Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
INVESTIGACIONE DE LA UNIDAD 5 DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
1 / 8
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
5. TRANSFORMACIONES LINEALES
5.2 Núcleo e imagen de una
transformación lineal.
Teorema 1
Sea T: V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,.. ., vn en V y todos los escalares a1, a2,.. ., an:
i. T(0) = 0 ii. T(u - v) = Tu - Tv iii. T(a1v1 + a2v2 +.. .+ anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +.. .+ anTvn Nota. En la parte i) el 0 de la izquierda es el vector cero en V; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W.
Teorema 2 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2,.. ., vn}. Sean w1, w2,.. ., en vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,.. ., n. Entonces para cualquier vector v ∈ V, T1v = T2v; es decir T1 = T2. Ejemplo
Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal Sean V y W dos espacios
vectoriales y sea T: V W una transformación lineal. Entonces
i. El núcleo de T, denotado por un, está dado por
ii. La imagen de T, denotado por Im T, está dado por
Observación 1. Observe que un T es no vacío porque, de acuerdo al teorema 1, T (0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T (0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.
Observación 2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T. Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema de gran utilidad.
Teorema Si T: V W es una transformación lineal, entonces i.Un T es un subespacio de V. ii.Im T es un subespacio de W.
Demostración i.Sean u y v en un T; Entonces T (u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T ( ) = = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T. ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto significa que T (u + v)= Tu + Tv = w + x y T (∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.
Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero Sea Tv = 0 para todo vϵ V (T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.
Ejemplo 4 Núcleo e imagen de la transformación identidad Sea Tv = v para vϵ V (T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.
Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.
5.4 Aplicación de las transformaciones
lineales: reflexión, dilatación, contracción
y rotación.
Conclusión
https://hopelchen.tecnm.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r130327.PDF
https://hopelchen.tecnm.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r117191.PDF
https://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html
