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T R A N S F O M A D A D E L A P L A C E
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Transformada de Laplace: Propiedades y Aplicaciones, Monografías, Ensayos de Ecuaciones Diferenciales
Las propiedades básicas de la Transformada de Laplace, incluyendo linealidad, escalamiento, desplazamiento en el tiempo y en la frecuencia, y diferencia en el tiempo. Además, se explican los métodos de integración y diferenciación en el dominio de la frecuencia compleja. Se incluyen ejemplos y teoremas para clarificar los conceptos.
Qué aprenderás
- ¿Cómo se aplica el escalamiento a la transformada de Laplace?
- ¿Cómo se obtiene el desplazamiento en el tiempo de la transformada de Laplace?
- ¿Cómo se realiza la integración en el dominio de la frecuencia compleja?
- ¿Cómo se define la transformada de Laplace de una función?
- ¿Cuál es la linealidad de la transformada de Laplace?
Tipo: Monografías, Ensayos
2020/2021
1 / 33
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Índice
- P á g i n a 2 | - Transformada de Laplace Contenido
- Propiedades de la Transformada de Laplace
- Linealidad
- Escalamiento.....................................................................................................................
- Desplazamiento en el Tiempo
- Desplazamiento en la Frecuencia
- Diferencia en el Tiempo
- Integración en el tiempo.................................................................................................
- Diferenciación en el Dominio de la Frecuencia
- Valor inicial
- Valor final
- Condiciones de Existencia para la Transformada de una Función
- Teoría y Ejemplo de Transformada Directa
- Ejemplos:
- Teoría y Ejemplo de Transformada Inversa
- Ejemplos:
- Que es una Función Escalón Unitario y un Ejemplo
- Ejemplos:
- Teoremas de Traslación
- Transformada de una derivada
- Teorema de convulsión
- Demostración..................................................................................................................
- Ejemplo
- Solución............................................................................................................................
- Transformada de una Integral
- Tabla de transformadas
- Transformada de una Función periódica
- Transformada de Delta de Diract
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donde para un , se define una región de convergencia
para , donde para dicha región la transformada existe.
En la figura 6.3-2 se muestra la región de convergencia para la transformada
de Laplace.
Para efectos del curso el enfoque será únicamente en los pares de
transformadas. Un par de transformada está dado por la transformada
de y la transformada inversa de , donde se tiene que:
lo cual es una integración de contorno en el plano complejo a lo largo de
una línea recta, de forma que:
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Por lo que se sabe que:
Propiedades de la Transformada de Laplace
Linealidad
Considere el siguiente ejemplo:
Se tiene por definición que:
Donde y son respectivamente transformadas de Laplace
de y.
Se puede comprobar que:
Escalamiento
Si es una transformada de Laplace de entonces:
Aplique un cambio de variable y , con ello se tiene que:
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Diferencia en el Tiempo
Considere la siguiente expresión:
Pista:
Para simplificar la expresión anterior, se sugiere utilizar el método por
partes donde las nuevas variables son:
Se obtiene que la diferenciación en el domino del tiempo en el dominio de
la frecuencia compleja es:
Integración en el tiempo
Considere la siguiente expresión:
Pista:
Para simplificar la expresión anterior, se sugiere utilizar el método de
integración por partes, donde las nuevas variables son:
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Se obtiene que la integración en el dominio del tiempo en el dominio de la
frecuencia compleja es:
Diferenciación en el Dominio de la Frecuencia
Considere la siguiente expresión:
Derivando respecto a la variable , se obtiene que:
Reacomodando la expresión anterior se tiene que:
Valor inicial
Valores iniciales y finales
Las propiedades del valor inicial y final, permiten encontrar el valor inicial
en y el final en de una función mediante si transformada de
Laplace.
Valor inicial
Para determinar la expresión que permite calcular el valor inicial, se utilizará
la propiedad de diferenciación, la cual se muestra a continuación:
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Condiciones de Existencia para la Transformada de una Función
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
para 𝑆 > 𝛼 de una función cualquiera:
- Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo [ 0 , ∞]
- Ser de orden exponencial α
1 .- Para motivos prácticos puede pensar a una función, así como una
función seccionada continua en cada una de las secciones pero que
posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas
secciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no
intervalos. Estas funciones tienen graficas similares a:
2.- Una función f(t) se dice de orden exponencial α si acaso existe una
constante positiva M y un número T que cumplan:
Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece más rápido
que la función exponencial en el intervalo
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Teoría y Ejemplo de Transformada Directa
En sí comprender el concepto de Transformadas de Laplace no es muy
complicado, pero, es muy importante conocer de dónde surgen estas
teorías para tener un panorama más claro. Sea (𝑡) una función dada que
esté definida para toda 𝑡 ≥ 0. Se multiplica (𝑡) por 𝑒 −𝑠𝑡 y se integra con
respecto a 𝑡 de cero a infinito. Entonces, si la integral resultante existe, será
una función de 𝑠:
Esta función (𝑠) de la variable 𝑠 se llama transformada de Laplace de la
función original 𝑓(𝑡) y se denota por ℒ{𝑓(𝑡)}. Por tanto.
Además, la función original (𝑡) se llama transformada inversa o inversa de
𝐹(𝑠) y se denota por ℒ −1 {𝑓(𝑡)} es decir:
Si (𝑡) está definida cuando 𝑡 ≥ 0, la integral impropia ∫ 𝐾(𝑠,𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∞ 0 se define
como un límite:
La sustitución (𝑠,𝑡) = 𝑒 −𝑠𝑡 proporciona una transformación integral muy
importante. Entonces se obtiene:
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Teoría y Ejemplo de Transformada Inversa
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la
convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver
para , es decir,. Ahora, como si pudiéramos
devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir,
necesitamos de la transformada inversa , para hallar la
función
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es
decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de
, escrita es , es decir,
Ejemplos:
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Teoremas de Traslación
No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una
transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al
calcular , es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar
algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de
transformadas.
Si conocemos que , podemos calcular la transformada
de como una traslación, de a , como lo enuncia el
siguiente teorema
Teorema [Primer
teorema de traslación]
Si es un número real y existe, entonces
donde.
Forma inversa del primer teorema de traslación:
Demostración
La prueba es inmediata a partir de la definición
Observación: si consideramos a como una variable real, entonces la
gráfica de es la misma de trasladada unidades sobre el
eje. Si , la gráfica de se desplaza unidades a la derecha,
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