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TRANSFORMADA DE LAPLACE: DEFINICI ´ON, PROPIEDADES Y EJEMPLOS
- Definici´on de Transformada de Laplace
Sea E el espacio vectorial de las funciones continuas a trozos y de orden exponencial (esto es, dada una funci´on f (t) continua a trozos existen las constantes K y ω tales que ∀t la
funci´on f est´a acotada en la forma |f (t)| ≤ Keωt).
Se define la Transformada de Laplace L[·] de la funci´on f (t) ∈ E como la transformaci´on integral
L[f (t)] ≡ F (s) =
0
e−stf (t)dt
Por ejemplo,
L[1] =
0
e−stdt =
−e−st
s
+∞
0
s ;^ s >^0
∞; s ≤ 0
L[sin t] =
0
e−st^ sin tdt =
1 + s^2
; s > 0
∞; s < 0
6 ∃; s = 0
- Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
La transformaci´on de Laplace es lineal, esto es, dadas dos funciones f, g ∈ E se verifica
L[C 1 f (t) + C 2 g(t)] = C 1 L[f (t)] + C 2 L[g(t)], C 1 , C 2 ∈ IR
- Propiedad de cambio de escala
Sea f (t) ∈ E. La funci´on g(t) = f (αt) tambi´en pertenece a E y se verifica
L[g(t)] ≡ G(s) =
α
F
( (^) s
α
- Propiedad de desplazamiento en frecuencia
Sea f (t) ∈ E. La funci´on g(t) = eωtf (t) tambi´en pertenece a E y se verifica
L[g(t)] ≡ G(s) = F (s − ω)
- Propiedad de desplazamiento en el tiempo
Sea f (t) ∈ E. La funci´on g(t) = f (t − T˜ )u(t − T˜ ) tambi´en pertenece a E y se verifica
L[g(t)] ≡ G(s) = e−^
T s˜ F (s)
La funci´on escal´on u(t − T˜ ) viene dada por u(t − T˜ ) =
1; t ≥ T˜ 0; t < T˜
- Transformada de Laplace de la derivada primera de una funci´on
Sea f (t) una funci´on continua y de orden exponencial, cuya derivada primera f ′(t) sea continua a trozos y de orden exponencial (f ′(t) ∈ E). La transformada de Laplace de la primera derivada de f verifica
L
[
f ′(t)
]
= sF (s) − f (0)
siendo F (s) = L[f (t)] y f (0) el valor de la funci´on en el origen.
- Transformada de Laplace de la derivada n−´esima de una funci´on
Sea f (t) una funci´on continua y de orden exponencial, cuyas derivadas hasta orden (n−1) sean tambi´en funciones continuas y orden exponencial y la derivada n−´esima sea continua a trozos y de orden exponencial (f (n)(t) ∈ E). La transformada de Laplace de la derivada n−´esima de f verifica
L
[
f (n)(t)
]
= snF (s) − sn−^1 f (0) − sn−^2 f ′(0) − ... − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0)
donde F (s) = L[f (t)], y f (0), f ′(0),..., f (n−1)(0) son los valores de la funci´on y de sus derivadas hasta orden (n − 1) en el origen.
- Transformada de Laplace de la primitiva de una funci´on
Sea f (t) ∈ E. Su primitiva g(t) =
∫ (^) t 0 f^ (t)dt^ es una funci´on continua y de orden exponen- cial, y su transformada de Laplace viene dada por
L[g(t)] ≡ G(s) =
s
F (s)
- Transformada de Laplace de una funci´on peri´odica
Sea p(t) una funci´on peri´odica, de periodo T , continua a trozos y de orden exponencial en [0, T ]. La transformada de Laplace de esta funci´on peri´odica es
L[p(t)] =
∫ T
0
e−stp(t)dt
1 − e−T s
E1. EJEMPLO 1: Problema de vibraciones forzadas
Consid´erese el siguiente problema de vibraciones forzadas de un sistema masa-muelle:
y′′^ + ω^20 y = K sin(ωt); y(0) = 0; y′(0) = 0
siendo y(t) la posici´on de la masa en cada instante de tiempo t, ω 0 la frecuencia natural del sistema y ω la frecuencia de la carga peri´odica externa aplicada de magnitud K (carga expresada por unidad de masa). La posici´on y velocidad iniciales son nulas.
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuaci´on diferencial se obtiene:
L
[
y′′^ + ω 02 y − K sin(ωt)
]
= 0 −→ L
[
y′′
]
- ω 02 L[y] − KL[sin(ωt)] = 0
y teniendo en cuenta que L
[
y′′
]
= s^2 L[y]−sy(0)−y′(0), es decir, L
[
y′′
]
= s^2 L[y], la expresi´on anterior resulta (s^2 + ω^20 )L[y] = KL[sin(ωt)]
En consecuencia, la transformada de Laplace de la funci´on que proporciona la posici´on de la masa y(t) es
L[y] =
K
s^2 + ω 02
L[sin(ωt)] −→ L[y] =
Kω (s^2 + ω 02 )(s^2 + ω^2 )
La soluci´on final resulta de la transformada inversa de 1 (s^2 + ω 02 )(s^2 + ω^2 )
y que se puede
obtener haciendo uso de la propiedad de convoluci´on (apartado 12.), o bien descomponiendo en fracciones simples esta expresi´on e identificando en tablas de transformadas los distintos t´erminos. As´ı,
(s^2 + ω 02 )(s^2 + ω^2 )
ω^20 − ω^2
s^2 + ω^2
s^2 + ω^20
; ω 6 = ω 0
En consecuencia hay que analizar dos posibles situaciones: si ω 6 = ω 0 , y si ω = ω 0 , es decir, cuando la frecuencia externa coincide con la frecuencia natural del sistema (resonancia).
Si ω 6 = ω 0 , la soluci´on es
y(t) = L−^1
[
Kω 1 (s^2 + ω^20 )(s^2 + ω^2 )
]
Kω ω^20 − ω^2
L−^1
[
s^2 + ω^2
]
− L−^1
[
s^2 + ω^20
])
e identificando en tablas:
y(t) =
Kω ω 02 − ω^2
sin(ωt) ω
sin(ω 0 t) ω 0
; si ω 6 = ω 0
Si se produce resonancia, esto es, ω = ω 0 , entonces la transformada de Laplace de la funci´on que proporciona la posici´on de la masa y(t) es
L[y] = Kω 0
(s^2 + ω 02 )^2
−→ y(t) = Kω 0 L−^1
[
(s^2 + ω^20 )^2
]
e identificando en tablas:
y(t) = K
sin(ω 0 t) − ω 0 t cos(ω 0 t) 2 ω^20
; si ω = ω 0
E2. EJEMPLO 2: Ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden
Consid´erese el siguiente problema de primer orden
x L
∂w(x, t) ∂t
∂w(x, t) ∂x
= 0, w(x, 0) = 0, w(0, t) = t; x ∈ [0, +∞), t ∈ [0, +∞)
siendo L una longitud y c una velocidad caracter´ısticas.
Aplicando la transformada de Laplace (en la variable tiempo) a la ecuaci´on diferencial se obtiene: L
[
x L
∂w ∂t +^ c
∂w ∂x
]
x cL
L
[
∂w ∂t
]
+ L
[
∂w ∂x
]
Si se tiene en cuenta que
L
[
∂w(x, t) ∂t
]
= sL[w(x, t)] − w(x, 0) −→ L
[
∂w(x, t) ∂t
]
= sL[w(x, t)]
y
L
[
∂w(x, t) ∂x
]
0
e−st^
∂w(x, t) ∂x
dt =
∂x
0
e−stw(x, t)dt
∂L[w(x, t)] ∂x
si definimos W (x, s) = L[w(x, t)], entonces
L
[
∂w(x, t) ∂t
]
= sW (x, s); L
[
∂w(x, t) ∂x
]
∂W (x, s) ∂x
por lo que la transformada de Laplace de la ecuaci´on en derivadas parciales queda de la forma
xs cL
W (x, s) +
∂W (x, s) ∂x
Asimismo si se aplica la transformada de Laplace a la condici´on de contorno w(0, t) = t, de modo que L[w(0, t) − t] = 0, es decir, L[w(0, t)] − L[t] = 0 resulta L[w(0, t)] = 1/s^2 , o lo que es lo mismo W (0, s) = 1/s^2.
