una función 2 -periódica integrable de Riemann en [− ].
(i) Si es par la serie de Fourier de es una serie de Fourier de cosenos
+X∞
=
cos
donde los coeficientes {}+ =0∞ se determinan a partir de la función según las fórmulas
=
Z
0
() cos () para todo ≥ 0 (2.14)
1 0 (^) La gráfica de esta función es simétrica con respecto al eje . 1 1 (^) la gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen de coordenadas
2.3 Otras formas de las series de Fourier 13
La función ∗^ () de la siguiente gráfica
‐ 3 ‐ ‐ 0 2 3 4 5
2k
es la suma de la función () del Ejemplo 2 y la constante . Por tanto, a partir de dicho ejemplo y del Teorema 2.3.2 se concluye que
∗^ () = +
μ sin +
sin (3) +
sin (5) +
Ejemplo 7 Onda diente de sierra (pag41) Determinar la serie de Fourier de la función
() = + si − ≤ y ( + 2) = ().
‐ 3 ‐ ‐ 0 2 3 4 5
2.3.3. Serie de Fourier en notación compleja
Supongamos que la función () satisface las condiciones suficientes de desarrollabilidad en serie de Fourier. Entonces es posible representarla en [− [ mediante la serie del tipo
+X∞
=
( cos () + sin ()) (2.17)
14 Domingo Alcaraz Candela
Aprovechando las fórmulas de Euler
^ = cos + sin
y −^ = cos − sin
hallamos, con = , que
cos () =
^ − −
y sin () =
−^ −
Sustituyendo ahora (2.18) en (2.17) se obtiene
+X∞
=
μ
^ − −
−^ −
+X∞
=
μ − 2
^ +
y si denotamos
0 2
= y
entonces
() ∼ 0 +
+X∞
=
^ + −−
o equivalentemente
+X∞
=
^ +
+X∞
=
+X∞
=
^ +
X^ −^1
=−+∞
X^ +∞
=
^ +
X^ −^1
=−+∞
+X∞
=−+∞
Esta es la llamada forma compleja de la serie de Fourier o serie compleja de Fourier. Determinemos ahora la expresión de los coeficientes y −. Sabemos que
=
y − =
16 Domingo Alcaraz Candela
2.4. Transformada de Fourier
Dada una función : R −→ C llamaremos transformada de Fourier de a la función compleja
F [ ()] () =
Z +∞
−∞
() −^ . (2.19)
para todo ∈ R donde la expresión anterior tenga sentido, es decir, donde la integral impropia anterior sea convergente^12.
Esta convergencia es más dificil de verificar que en el caso de la trans- formada de Laplace. Supongamos por ejemplo que y son reales, por lo que −^ = cos () − sin (), que como sabemos tiene módulo 1. Si () es también real, para garantizar la convergencia absoluta de la integral anterior debe satisfacerse que
l´ım −→±∞
¯ (^) = l´ım −→±∞
por lo que las funciones reales que tendrán transformada de Fourier tienen
1 2 (^) La integral impropia (^) +∞ −∞
() =
(^) −∞
() +
(^) +∞
()
para todo ∈ R, se dice que existe o es convergente si existen los límites
= (^) −l´→ım+∞
(^) −
() = (^) −l´→ım÷∞
(^)
()
y entonces (^) +∞ −∞
() = + .
Si + = +∞ − (+∞)
la integral no es convergente, pero si existe
−^ l´→ım+∞
(^) −
()
a éste límite le llamaremos valor principal de Cauchy de la integral impropia. Este valor principal coincide con el de la integral cuando ésta es convergente, por lo que en la integral impropia de la integral de Fourier se considera su valor principal.
2.4 Transformada de Fourier 17
que tener una gráfica como la siguiente
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-0.
-0.
x
y
o bien ser nulas fuera de un intervalo compacto [ ].
Ejemplo 9 Determinar la transformada de Fourier de la función () = − () − (), donde () es la función de Heaviside (extendida a R) para 0.
-20 -10 10 20
1
2
x
y
() y F [ ()] ()
Ejemplo 10 Determinar la transformada de Fourier de la función () = −||.
2.4 Transformada de Fourier 19
- () es absolutamente integrable^13 en R.
Linealidad de la transformación de Fourier
Para cualesquiera funciones () y () cuyas transformadas de Fourier existen y para constantes y cualesquiera
F [ () + ()] () = F [ ()] () + F [ ()] (). (2.20)
La prueba de esta propiedad viene directamente de la linealidad de la integral ya que
F [ () + ()] () =
Z +∞
−∞
( () + ()) −^
Z +∞
−∞
() −^ +
Z +∞
−∞
() −^
= F [ ()] () + F [ ()] ().
Ejemplo 12 Determinar la transformada de Fourier de la función () = − () − () + −||.
Transformada de Fourier de la derivada
Sea una función continua y absolutamente integrable en R con
l´ım ||−→+∞
y ^0 continua a trozos en R. Entonces
F
() = F [ ()] () (2.21)
La demostración de este resultado se realiza mediante la fórmula de integración por partes
F
Z +∞
−∞
^0 () −^
=−∞ +^
Z +∞
−∞
() −^
= F [ ()] ()
1 3 R |^ ()|^ ^ +∞
20 Domingo Alcaraz Candela
ya que l´ım ||−→+∞
= l´ım ||−→+∞
Mediante dos aplicaciones sucesivas de (2.21) se obtiene
F
h 00 ()
i () = F
() = ()^2 F [ ()] () = −^2 F [ ()] ().
Se aplicará lo mismo para derivadas superiores obteniendo que para ≥ 1
F
h )^ ()
i () = ()^ F [ ()] ().
Ejemplo 13 Determinar la transformada de Fourier de −^2.
Cambio de escala
Sea 0. Si es una función continua y absolutamente integrale en R, entonces
F [ ()] () =
F [ ()]
La demostración de este resultado se realiza mediante el cambio de vari- able = donde = y como 0
si −→ +∞ =⇒ = −→ +∞, si −→ −∞ =⇒ = −→ −∞.
Por lo tanto
F [ ()] () =
Z +∞
−∞
() −^
Z +∞
−∞
() −^
(^)
Z +∞
−∞
() −^
^ =^1
F [ ()]
Ejemplo 14 Determinar la transformada de Fourier de −||^ con 0.
