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medición de viscosidades y experimento de Reynolds
Tipo: Apuntes
1 / 19
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Departamento de Ingeniería Química y Bioquímica
TAREA NUMERO 4 : Transferencia de momentum
Cd. Lázaro Cárdenas, Michoacán, 31/Mayo /
Departamento de Ingeniería Química y Bioquímica
Introducción…………………………………………………………………………………….pag 2
4.1Medición de viscosidades……………...……………………………...…………………..pag
4.2 Experimento de Reynolds………………………………………………………..............pag
Ejemplo 4.2-1………………………………………………………………………….............pag 8
4.3 Flujo reptante (Ley de Stokes)……………………………………………………………pag
Ejemplo 4.3-1………………………………………………………………………………….pag
Ejemplo 4.3-2………………………………………………………………………………….pag
4.4 Perfiles de velocidad en flujo laminar y turbulento…………………………………….pag
Ejemplo 4.4-1………………………………………………………………………………….pag
Índice de figuras
Figura 1…..……………………………………………………………………………………..pag 5
Figura 2…...……………………………………………………………………………………. pag
Figura 3…...……………………………………………………………………………………. pag
Figura 4…...……………………………………………………………………………………. pag
Departamento de Ingeniería Química y Bioquímica
dv / dx α Ƭ
Una vez alcanzado el régimen estacionario es preciso aplicar una fuerza cortante F para
conservar el movimiento de la lámina interior. Esta fuerza viene dada por la expresión:
= μ
v
Plásticos de Bingham la relación de esfuerzo cortante frente al gradiente de
velocidad, es lineal pero no pasa del origen.
Pseudo plásticos y dilatantes que siguen un comportamiento potencial (Fluido de la
ley de la potencia) la relación entre esfuerzo cortante y gradiente de velocidad no es
línea
4.1 Medición de viscosidades
El estudio de los fluidos en movimiento es un problema complejo y en el que la viscosidad
juega siempre un papel fundamental, aunque las teorías más elementales ignoran sus
efectos, suponiendo que el líquido se puede dividir en capas se deslizan unas sobre las
otras sin encontrar ninguna resistencia. En realidad, esto dista mucho de ser verdad, y en
el movimiento se desarrollan unas fuerzas tangenciales tan grandes que algunas veces
éste se lleva a cabo con gran dificultad. Esto sucede por ejemplo con aceites muy
pesados. Por el contrario, otras veces estas fuerzas son muy pequeñas y el líquido fluye
entonces fácilmente como sucede con el agua o el alcohol. Este “grado de fluidez” se
caracteriza por un coeficiente típico de cada sustancia que se llama coeficiente de
viscosidad o viscosidad dinámica. Un sólido amorfo no es en realidad más que un líquido
cuya viscosidad dinámica es enormemente grande. Fue Newton el que dio la expresión de
la fuerza de viscosidad: “La fuerza tangencial que una capa ejerce sobre la contigua es
proporcional al área de la superficie de contacto y al gradiente de la velocidad normal a la
dirección de deslizamiento”.
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dv
dz
S ∙ƞ (4.1-1)
donde η es el coeficiente de viscosidad. Su unidad en el sistema SI es el stokes, aunque
es corriente también utilizar la unidad de viscosidad en el antiguo sistema CGS. Esta
unidad se llama poise (1 stokes = 10 poise). La viscosidad cinemática σ es el cociente
entre la viscosidad dinámica y la densidad. El fundamento de la mayor parte de los
viscosímetros que se utilizan en la práctica es la fórmula de Poiseuille (ver el Apéndice),
que nos da el caudal Q (volumen de fluido por unidad de tiempo) que atraviesa un capilar
de radio R y longitud l entre cuyos extremos se ha aplicado una diferencia de presiones ∆p
t
π ∆ p R
4
8 ƞl
(Fórmula de Poiseuille) (4.1-2)
donde η es la viscosidad del fluido. Esto es
ƞ¿
π ∆ p R
4
t
8 lV
Como R, l, V son constantes para un tubo determinado, haciendo K = π R
4
/( 8 lV )
se tiene
ƞ = KΔptpt (4.1-3)
Si el líquido fluye únicamente por acción de la gravedad en un tubo situado verticalmente,
la presión ∆p es la que ejerce la columna de líquido, esto es, ∆p=ρgh, siendo ρ la densidadgh, siendo ρgh, siendo ρ la densidad la densidad
del líquido y h la altura de la columna. Por tanto
ƞ = Kρghtght
y como también h es una constante para un tubo determinado podemos escribir:
ƞ = K
´
ρghtt
El valor de K´ depende por tanto de la geometría de cada viscosímetro en concreto y suele
darlo el constructor, aunque puede determinarse utilizando un líquido de viscosidad
conocida. Normalmente se determinan las viscosidades relativas referidas al agua. Para el
agua se tendrá:
ƞ
H 2 O
= K ´ ρght
H 2 O
t
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Figura 1. Viscosímetro de Ostwald
El viscosímetro de Ostwald está formado por un capilar unido por su parte inferior a una
ampolla L y por su parte superior a otra ampolla S. Se llena la ampolla inferior L de agua
introduciéndola por A. Se aspira por la rama B hasta que el nivel del agua sobrepase la
ampolla superior procurando que no queden burbujas de aire. Se deja caer el agua y se
cuenta el tiempo que tarda en pasar entre los niveles M1 y M2. Se repite esta operación
varias veces y se calcula el valor medio de los tiempos, t. A continuación, se procede de
manera análoga con el líquido cuya viscosidad se desea conocer, obteniéndose el valor
medio t´. Una vez obtenidos los tiempos se calcula el valor de la viscosidad dinámica
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(ecuación 4.1-5). Cuando se comience a trabajar tanto con el líquido como con el agua el
viscosímetro debe estar limpio y seco.
4.2 Experimento de Reynolds
Un flujo viscoso puede ser clasificado como flujo laminar o turbulento, esta distinción se
demostró por primera vez en la experiencia de Osborne Reynolds en 1883. Reynolds
inyecto una solución coloreada, sobre la corriente principal de agua generada en un tubo
de vidrio, observó que para bajas velocidades de flujo el chorro de agua coloreada
circulaba intacto a lo largo de la corriente principal sin que se produjese mezcla transversal
y nos encontramos entonces con un flujo laminar (a). Al aumentar la velocidad de flujo se
alcanza un punto a partir del cual desaparece la vena coloreada y el color se difunde
uniformemente a través de toda la sección transversal de la corriente, este tipo de
movimiento se denomina flujo turbulento (c).
Figura 2. Experimento de Reynolds
El flujo laminar por tanto se define como aquel en que el fluido se mueve en capas o
cilindros concéntricos en el caso de una tubería, deslizándose suavemente unos sobre
otros con un gradiente de velocidad dado por la ley de newton de la viscosidad. Al inyectar
colorante el flujo no se mezcla con el fluido cercano excepto por actividad molecular,
cualquier tendencia hacia la inestabilidad o turbulencia se amortigua por la acción de las
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valor es menor de 2000 el régimen es laminar, si los valores son superiores a 4000
tendremos un régimen turbulento y para valores comprendidos entre 2000 y 4000 el
régimen será inestable o de transición
ℜ
Dvρght
μ
Número de Reynolds (4.2-1)
Ejemplo 4.2-1 Número de Reynolds en una tubería
Por una tubería con un diámetro interior (DI) de 2.067 pulg fluye agua a 303 K con una
velocidad de 10 gal/min. Calcule el número de Reynolds usando unidades del sistema
inglés y SI.
7.841 gal = 1 pie
3
. La velocidad de flujo se calcula como
Velocidad de flujo =
(
gal
min
)
(
1 pie
3
7.481 gal
) (
1 min
60 s
)
pie
3
s
Área de sección transversal de la tubería =
π D
2
= π ¿ ¿
v =
(
pie
3
s
)
(
0.0233 pie
2
)
=0.957 pie / s
ρght =0.996(62.43) lb
m
/ pie
3
( 0.8007 cp )
(
6.7197 x 10
− 4
lb
m
/ pies∙ s
cp ∙
)
m
ℜ
Dvρght
μ
0.172 pie
0.957 pie / s
(
0.996 x 62.43 lb
m
/ pie
3
)
5.38 x 10
− 4
lb
m
/ pie ∙ s
=1.905 x 10
4
3
3
D =( 2.067 pulg ) ( 1 pie / 12 pukg ) ( 1 m /3.2808 pie )=0.0525 m
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v =
(
pie
s
)
( 1 m /3.2808 pie )=0.2917 m / s
μ =( 0.8007 cp )
(
1 x 10
− 3 kg / m ∙ s
cp
)
=8.007 x 10
− 4 kg
m∙ s
¿ 8.009 x 10
− 4
Pa ∙ s
ℜ
Dvρght
μ
0.0525 m
0.2917 m / s
996 kg / m
3
8.007 x 10
− 4
kg / m∙ s
=1.905 x 10
4
4.3 Flujo reptante (Ley de Stokes)
El flujo reptante o flujo de Stokes, es usado para describir un flujo a muy baja velocidad, o
un fluido altamente viscoso, es decir a bajos valores de Re (Re<<1). Es una simplificación
del flujo de fluidos que supone que las fuerzas inerciales existentes en el sistema son
despreciables frente a las fuerzas viscosas (Bm y Re pequeños). Es un buen modelo en
zonas cercanas a superficies sólidas, objetos sumergidos, para velocidades bajas de flujo
y para fluidos altamente viscosos.
Es referida a que el movimiento de un cuerpo en un medio viscoso es influenciado por la
acción de una fuerza viscosa (Fv), la cual es proporcional a la velocidad (V). La relación
entonces es como sigue: Fv=bV, esta de forma general es conocida como la ley de
Stokes.
La ley de Stokes se ha enfocado más al estudio de cuerpos esféricos en fluidos, por lo que
su definición particular y mejor conocida, es como sigue:
La ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos
esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de
bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes.
Para cualquier forma particular del objeto y cualquier orientación del objeto con
respecto a la dirección del flujo, existe una relación diferente de CD
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D
p
v
0
ρght / μ
ℜ
La variación de CD con respecto a NRe (figura 5) es bastante complicada debido a la
interacción de los factores que controlan el arrastre superficial y el arrastre de forma. Para
una esfera, conforme el número de Reynolds aumenta más allá del intervalo de la ley de
Stokes, va ocurriendo una separación y se forma una estela. Mayores incrementos de
NRe ocasionan desplazamientos del punto de separación. A aproximadamente N Re
105, la súbita caída de CD es resultado de que la capa límite se vuelve completamente
turbulenta y el punto de separación se mueve corriente abajo. En la región de N Re
de
alrededor de 1x
3
a 2 x
5
, el coeficiente de arrastre es prácticamente constante para
cada forma y CD = 0.44 para una esfera. Por encima de un NRe de cerca de 5 x 105, el
coeficiente de arrastre otra vez es aproximadamente constante, y C D
para una esfera es
de 0.13, para un cilindro es de 0.33 y para un disco es de 1.12.
Ejemplo 4.3-1 Fuerza sobre una esfera sumergida
Alrededor de una esfera que tiene un diámetro de 42 mm pasa aire a 37.8°C y con 101.
kPa de presión absoluta, a una velocidad de 23 m/s. ¿Cuáles son el coeficiente de arrastre
D
y la fuerza ejercida sobre la esfera?
Datos
𝜌 = 137 kg/m
3
μ = 1.90 x 10
Pa·s
p
= 0.042 m
v 0
= 23.0 m/s
Desarrollo
ℜ
p
v
0
ρght
μ
1.90 x 10
− 5
=5.781 x 10
4
A partir de la figura 5 para una esfera
D
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D
D
v
0
2
ρght A
p
Ejemplo 4.3-2 Fuerza sobre un cilindro en un túnel
Alrededor de un cilindro largo fluye agua a 24°C a una velocidad de 1.0 mis en un largo
túnel. El eje del cilindro es perpendicular a la dirección del flujo. El diámetro del cilindro es
de 0.090 m. ¿Cuál es la fuerza por metro de longitud sobre el cilindro?
Datos:
𝜌 = 997.2 kg/m
3
μ = 0.9142 x 10
Pa·s
p
= 0.090 m
L = 1.0 m
v 0
= 1.0 m/s
Desarrollo
ℜ
p
v
0
ρght
μ
0.9142 x 10
− 3
=9.817 x 10
4
Según la figura 5 para un cilindro largo
D
D
D
v
0
2
ρght A
p
2
4.4 Perfil de velocidad en flujo laminar y turbulento
Flujo laminar
Se llama flujo laminar al tipo de movimiento de un fluido cuando éste es perfectamente
ordenado, estratificado, suave de manera que el fluido se mueve en láminas paralelas sin
entremezclarse. Las capas adyacentes del fluido se deslizan suavemente entre sí. El
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Figura 6. Distribución de velocidad en una tubería, con flujo totalmente desarrollado de un
fluido newtoniano, para flujo laminar y turbulento hasta Re = 10 000.
Como consecuencia de la diferencia en la relación entre el esfuerzo cortante y el gradiente
de velocidad, la forma del perfil de velocidad de líquidos no newtonianos es diferente de la
de un líquido newtoniano. En los casos más complicados de flujo no newtoniano, el perfil
de velocidades se determina experimentalmente. Sin embargo, en casos más sencillos,
como el modelo de la ley de potencia o en el modelo de Bingham [ecuación (3.8)], los
mismos métodos utilizados para determinar los parámetros de flujo de un fluido
newtoniano, se emplea para fluidos no newtonianos.
Para fluidos que siguen el modelo de la ley de potencia, la variación de velocidad con el
radio está dada por la fórmula
u =
(
τ
w
r
w
´
)
1 / n ´
r
w
1 + 1 / n ´
− r
1 + 1 / n ´
1 + 1 / n´
En la figura 7 se representan los perfiles de velocidad definidos por la ecuación (4.4-3)
cuando n´ = 0.5 (fluido seudoplástico) n´ = 1.0 (fluido newtoniano) y n´ = 2.0 (fluido
dilatante). Suponiendo que K´ es el mismo en todos los casos. La curva de un fluido
dilatante es más estrecha y puntiaguda que una parábola; la de un fluido seudoplástico es
más ancha y aplanada.
La diferencia de la presión en el flujo de un fluido de la ley de potencia se encuentra por
los métodos empleados en la deducción de la ecuación (5.20) para un fluido newtoniano.
El resultado es el siguiente:
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Figura 7. Perfiles de velocidad para flujo laminar de líquidos newtonianos y no newtonianos
Flujo turbulento
En el flujo turbulento de un fluido a través de un canal de conducción cerrado, la velocidad
es cero en la interface a causa de la adherencia del fluido a la pared del sólido, y aunque
con frecuencia, no existen componentes normales de la velocidad a la pared. Dentro de un
delgado volumen inmediatamente adyacente a la pared, el gradiente de velocidad es
esencialmente constante y en su mayor parte el flujo es viscoso. Este volumen recibe el
nombre de subcapa viscosa. En un principio se supuso que esta subcapa tenía un espesor
definido y estaba siempre libre de remolinos, pero medidas experimentales han mostrado
que existen fluctuaciones de velocidad en la subcapa causadas por remolinos ocasionales
procedentes del fluido turbulento que circula en esta región. Muy cerca de la pared los
remolinos son infrecuentes, pero no existe ninguna región que esté completamente libre
de remolinos. Dentro de la subcapa viscosa solamente es importante el esfuerzo cortante
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Datos:
𝜌-62.42 lb/ft
3
μ-1.310 Cp
ft
V = 8 ft/s
El número de Reynolds es:
Re =
100 x 8 x 62.
1.310 x 6.72 x 10
− 4
=1.4 x 10
5
f= 0.
∆ p s
100 x 2 x 0.0041 x 62.42 x 8
2
0.25 x 32.
=2.828 lbf /¿
2
b) Puesto que ∆ p
s
=2.828 lbf /¿
2
a 8ft/s ,
∆ p
s
(
)
V = 6.60 ft/s
